Άθροισμα απείρων όρων Αντίστροφης
Χρυσής Σειράς (ΑΧΣ)
Παραθέτουμε κατωτέρω την ΑΧΣ με την οποία είχαμε ασχοληθεί και σε
προηγούμενο άρθρο.
∞
∑ Αν =
1+ ½
+ ⅓, 1/5 +1/8 + 1/13 + 1/21 + 1/34 + 1/55 +1/89+.........
1
Τα δεδομένα
1. Έχουμε αποδείξει σε προηγούμενο άρθρο ότι η ΑΧΣ είναι
συγκλίνουσα. ¹
2. Οι παρονομαστές των διαδοχικών όρων της ΑΧΣ μας δίνουν τους όρους της ακολουθίας
Fibonacci (ΑF).
ΑF : 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233 .........
3. Κάθε όρος της ΑF
ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, 8 = 5 + 3, 13 = 8+5 κοκ.
4. Ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑF τείνει στον αριθμό της χρυσής τομής, όταν η τάξη των
όρων που συγκρίνονται τείνει προς το
άπειρο. Δηλαδή:
Όταν ν → ∞ τότε Αν / Αν-1 → Φ
όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής
Με Φ = ( 1 + √ 5 )/2 = 1,61803398….
Υπολογισμός του
αθροίσματος ΑΧΣ
1. Είναι φανερό ότι ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑΧΣ τείνει στο 1/Φ και
έστω ο συμβολισμός του όρου αυτού φ. Ας υπολογίσουμε το φ
φ = 1/Φ = 2 / (1+ √ 5 ) = ( √ 5 – 1 ) / 2 και φ = 0, 61803398….
2. Παρατηρούμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε κάθε επόμενο όρο της ΑΧΣ
πολλαπλασιάζοντας τον προηγούμενο με ένα ρητό αριθμό. Έτσι έχουμε:
1 . ½ = ½, ½ . ⅔ = ⅓, ⅓. 3/5 = 1/5, 1/5.5/8 = 1/8, 1/8. 8/13 = 1/13 κ.ο.κ
και ½ =
0,5 , ⅔ = 0,6666.. , 3/5 = 0,6 , 5/8 = 0,625 κοκ
Είναι φανερό ότι, αφού οι όροι της
ΑΧΣ είναι οι αντίστροφοι των όρων της ΑF, τότε ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της ΑΧΣ τείνει στο φ όταν ν → ∞.
Αν / Αν-1 → φ, όταν ν → ∞
3. Γράφουμε τους διαδοχικούς λόγους Αν / Αν-1 της ΑΧΣ
ν
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Αν/ Αν-1
|
½
|
⅔
|
3/5
|
⅝
|
8/13
|
13/21
|
21/34
|
34/55
|
55/89
|
5. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι όταν (Αν / Αν-1 ) είναι
μικρότερο του φ τότε Αν+1 / Αν είναι μεγαλύτερο του φ για κάθε ν. Η απόδειξη
είναι η ακόλουθη:
Έστω: 1/Αν-1 = κ και 1/Αν = κ Φ – α όπου κ, κΦ – α διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci και α θετικός αριθμός
Προφανώς 1 / Αν+1 = κ + κΦ –
α
→1 / Αν+1 = κΦ² - α
→Αν+1 =
1/(κΦ² - α) , Αν = 1/(κΦ – α) και Αν-1 =
1/κ
→Αν /Αν-1 = κ/(κΦ-α)
→Αν /Αν-1 – φ = κ/(κΦ-α) – 1/Φ = α / [ Φ (κΦ –α )] > 0
→Αν /Αν-1 – φ > 0
→Αν /Αν-1 > φ
Όμοια :
Αν+1 /Αν = (κΦ-α)/(κΦ²-α)
και
(Αν+1 /Αν ) – φ = (κΦ-α)/( κΦ²- α) – 1/Φ = [ α ( 1 – Φ )] / [ΚΦ² - α ] < 0
(αφού 1 – Φ < 0 )
→ (Αν+1 /Αν )– φ < 0
→ Αν+1 /Αν < φ
6. Από τις παραγράφους 4 και 5 προκύπτει ότι:
½ < 3/5
< 8/13 < 21/34 < 55/89 < ......< φ
και
⅔ > ⅝ > 13/21 > 34/55 > 89/144 > .........> φ
7. Με βάση τους προαναφερθέντες λόγους σχηματίζω Φθίνουσες Γεωμετρικές Προόδους² (ΦΓΠ ) και τις συγκρίνω με το άθροισμα απείρων
όρων της ΑΧΣ. Σχηματίζω λοιπόν τις ακόλουθες σχέσεις:
7.1
∞
∞
∑ (½) ^ (ν-1) =
1 + ½ + ¼ + ⅛ + ................. = 2 < ∑ Αν
1
1
και
1 ∞ ∞
∑Αν +∑ ( ½ )[(⅔) ^(ν-1) ]
= 1+
½ + ⅓ + 2/9 + 4/27 + ...= 1
+3/2 = 2 ½
>∑ Αν
1 1 1
και άρα
∞ ∞
2 < ∑ Αν < 2,5 και άρα ∑ Αν = 2,.......
1 1
7. 2
2
∞
∞
∑ Αν + ∑ (⅓) [ 3/5 ^(ν-1)] =
1 + ½ + ⅓ + 3/15+
9/65+....= 2 ⅓ < ∑ Αν
1 1
1
και
3 ∞ ∞
∑Αν + ∑ (1/5 )[(⅝) ^(ν-1) ]
= 1+
½ + ⅓ + 1/5 +1/8 + 5/64 ...=
2 11/30 > ∑ Αν
1 1
1
και άρα
∞ ∞
2,3333... < ∑ Αν < 2,36666 και άρα ∑ Αν = 2,3.......
1 1
7. 3
4
∞
∞
∑ Αν + ∑ (⅛) [ 8/13 ^(ν-1)] =
2 1/30
+ 13/40 = 2 43/120 < ∑ Αν
1
1 1
και
5 ∞ ∞
∑ Αν + ∑ ( 1/13 )[(13/21) ^(ν-1) ]
= 2 19/120
+ 21/104 = 2 562/1560 >∑
Αν
1
1
1
και άρα
∞
∞
2,358333... < ∑ Αν < 2,360256 και άρα ∑ Αν = 2,3.......
1 1
7. 4
6 ∞
∞
∑Αν + ∑ (1/21) [ 21/34 ^(ν-1)] = 2 2569/10920 +
1360/10920 =2 3929/10920 < ∑ Αν
1 1
1
και
7
∞ ∞
∑ Αν + ∑ ( 1/34 )[(34/55) ^ (ν-1) ]
= 2 66813/ 185640 > ∑
Αν
1 1
1
και άρα
∞
∞
2,359798534... < ∑ Αν <
2,35990627 και άρα ∑ Αν = 2,359.......
1
1
7. 5
8
∞
∞
∑ Αν + ∑ (1/55) [55/89 ^(ν-1)] = 2 734891/2042040 =
2,3598880805.... < ∑ Αν
1
1
1
και
9
∞
∞
∑ Αν + ∑ ( 1/89 )[(89/144) ^(ν-1) ] = 2 65406390/181741560= 2,359886808 > ∑ Αν
1
1
1
και άρα
∞
∞
2,359880805... < ∑ Αν <
2,359886808... άρα ∑ Αν = 2,35988.....
1
1
7. 6
10
∞
∞
∑ Αν + ∑ (1/144) [144/233 ^ (ν-1)] =
2,359885395319962405...< ∑ Αν
1
1 1
και
11 ∞
∞
∑ Αν + ∑ ( 1/233 )[(233/377) ^(ν-1) ]
= 2,359885730201789..... > ∑
Αν
1
1
1
και άρα
∞
2,359885395319962405....... < ∑ Αν < 2,359885730201789.....
1
∞
και άρα ∑ Αν = 2,359885.......
1
Επίλογος
Έχουμε υπολογίσει το άθροισμα της ΑΧΣ με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων.
Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μπορούμε να προσθέσουμε στον αριθμό
2,359885.......περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Όμως η διαδικασία δεν έχει τέλος,
αφού είναι προφανές ότι ο αριθμός μας έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία και πιθανώς
είναι άρρητος³. Μια πρόκληση για κάθε ερασιτέχνη μαθηματικό είναι να
ανακαλύψει μια κλειστή μορφή του
αθροίσματος της ΑΧΣ.
Σημειώσεις
1. Μια σειρά λέγεται συγκλίνουσα, αν το άθροισμα των απείρων όρων της
τείνει προς ένα πεπερασμένο πραγματικό αριθμό. Έστω ότι μια σειρά συγκλίνει στο
α, όπου α θετικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι, για ένα θετικό αριθμό β,
οσοδήποτε μικρό, το άθροισμα της ακολουθίας μπορεί να ξεπεράσει τη διαφορά α –
β , αν αθροίσω τον απαραίτητο αριθμό όρων της.
Δηλαδή
γ
∑ Αν > α – β αν το γ είναι αρκούντως μεγάλο.
ν=1
Όταν μια σειρά συγκλίνει, τότε οι όροι της σταδιακά τείνουν στο μηδέν. Αυτό
σημαίνει ότι Αν → 0 όταν ν→ ∞. Όμως το
αντίστροφο δεν ισχύει, αφού έχουμε σειρές των οποίων οι όροι τείνουν στο μηδέν,
όμως αυτές αποκλίνουν. (παράδειγμα: η
αρμονική σειρά )
2. Η ΦΓΠ έχει τη μορφή α, αr, αr² , αr³ ........ με │ r
│< 1
∞
και άθροισμα ∑ α r^ (ν-1) = α / ( 1 – r )
1
3. Άρρητος είναι κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο μη
μηδενικών ακεραίων. Παράδειγμα: Ο αριθμός √2 ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως
κλάσμα.
Συντομογραφίες:
ΑF = Ακολουθία Fibonacci
ΑΧΣ = Αντίστροφη Χρυσή Σειρά
ΦΓΠ = Φθίνουσα Γεωμετρική Πρόοδος
Μιχάλης Α. Πόλης
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου