Ημικανονικά εγγράψιμα πολύγωνα μέρος Α

Ορισμός

Ημι-κανονικό είναι το πολύγωνο το οποίο:

1. Μπορεί να εγγραφεί ή να περιγραφεί σε κύκλο.

2. Έχει άρτιο αριθμό πλευρών.

3. Έχει τις όποιες δύο διαδοχικές πλευρές του άνισες

4. Κάθε πλευρά του είναι ίση με τη μεθεπόμενη πλευρά.

Από τα σημεία (3) και (4) προκύπτει ότι οι πλευρές του έχουν εναλλάξ μήκος χ και ψ. [ χ > ψ και χ:ψ =α, όπου α σταθερός αριθμός και α >1  ] . Επίσης ότι ο αριθμός των πλευρών με μήκος χ είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών με μήκος ψ.

Πρόβλημα 1

Να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ενός ημι-κανονικού σχήματος είναι ίσες

Από το κέντρο του κύκλου φέρομε τις ακτίνες που καταλήγουν στις κορυφές του πολυγώνου. Σχηματίζονται ½ ν ισοσκελή τρίγωνα με παρά τη βάση πλευρά χ και ίσες παρά τη βάση γωνίες μεγέθους β ακτινίων και ½ ν ισοσκελή τρίγωνα με παρά τη βάση πλευρά ψ και ίσες παρά τη βάση γωνίες μεγέθους γ ακτινίων. Αθροίζοντας τις παρά τη βάση γωνίες των ισοσκελών τριγώνων έχουμε:

ν β + ν γ = (ν – 2 ) π

Επειδή τα τρίγωνα είναι εναλλάξ οι γωνίες του πολυγώνου ισούνται όλες με β + γ

→ Γωνία ημι- κανονικού πολυγώνου = ( β + γ ) = [(ν – 2 ) π]/ν όπου ν ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου. Για ν = 4 έχουμε:

 β + γ = π/2

Για ν = 6 έχουμε:

β + γ = ⅔ π κ.ο.κ

Πρόβλημα 2:

Να υπολογιστεί το ημίτονο και συνιμήτονο των γωνιών των ημι-κανονικών σχημάτων σε συνάρτηση με τις πλευρές και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Έστω χ , ψ οι πλευρές του πολυγώνου και έστω ότι αυτό είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα ρ. Έστω ακόμα ότι οι ίσες γωνίες του πολυγώνου ισούνται με β + γ όπως έχει εξηγηθεί στο πρόβλημα 1.

συν β = χ/2ρ , συν γ = ψ/2ρ,  ημ β = [√ ( 4 - χ² )]/2ρ , ημ γ = [√ ( 4 - ψ² )]/2ρ

→ συν ω = συν ( β + γ ) =  συν β συν γ – ημβ ημγ

→ συν ω = {χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ²

ω=[(ν – 2 ) π]/ν για ν = 4, 6, 8,10

Α. Για ν = 4,  ω = π/2 και συν ω = 0

→ {χψ  - √ [( 4ρ²- χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = 0

→ χψ  = √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]

→ χ²ψ²  = ( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )

→ χ²ψ²  = 16ρ⁴ -4ρ²ψ² - 4ρ²χ² + χ²ψ² )

→   4ρ²ψ² + 4ρ²χ²  = 16ρ⁴)

→ χ² + ψ²  = 4ρ²

Β. Για ν = 6,  ω = 2π/3 και συν ω = -1/2

→ συν ω = {χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = - ½

→ √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )] = χψ +2ρ²

→ 16ρ⁴ – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² + χ²ψ² = χ²ψ² + 4ρ⁴ + 4ρ²χψ

→ 12ρ⁴ – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² = 4ρ²χψ

→ 3 ρ² – ψ² – χ² = χψ

→ 3 ρ² = ψ² + χ² + χψ

Γ. Για ν = 8,  ω = 3π/4 και συν ω = - 1/√2

→{χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = - 1/√2

→{χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]} = -2√2 ρ²

→ χψ + 2√2 ρ² = √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}

→ ( χψ + 2√2 ρ² )² = ( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )

→ χ²ψ² + 8 ρ⁴ + 4√2 ρ² χψ = 16 ρ^4 – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² + χ²ψ²

→ 4√2 ρ² χψ = 8 ρ^4 – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ²

→ √2  χψ = 2 ρ² – ψ² – χ²

→ ψ² + χ² +√2  χψ = 2 ρ²