Ευκλείδειος Γεωμετρία: Το θεώρημα της εσωτερικής Διχοτόμου Τριγώνου

Ο Ευκλείδης, είναι  ίσως ο πλέον γνωστός μαθηματικός της αρχαιότητας, καθώς έμεινε αθάνατος από το έργο του «Στοιχεία». Θεωρείται ως ο Θεμελιωτής της Γεωμετρίας και της μεθόδου απόδειξης μαθηματικών προτάσεων. Αν και ελάχιστα γνωρίζουμε για την προσωπική του ζωή,

φαίνεται ότι έζησε μεταξύ 325π.Χ και 250 π.Χ. Αυτό γιατί με βάση τους αρχαίους σχολιαστές είναι  προγενέστερος του μαθηματικού Απολλώνιου (δεύτερο μισό του 3^ου π.Χ. αιώνα ) και μεταγενέστερος του Αριστοτέλη που πέθανε το 322 π.Χ  Στα δεκατρία συνολικά βιβλία των «Στοιχείων» περιέχονται 121 ορισμοί, πέντε αιτήματα, εννιά αξιώματα (κοινές έννοιες ) και 465 θεωρήματα.  Οι ορισμοί είναι μαθηματικές προτάσεις που περιγράφουν, ορίζουν και προσδιορίζουν μαθηματικές έννοιες. Ο ορισμός αναφέρεται σε μια μαθηματική έννοια που υπάρχει απριόρι και η παραδοχή ενός ορισμού είναι αληθής. Τα πέντε αιτήματα και τα εννιά αξιώματα αποτελούν τις βασικές μαθηματικές προτάσεις-παραδοχές που θεωρούνται αληθείς άνευ αποδείξεως. Αποτελούν τη βάση επί της οποίας αποδεικνύονται  τα θεωρήματα. Παραθέτουμε κατωτέρω κάποια από αυτά

Τα Ευκλείδεια αιτήματα:

1.       Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία.

2.       Κάθε ευθεία μπορεί να προεκταθεί ευθύγραμμα μόνο κατά τη διεύθυνση των δύο άκρων της.

3.       Ο Γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν το ίδιο από δοθέν σημείο είναι περιφέρεια κύκλου.

4.       Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

5.       Αν ευθεία τέμνει άλλες δύο ευθείες και το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που σχηματίζονται οι εντός και επί τα αυτά γωνίες

Παραδείγματα αξιωμάτων

1.       Αν δύο αντικείμενα είναι ίσα με τρίτο, τότε είναι και μεταξύ τους ίσα. ( Α=Γ, Β=Γ ⇒ Α=Β )

2.       Αν ίσα προστεθούν σε ίσα προκύπτουν ίσα. ( Α = Β ,  ⇒ Α+Γ = Β+Γ)

3.       Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα προκύπτουν ίσα. ( Α = Β ,  ⇒ Α-Γ = Β-Γ)

4.       Αν δύο αντικείμενα ταυτίζονται, τότε είναι ίσα μεταξύ τους ( Α≡Β ⇒ Α= Β )

5.       Το όλο είναι μεγαλύτερο από το μέρος.  Α ⊂ Β ⇒ Α < Β

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου

Η Τρίτη πρόταση του 6^ου βιβλίου των Στοιχείων, είναι γνωστή και ως θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου. Η Πρόταση αναφέρει ότι η διχοτόμος εσωτερικής γωνίας τριγώνου τέμνει την απέναντι πλευρά ορίζοντας επ’ αυτής τμήματα που έχουν λόγο ίσο με το λόγο των προσκείμενων πλευρών. Αυτό «μεταφράζεται» στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα ως εξής:

  Αν διχοτομήσουμε την εσωτερική γωνία Α ενός τριγώνου ΑΒΓ , τότε η διχοτόμος τέμνει την πλευρά ΒΓ του τριγώνου σε σημείο Δ με τέτοιο τρόπο ώστε ΒΔ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ. Για να αποδείξουμε την πρόταση φέρνουμε από το Γ παράλληλη ευθεία με την διχοτόμο ΑΔ. Ακολούθως προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ προς το Α η οποία τέμνει την παράλληλο της διχοτόμου σε σημείο Ε.

Είναι φανερό ότι αφού ΑΔ ∥ ΓΕ  ⇒ τότε οι  γωνίες ΒΑΔ και ΑΕΓ είναι ίσες ( Εντός εκτός και επί τα αυτά ), Επίσης οι γωνίες ΔΑΓ και ΑΓΕ είναι ίσες ( εντός εναλλάξ ). Αφού ΒΑΔ = ΔΑΓ ( ΑΔ διχοτόμος ), τότε το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ισοσκελές (ΑΓ = ΑΕ ) (1)

. Εκ του θεωρήματος του Θαλή όμως ΒΔ/ΔΓ = ΒΑ/ΑΕ  (2)

Εκ του (1) και (2) η ζητούμενη σχέση αποδεικνύεται δηλαδή έχουμε ΒΔ/ΔΓ = ΒΑ/ΑΓ.

Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η απόδειξη, με διαφορετική όμως σημειολογία.