Ο Πάππος είναι ίσως ο τελευταίος μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της ύστερης
αρχαιότητας. Έζησε στην Αλεξάνδρεια τον 4ο αιώνα μ.Χ. Είναι γνωστός για το μεγάλο πολύτομο
έργο που φέρει τον τίτλο Μαθηματική
Συναγωγή. Στο τέταρτο βιβλίο της συναγωγής, καταγράφεται η ακόλουθη λύση την οποία
ο Αλεξανδρινός μαθηματικός έδωσε στο
πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Την παραθέτουμε αμέσως πιο κάτω
περιγραφικά καθώς και με σχέδιο.
Τριχοτόμηση γωνίας
Έστω η οξεία γωνία ΧΟΨ της οποίας θέλουμε να γράψουμε την τριχοτόμο.
Παίρνουμε τυχαίο σημείο Α πάνω στην ΟΧ και φέρνουμε τις ΑΒ⏊ΟΨ
ΟΓ⏊ΟΨ και
ΑΓ⏊ΟΓ. Προφανώς λοιπόν ΓΑ ∥ ΟΨ. Επεκτείνουμε τη ΓΑ προς την πλευρά του
Α. Επί της επέκτασης προσδιορίζουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε 2ΟΑ = ΔΕ , όπου Δ το
σημείο τομής ΟΕ και ΑΒ
Απόδειξη: Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Αφού το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ορθογώνιο (ΑΒ⏊ΓΕ
) προκύπτει από τα δεδομένα της άσκησης ότι ΔΜ=ΜΕ=ΑΜ=ΟΑ. Οι ακόλουθες
γωνίες ισούνται λόγω των ισοσκελών τριγώνων που σχηματίζουν τα πιο πάνω
τμήματα: ΑΕΜ = ΜΑΕ και ΟΜΑ = ΜΟΑ. Όμως η
γωνία ΟΜΑ = 2 ΑΕΜ. ( ΟΜΑ εξωτερική γωνία τριγώνου ΜΑΕ ). Επιπλέον ΑΕΜ = ΜΟΨ
αφού είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΓΕ ∥ ΟΨ.
Προκύπτει λοιπόν ότι η γωνία ΑΟΜ είναι διπλάσια της γωνίας ΕΟΨ και άρα η ΟΕ
είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΧΟΨ.
Ο προσδιορισμός του σημείου Ε δεν μπορεί να γίνει με χάρακα και διαβήτη
αλλά με κινητική γεωμετρία δια της μεθόδου της νεύσης.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου