Διόφαντος ο πατέρας της Άλγεβρας

Το σημαντικότερο έργο του Διόφαντου είναι τα Αριθμητικά. Αποτελείται από δεκατρία βιβλία, από τα οποία σώθηκαν  έξι σε αρχαίο ελληνικό κείμενο και τέσσερα βρέθηκαν υστερότερα σε αραβική μετάφραση.  Στα έξι αρχικά βιβλία    καταγράφονται 189  προβλήματα και στα μεταγενέστερα άλλα 101. Τα Αριθμητικά αφιερώνονται σε κάποιο Διονύσιο που πρέπει να ήταν φίλος και προστάτης του Διόφαντου. Τα προβλήματα λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού. Τριτοβάθμιες εξισώσεις εμφανίζονται σπάνια. Στο Διόφαντο οφείλουμε τα ακόλουθα θεμελιώδη χαρακτηριστικά της σύγχρονης Θεωρητικής Αριθμητικής (Άλγεβρας)

1.  1.     Τη διατύπωση του αλγεβρικού συμβολισμού για γραφή της άγνωστης ποσότητας, των τετραγώνων, των κύβων κλπ. Έτσι ο άγνωστος χ στη «μαθηματική γλώσσα του Διόφαντου” γραφόταν ϛ. Η Δευτέρα δύναμη (τετράγωνο άγνωστης ποσότητας) γράφεται χ² στο σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό. Ο Διόφαντος τη συμβόλιζε με Δʸ και την ονόμαζε δύναμη. Όμοια το χ³ συμβολιζόταν με Κʸ, η τέταρτη δύναμη με  ΔʸΔ και διαβαζόταν ως δυναμοδύναμις,  η πέμπτη δύναμη (χ⁵ ) διαβαζόταν από το Διόφαντο ως δυναμόκυβος και γραφόταν ΔΚʸ. Η έκτη δύναμη χ⁶ ονομαζόταν από τον πατέρα της άλγεβρας κυβοκύβος και γραφόταν ΚʸΚ. Το 1/χ συμβολιζόταν με ϛᵡ , ενώ το =  ι ϛ

2.   2.    Τον ορισμό του αριθμού ως άθροισμα διακριτών μονάδων και τη συνακόλουθη διαπίστωση ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο.

3.     3.   Αν και τα προβλήματα του είναι πρωτότυπα και οι λύσεις κάποτε ιδιαίτερα ιδιοφυείς, ο Διόφαντος δεν κάνει γενικεύσεις, ούτε συνήθως διατυπώνει θεωρήματα. Επιπλέον έχει σαφή προτίμηση στις θετικές ή ρητές ρίζες των εξισώσεων, ενώ αγνοεί τις αρνητικές και τις άρρητες. Παρόλα αυτά φαίνεται ότι κατέχει το βασικό σώμα των κανόνων, εξισώσεων και ταυτοτήτων της Άλγεβρας. Για τις γνώσεις αυτές θα αναφερθούμε και πιο κάτω.

4.     4.   Στο Διόφαντο οφείλουμε τους κανόνες επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων, όπως την αναγωγή όμοιων όρων, την αμοιβαία αναίρεση ίσων όρων που βρίσκονται εκατέρωθεν του ίσο (=) κλπ.

5.    5.   Ο Διόφαντος χρησιμοποίησε και θεσμοθέτησε τη χρήση βοηθητικών αγνώστων στην επίλυση εξισώσεων και τη διερεύνηση συστημάτων εξισώσεων Α΄ βαθμού.

6.   6.    Ο πατέρας της Άλγεβρας κατέχει και χρησιμοποιεί τους εξής κανόνες που αφορούν των πολλαπλασιασμό δυνάμεων που έχουν την ίδια βάση:

Χᵃ.Χᵇ = Χᵃ⁺ᵇ

Χᵃ/Χᵇ = Χᵃ¯ᵇ

(Χᵃ )ᵇ = Χᵃᵇ

Χ¯ᵃ = 1/ Χᵃ

Χᵃ.Ψᵃ = (Χ.Ψ)ᵃ

7.  7.    Ο Διόφαντος γνωρίζει και χρησιμοποιεί στα προβλήματα του γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες όπως:

(α ± β)² = α² ± 2αβ +β²

α² - β² = ( α + β ) ( α – β )

(α² - β² )² + (2αβ)² =(α² + β² )² 

(α + β + γ ) ² = α² + β² +γ² + 2αβ + 2αγ + 2βγ

(α - β + γ ) ² = α² + β² +γ² - 2αβ + 2αγ - 2βγ

α³+ β³ = (α + β) (α² -α β +β² )

α³ - β³ = (α - β) (α² + α β +β² )

8.  8.    Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού αρνητικών αριθμών ( - ) ( - ) = + του είναι επίσης γνωστός και τον χρησιμοποιεί. Στην ορολογία της εποχής του ο κανόνας αυτός αναφέρεται ως «λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξην».

9.   9.   Ο Θέωνας ο Αλεξανδρεύς υποστηρίζει ότι ο Διόφαντος είχε αποδείξει ότι η μονάδα είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Αυτό διατυπώνεται ως εξής στην αρχαία γλώσσα «Τῆς γαρ μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης και ἕστώσης πάντοτε, το πολλαπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ’ αὐτήν αὐτό το εἶδος ἔστε»

Παραδείγματα προβλημάτων του σοφού μαθηματικού

1.      Βιβλίο 5^ο , ένατο πρόβλημα

Να αναλυθεί το άθροισμα δύο τετραγώνων αριθμών σε άθροισμα δύο ετέρων τετραγώνων. Έστω 13 = 3² + 2² Ζητείται: 13 = α² + β².

Για την επίλυση του θεωρεί  ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ρητοί και κατά προσέγγιση ίσοι με το μισό του 13 συν το τετράγωνο κλάσμα 1/4χ². Αφού υπολογίζει το χ=10 και τους α, β κατά προσέγγιση ίσους με το 51/20 , θεωρεί α = 3-μ , β=2+ν ≈51/20 . Ακολούθως θέτει δεύτερο άγνωστο ψ τέτοιο ώστε α = 3-9ψ, β=2+11ψ , ψ ≈1/50  και βρίσκει τις ακριβείς ρητές λύσεις. (βλέπε και απεικόνιση πιο πάνω)

.

2.      Βιβλίο 2^ο , όγδοο πρόβλημα

 Να αναλυθεί  τετράγωνος αριθμός σε δύο τετράγωνους. Ο τετράγωνος είναι ο 25 και η λύση που ψάχνουμε δεν είναι η προφανής 5²=4² +3². Ο Διόφαντος θεωρεί ότι ψάχνει λύση της μορφής  5² =χ² +(ν χ – 4) ². «Παίζει» με το βοηθητικό άγνωστο ν και βρίσκει διάφορες λύσεις. Στην απεικόνιση που ακολουθεί δίνονται δύο λύσεις, μπορούν όμως να βρεθούν άπειρες.

Ένα δεύτερο σημαντικό έργο, από το οποίο διασώθηκαν κάποια αποσπάσματα είναι το «Περί Πολυγώνων Αριθμών». Σε αυτό αναλύει τους τρίγωνους, τετράγωνους και λοιπούς πολύγωνους αριθμούς εξάγοντας τύπους και επιλύοντας σχετικά προβλήματα. Στο τρίτο θεώρημα του βιβλίου ο Διόφαντος αποδεικνύει τον τύπο εύρεσης αθροίσματος αριθμητικής προόδου.

Από διάφορους σχολιαστές αναφέρεται ότι έγραψε  τα έργα  «Πορίσματα» και «Μοριακά». Δυστυχώς αυτά  δεν έχουν διασωθεί.

Διοφαντική ανάλυση πρώτου βαθμού

Η αναφορά μας στον πατέρα της Άλγεβρας δεν μπορεί να κλείσει χωρίς την περιγραφή της ανάλυσης που φέρει το όνομα του. Ορίζεται ως η εύρεση των ζευγών των ακεραίων  ή ρητών λύσεων  πρωτοβάθμιας  εξίσωσης δύο αγνώστων της μορφής      αχ + βψ = γ ( α, β, γ ακέραιοι )

Εναλλακτικά η διερεύνηση μπορεί να αφορά μόνο την εύρεση των ακέραιων θετικών λύσεων. Αν πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 5χ +3ψ = 7,   τότε παρατηρούμε ότι για χ=2 και ψ=-1 αυτή επαληθεύεται. Ομοίως επαληθεύεται για (χ=5, ψ=-6 ), (χ=8, ψ=-11) . Η εξίσωση έχει άπειρα ζεύγη ακεραίων λύσεων της μορφής (χ = 2 + 3ν , ψ= - (1 +5ν ) και ν = 0,1,2,3…  

Υπάρχουν όμως και διοφαντικές εξισώσεις χωρίς ακέραιες λύσεις. Όπως η 2χ - 6ψ = 13. Μπορείτε να σκεφθείτε γιατί; Η απάντηση είναι απλή. Εφόσον το πρώτο σκέλος της εξισώσεως δίδει πάντοτε άρτιο ακέραιο όταν χ, ψ ακέραιοι, αποκλείεται να ισούται με το δεύτερο σκέλος που είναι περιττός…Γενικά όταν οι ακέραιοι συντελεστές α, β έχουν κοινό διαιρέτη, όμως είναι πρώτοι ως προς τον συντελεστή γ, τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις…