Διόφαντος ο πατέρας της Άλγεβρας

Το σημαντικότερο έργο του Διόφαντου είναι τα Αριθμητικά. Αποτελείται από δεκατρία βιβλία, από τα οποία σώθηκαν  έξι σε αρχαίο ελληνικό κείμενο και τέσσερα βρέθηκαν υστερότερα σε αραβική μετάφραση.  Στα έξι αρχικά βιβλία    καταγράφονται 189  προβλήματα και στα μεταγενέστερα άλλα 101. Τα Αριθμητικά αφιερώνονται σε κάποιο Διονύσιο που πρέπει να ήταν φίλος και προστάτης του Διόφαντου. Τα προβλήματα λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού. Τριτοβάθμιες εξισώσεις εμφανίζονται σπάνια. Στο Διόφαντο οφείλουμε τα ακόλουθα θεμελιώδη χαρακτηριστικά της σύγχρονης Θεωρητικής Αριθμητικής (Άλγεβρας)

1.  1.     Τη διατύπωση του αλγεβρικού συμβολισμού για γραφή της άγνωστης ποσότητας, των τετραγώνων, των κύβων κλπ. Έτσι ο άγνωστος χ στη «μαθηματική γλώσσα του Διόφαντου” γραφόταν ϛ. Η Δευτέρα δύναμη (τετράγωνο άγνωστης ποσότητας) γράφεται χ² στο σύγχρονο αλγεβρικό συμβολισμό. Ο Διόφαντος τη συμβόλιζε με Δʸ και την ονόμαζε δύναμη. Όμοια το χ³ συμβολιζόταν με Κʸ, η τέταρτη δύναμη με  ΔʸΔ και διαβαζόταν ως δυναμοδύναμις,  η πέμπτη δύναμη (χ⁵ ) διαβαζόταν από το Διόφαντο ως δυναμόκυβος και γραφόταν ΔΚʸ. Η έκτη δύναμη χ⁶ ονομαζόταν από τον πατέρα της άλγεβρας κυβοκύβος και γραφόταν ΚʸΚ. Το 1/χ συμβολιζόταν με ϛᵡ , ενώ το =  ι ϛ

2.   2.    Τον ορισμό του αριθμού ως άθροισμα διακριτών μονάδων και τη συνακόλουθη διαπίστωση ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο.

3.     3.   Αν και τα προβλήματα του είναι πρωτότυπα και οι λύσεις κάποτε ιδιαίτερα ιδιοφυείς, ο Διόφαντος δεν κάνει γενικεύσεις, ούτε συνήθως διατυπώνει θεωρήματα. Επιπλέον έχει σαφή προτίμηση στις θετικές ή ρητές ρίζες των εξισώσεων, ενώ αγνοεί τις αρνητικές και τις άρρητες. Παρόλα αυτά φαίνεται ότι κατέχει το βασικό σώμα των κανόνων, εξισώσεων και ταυτοτήτων της Άλγεβρας. Για τις γνώσεις αυτές θα αναφερθούμε και πιο κάτω.

4.     4.   Στο Διόφαντο οφείλουμε τους κανόνες επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων, όπως την αναγωγή όμοιων όρων, την αμοιβαία αναίρεση ίσων όρων που βρίσκονται εκατέρωθεν του ίσο (=) κλπ.

5.    5.   Ο Διόφαντος χρησιμοποίησε και θεσμοθέτησε τη χρήση βοηθητικών αγνώστων στην επίλυση εξισώσεων και τη διερεύνηση συστημάτων εξισώσεων Α΄ βαθμού.

6.   6.    Ο πατέρας της Άλγεβρας κατέχει και χρησιμοποιεί τους εξής κανόνες που αφορούν των πολλαπλασιασμό δυνάμεων που έχουν την ίδια βάση:

Χᵃ.Χᵇ = Χᵃ⁺ᵇ

Χᵃ/Χᵇ = Χᵃ¯ᵇ

(Χᵃ )ᵇ = Χᵃᵇ

Χ¯ᵃ = 1/ Χᵃ

Χᵃ.Ψᵃ = (Χ.Ψ)ᵃ

7.  7.    Ο Διόφαντος γνωρίζει και χρησιμοποιεί στα προβλήματα του γνωστές αλγεβρικές ταυτότητες όπως:

(α ± β)² = α² ± 2αβ +β²

α² - β² = ( α + β ) ( α – β )

(α² - β² )² + (2αβ)² =(α² + β² )² 

(α + β + γ ) ² = α² + β² +γ² + 2αβ + 2αγ + 2βγ

(α - β + γ ) ² = α² + β² +γ² - 2αβ + 2αγ - 2βγ

α³+ β³ = (α + β) (α² -α β +β² )

α³ - β³ = (α - β) (α² + α β +β² )

8.  8.    Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού αρνητικών αριθμών ( - ) ( - ) = + του είναι επίσης γνωστός και τον χρησιμοποιεί. Στην ορολογία της εποχής του ο κανόνας αυτός αναφέρεται ως «λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξην».

9.   9.   Ο Θέωνας ο Αλεξανδρεύς υποστηρίζει ότι ο Διόφαντος είχε αποδείξει ότι η μονάδα είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Αυτό διατυπώνεται ως εξής στην αρχαία γλώσσα «Τῆς γαρ μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης και ἕστώσης πάντοτε, το πολλαπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ’ αὐτήν αὐτό το εἶδος ἔστε»

Παραδείγματα προβλημάτων του σοφού μαθηματικού

1.      Βιβλίο 5^ο , ένατο πρόβλημα

Να αναλυθεί το άθροισμα δύο τετραγώνων αριθμών σε άθροισμα δύο ετέρων τετραγώνων. Έστω 13 = 3² + 2² Ζητείται: 13 = α² + β².

Για την επίλυση του θεωρεί  ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ρητοί και κατά προσέγγιση ίσοι με το μισό του 13 συν το τετράγωνο κλάσμα 1/4χ². Αφού υπολογίζει το χ=10 και τους α, β κατά προσέγγιση ίσους με το 51/20 , θεωρεί α = 3-μ , β=2+ν ≈51/20 . Ακολούθως θέτει δεύτερο άγνωστο ψ τέτοιο ώστε α = 3-9ψ, β=2+11ψ , ψ ≈1/50  και βρίσκει τις ακριβείς ρητές λύσεις. (βλέπε και απεικόνιση πιο πάνω)

.

2.      Βιβλίο 2^ο , όγδοο πρόβλημα

 Να αναλυθεί  τετράγωνος αριθμός σε δύο τετράγωνους. Ο τετράγωνος είναι ο 25 και η λύση που ψάχνουμε δεν είναι η προφανής 5²=4² +3². Ο Διόφαντος θεωρεί ότι ψάχνει λύση της μορφής  5² =χ² +(ν χ – 4) ². «Παίζει» με το βοηθητικό άγνωστο ν και βρίσκει διάφορες λύσεις. Στην απεικόνιση που ακολουθεί δίνονται δύο λύσεις, μπορούν όμως να βρεθούν άπειρες.

Ένα δεύτερο σημαντικό έργο, από το οποίο διασώθηκαν κάποια αποσπάσματα είναι το «Περί Πολυγώνων Αριθμών». Σε αυτό αναλύει τους τρίγωνους, τετράγωνους και λοιπούς πολύγωνους αριθμούς εξάγοντας τύπους και επιλύοντας σχετικά προβλήματα. Στο τρίτο θεώρημα του βιβλίου ο Διόφαντος αποδεικνύει τον τύπο εύρεσης αθροίσματος αριθμητικής προόδου.

Από διάφορους σχολιαστές αναφέρεται ότι έγραψε  τα έργα  «Πορίσματα» και «Μοριακά». Δυστυχώς αυτά  δεν έχουν διασωθεί.

Διοφαντική ανάλυση πρώτου βαθμού

Η αναφορά μας στον πατέρα της Άλγεβρας δεν μπορεί να κλείσει χωρίς την περιγραφή της ανάλυσης που φέρει το όνομα του. Ορίζεται ως η εύρεση των ζευγών των ακεραίων  ή ρητών λύσεων  πρωτοβάθμιας  εξίσωσης δύο αγνώστων της μορφής      αχ + βψ = γ ( α, β, γ ακέραιοι )

Εναλλακτικά η διερεύνηση μπορεί να αφορά μόνο την εύρεση των ακέραιων θετικών λύσεων. Αν πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση 5χ +3ψ = 7,   τότε παρατηρούμε ότι για χ=2 και ψ=-1 αυτή επαληθεύεται. Ομοίως επαληθεύεται για (χ=5, ψ=-6 ), (χ=8, ψ=-11) . Η εξίσωση έχει άπειρα ζεύγη ακεραίων λύσεων της μορφής (χ = 2 + 3ν , ψ= - (1 +5ν ) και ν = 0,1,2,3…  

Υπάρχουν όμως και διοφαντικές εξισώσεις χωρίς ακέραιες λύσεις. Όπως η 2χ - 6ψ = 13. Μπορείτε να σκεφθείτε γιατί; Η απάντηση είναι απλή. Εφόσον το πρώτο σκέλος της εξισώσεως δίδει πάντοτε άρτιο ακέραιο όταν χ, ψ ακέραιοι, αποκλείεται να ισούται με το δεύτερο σκέλος που είναι περιττός…Γενικά όταν οι ακέραιοι συντελεστές α, β έχουν κοινό διαιρέτη, όμως είναι πρώτοι ως προς τον συντελεστή γ, τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις…

Ημικανονικά εγγράψιμα πολύγωνα μέρος Α

Ορισμός

Ημι-κανονικό είναι το πολύγωνο το οποίο:

1. Μπορεί να εγγραφεί ή να περιγραφεί σε κύκλο.

2. Έχει άρτιο αριθμό πλευρών.

3. Έχει τις όποιες δύο διαδοχικές πλευρές του άνισες

4. Κάθε πλευρά του είναι ίση με τη μεθεπόμενη πλευρά.

Από τα σημεία (3) και (4) προκύπτει ότι οι πλευρές του έχουν εναλλάξ μήκος χ και ψ. [ χ > ψ και χ:ψ =α, όπου α σταθερός αριθμός και α >1  ] . Επίσης ότι ο αριθμός των πλευρών με μήκος χ είναι ίσος με τον αριθμό των πλευρών με μήκος ψ.

Πρόβλημα 1

Να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ενός ημι-κανονικού σχήματος είναι ίσες

Από το κέντρο του κύκλου φέρομε τις ακτίνες που καταλήγουν στις κορυφές του πολυγώνου. Σχηματίζονται ½ ν ισοσκελή τρίγωνα με παρά τη βάση πλευρά χ και ίσες παρά τη βάση γωνίες μεγέθους β ακτινίων και ½ ν ισοσκελή τρίγωνα με παρά τη βάση πλευρά ψ και ίσες παρά τη βάση γωνίες μεγέθους γ ακτινίων. Αθροίζοντας τις παρά τη βάση γωνίες των ισοσκελών τριγώνων έχουμε:

ν β + ν γ = (ν – 2 ) π

Επειδή τα τρίγωνα είναι εναλλάξ οι γωνίες του πολυγώνου ισούνται όλες με β + γ

→ Γωνία ημι- κανονικού πολυγώνου = ( β + γ ) = [(ν – 2 ) π]/ν όπου ν ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου. Για ν = 4 έχουμε:

 β + γ = π/2

Για ν = 6 έχουμε:

β + γ = ⅔ π κ.ο.κ

Πρόβλημα 2:

Να υπολογιστεί το ημίτονο και συνιμήτονο των γωνιών των ημι-κανονικών σχημάτων σε συνάρτηση με τις πλευρές και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Έστω χ , ψ οι πλευρές του πολυγώνου και έστω ότι αυτό είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα ρ. Έστω ακόμα ότι οι ίσες γωνίες του πολυγώνου ισούνται με β + γ όπως έχει εξηγηθεί στο πρόβλημα 1.

συν β = χ/2ρ , συν γ = ψ/2ρ,  ημ β = [√ ( 4 - χ² )]/2ρ , ημ γ = [√ ( 4 - ψ² )]/2ρ

→ συν ω = συν ( β + γ ) =  συν β συν γ – ημβ ημγ

→ συν ω = {χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ²

ω=[(ν – 2 ) π]/ν για ν = 4, 6, 8,10

Α. Για ν = 4,  ω = π/2 και συν ω = 0

→ {χψ  - √ [( 4ρ²- χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = 0

→ χψ  = √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]

→ χ²ψ²  = ( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )

→ χ²ψ²  = 16ρ⁴ -4ρ²ψ² - 4ρ²χ² + χ²ψ² )

→   4ρ²ψ² + 4ρ²χ²  = 16ρ⁴)

→ χ² + ψ²  = 4ρ²

Β. Για ν = 6,  ω = 2π/3 και συν ω = -1/2

→ συν ω = {χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = - ½

→ √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )] = χψ +2ρ²

→ 16ρ⁴ – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² + χ²ψ² = χ²ψ² + 4ρ⁴ + 4ρ²χψ

→ 12ρ⁴ – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² = 4ρ²χψ

→ 3 ρ² – ψ² – χ² = χψ

→ 3 ρ² = ψ² + χ² + χψ

Γ. Για ν = 8,  ω = 3π/4 και συν ω = - 1/√2

→{χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}/ 4ρ² = - 1/√2

→{χψ  - √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]} = -2√2 ρ²

→ χψ + 2√2 ρ² = √ [( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )]}

→ ( χψ + 2√2 ρ² )² = ( 4ρ² - χ² )(4ρ² - ψ² )

→ χ²ψ² + 8 ρ⁴ + 4√2 ρ² χψ = 16 ρ^4 – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ² + χ²ψ²

→ 4√2 ρ² χψ = 8 ρ^4 – 4ρ²ψ² – 4ρ²χ²

→ √2  χψ = 2 ρ² – ψ² – χ²

→ ψ² + χ² +√2  χψ = 2 ρ² 

Το επίγραμμα του Διόφαντου

Η Αλεξάνδρεια,  είναι ένα από τα κέντρα της πνευματικής και επιστημονικής δραστηριότητας της ύστερης Ρωμαϊκής αρχαιότητας.  Στο περιβάλλον αυτό έζησε ο Διόφαντος τον 2^ο έως 3^ο μετά-χριστιανικό αιώνα.  Η χρονολόγηση της ζωής του, δηλαδή ο υπολογισμός του πότε έζησε είναι κατά προσέγγιση. Ξέρουμε ότι έζησε πριν τη Μαθηματικό Υπατία, η οποία σχολίασε τα «Αριθμητικά» και έδρασε τον 4^ο αιώνα μ.Χ. Εξάλλου ο Διόφαντος στο έργο του «Περί Πολυγώνων αριθμών»  μνημονεύει τον Υψικλή, για τον οποίο γνωρίζουμε ότι έζησε τον πρώτο αιώνα. Άρα πολύ πιθανόν να έζησε μεταξύ 175 μ.Χ. έως 260 μ.Χ. πάντα κατά προσέγγιση. Για την προσωπική του ζωή γνωρίζουμε ελάχιστα. Από ένα επίγραμμα με τη μορφή προβλήματος που γράφηκε στον τάφο του ξέρουμε ότι ήταν Ελληνικής καταγωγής, παντρεύτηκε, είχε ένα γιο και έζησε 84 χρόνια. Το ταφικό επίγραμμα ¹ σε ελεύθερη απόδοση είναι το ακόλουθο: 

«Σε αυτόν εδώ το μνήμα αναπαύεται  ο Διόφαντος. Με θαυμαστό τρόπο ο τάφος  μας λέει  την ηλικία του, όταν πέθανε. Το ένα έκτο της ζωής που του χάρισε ο Θεός καλύπτει την παιδική του ηλικία. Το  χρονικό  διάστημα της εφηβείας καλύπτει χρόνο ίσο με  το μισό της παιδικής ηλικίας. Από την ενηλικίωση μέχρι το γάμο πέρασε άλλο ένα έβδομο της ζωής του. Πέντε χρόνια μετά τον γάμο  γεννήθηκε ο γιός του. Αλλοίμονο όμως, το άτυχο παιδί πέθανε αφού έζησε μόνο τα μισά χρόνια του πατέρα του! Ο Διόφαντος  βρήκε παρηγοριά στο πένθος του ασχολούμενος ακόμα περισσότερο με την σοφία των αριθμών, δηλαδή τη θεωρητική αριθμητική. Ο μεγάλος μαθηματικός πέθανε τέσσερα χρόνια μετά το θάνατο του γιού του»

Από το επίγραμμα μπορούμε να καταστρώσουμε και να λύσουμε εξίσωση πρώτου βαθμού με ένα άγνωστο για να βρούμε την ηλικία θανάτου του Διόφαντου. Λεκτικά η εξίσωση καταστρώνεται ως εξής:

Έστω χ τα χρόνια ζωής που έζησε ο Διόφαντος. Προφανώς η παιδική ηλικία καλύπτει το ένα έκτο της ζωής του, η εφηβική ηλικία το ένα δωδέκατο. Η ενήλικη άγαμη ζωή του το ένα έβδομο, πέντε χρόνια ο έγγαμος βίος χωρίς παιδί, η μισή ζωή του καλύπτει την περίοδο από τη γέννηση μέχρι το θάνατο του γιου του. Τέλος η περίοδος του πένθους, μέχρι το θάνατο του άλλα τέσσερα χρόνια. Αυτό μεταφράζεται στη σύγχρονη άλγεβρα ως εξής:

Πολύ βολικά η ηλικία θανάτου είναι ένας σύνθετος αριθμός με πολλούς διαιρέτες, που βοηθά στην κατάστρωση και την εύρεση ακεραίων τιμών διάρκειας των επιμέρους περιόδων ζωής του Διόφαντου.

Σημειώσεις

1.    1.   Το επίγραμμα διάσωσε ο Μητρόδωρος, μαζί με άλλα 44 μαθηματικά επιγράμματα στο 14^ο βιβλίο της Ελληνικής ανθολογίας

Τριχοτόμηση γωνίας κατά Πάππον Αλεξανδρινό

Ο Πάππος είναι ίσως ο τελευταίος μεγάλος Έλληνας μαθηματικός της ύστερης αρχαιότητας. Έζησε στην Αλεξάνδρεια τον 4^ο αιώνα μ.Χ.  Είναι γνωστός για το μεγάλο πολύτομο έργο  που φέρει τον τίτλο Μαθηματική Συναγωγή. Στο τέταρτο βιβλίο της συναγωγής, καταγράφεται η ακόλουθη λύση την οποία ο  Αλεξανδρινός μαθηματικός έδωσε στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Την παραθέτουμε αμέσως πιο κάτω περιγραφικά καθώς και με σχέδιο.

Τριχοτόμηση  γωνίας

Έστω η οξεία γωνία ΧΟΨ της οποίας θέλουμε να γράψουμε την τριχοτόμο. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Α πάνω στην ΟΧ και φέρνουμε τις ΑΒ⏊ΟΨ  ΟΓ⏊ΟΨ και ΑΓ⏊ΟΓ. Προφανώς λοιπόν ΓΑ ∥ ΟΨ. Επεκτείνουμε τη ΓΑ προς την πλευρά του Α. Επί της επέκτασης προσδιορίζουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε 2ΟΑ = ΔΕ , όπου Δ το σημείο τομής  ΟΕ και ΑΒ

Απόδειξη: Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Αφού το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ορθογώνιο (ΑΒ⏊ΓΕ  ) προκύπτει από τα δεδομένα της άσκησης ότι ΔΜ=ΜΕ=ΑΜ=ΟΑ. Οι ακόλουθες γωνίες ισούνται λόγω των ισοσκελών τριγώνων που σχηματίζουν τα πιο πάνω τμήματα:  ΑΕΜ = ΜΑΕ και ΟΜΑ = ΜΟΑ. Όμως η γωνία ΟΜΑ = 2 ΑΕΜ. ( ΟΜΑ εξωτερική γωνία τριγώνου ΜΑΕ ). Επιπλέον ΑΕΜ = ΜΟΨ αφού είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΓΕ ∥ ΟΨ.

Προκύπτει λοιπόν ότι η γωνία ΑΟΜ είναι διπλάσια της γωνίας ΕΟΨ και άρα η ΟΕ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΧΟΨ.

Ο προσδιορισμός του σημείου Ε δεν μπορεί να γίνει με χάρακα και διαβήτη αλλά με κινητική γεωμετρία δια της μεθόδου της νεύσης.

Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός εφευρίσκει το οδόμετρο

       Τί είναι ένα οδόμετρο; Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση θα πρέπει να φέρουμε στο νου μας την εικόνα ενός ατόμου όταν οδηγεί  αυτοκίνητο. Πως μπορεί ο οδηγός να γνωρίζει σε κάθε στιγμή την ταχύτητα του αυτοκινήτου; Απλούστατα μπορεί ανά πάσα στιγμή να κοιτάξει το ταχύμετρο που βρίσκεται μπροστά του και με την βοήθεια του σχετικού δείκτη να ξέρει  πόσα χιλιόμετρα την ώρα τρέχει το όχημα . Κάτω από το ταχύμετρο υπάρχει ο μιλιοδείκτης του αυτοκινήτου. Αποτελείται από μια σειρά αριθμούς που μεταβάλλονται καθώς κινείται το αυτοκίνητο. Οι αριθμοί αυτοί φανερώνουν την απόσταση που διένυσε το αυτοκίνητο. Για να το καταλάβουμε, μπορούμε να κάνουμε αυτό το απλό πείραμα. Αν πηγαίνετε στη δουλειά με το αυτοκίνητο , σημειώστε σε μια κόλλα χαρτί την ένδειξη του μιλιμέτρου όταν ξεκινήσει το αυτοκίνητο και μετά κάνετε το ίδιο, όταν φτάσετε στον προορισμό σας. Αφαιρώντας το δεύτερο αριθμό από το πρώτο θα ανακαλύψετε την απόσταση που διανύσατε.

         Το οδόμετρο  είναι ο μακρινός παππούς του μιλίμετρου του αυτοκινήτου σας! Είναι μια συσκευή που μετρά την απόσταση που διάνυσε ένα κινούμενο όχημα. Εφεύρεθηκε πριν από είκοσι δύο (22) αιώνες από τον μεγάλο επιστήμονα και εφευρέτη της αρχαιότητας , τον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό, τις θαυμαστές εφευρέσεις του οποίου θα δούμε και σε άλλα άρθρα. Σας θυμίζω ότι πέρσι είχαμε δει ότι ο Ήρωνας ήταν ο Εφευρέτης της Ατμομηχανής! Πώς όμως έμοιαζε το δρομόμετρο και πώς λειτουργούσε;

    Το μυστικό του μηχανήματος αυτού ήταν οι οδοντωτοί τροχοί , που μπορείτε να τους δείτε στα σχέδια  που συνοδεύουν το κείμενο.

Ένας οδοντωτός τροχός, είναι ένας τροχός με προεξοχές γύρω γύρω, σαν δοντάκια, που είναι συνδεδεμένος με άλλο οδοντωτό τροχό και αυτός με ένα άλλο και ο ένας μεταδίδει στον επόμενο την κίνηση του. Ο τελευταίος τροχός είναι συνδεδεμένος με ένα δείκτη, η μετακίνηση του οποίου μετρά την απόσταση που διανύθηκε. Αν ο πρώτος οδοντωτός τροχός είναι συνδεδεμένος  με τον τροχό της άμαξας, τότε μαζί με την άμαξα κινούνται διαδοχικά και οι υπόλοιποι οδοντωτοί τροχοί καθώς και ο δείκτης, που ανάλογα με την κίνηση των τροχών μετακινήται και καταγράφει την απόσταση που διάνυσε το όχημα.

       Ας δούμε ένα πρακτικό παράδειγμα. Έστω ότι ο τροχός της άμαξας μας έχει περίμετρο 2 μέτρα. Κάθε 5 στροφές που κάνει ο τροχός, ο πρώτος οδοντωτός τροχός κάνει μια στροφή. Κάθε δέκα στροφές που κάνει ο πρώτος οδοντωτός τροχός, ο δεύτερος κάνει μια στροφή , ενώ κάθε δέκα στροφές του δεύτερου οδοντωτού, μετακινούν τον δείκτη- αποστασιόμετρο* κατά ένα εκατοστό. Αυτό σημαίνει ότι όταν ο δείκτης μετακινηθεί ένα εκατοστό , η άμαξα διάνυσε 2Χ5Χ10Χ10= 1000 μέτρα , δηλαδή ένα χιλιόμετρο. Φυσικά , οι αρχαίοι Έλληνες δεν μετρούσαν αποστάσεις με χιλιόμετρα αλλά με στάδια. Ένα στάδιο αντιστοιχούσε με 185 περίπου σημερινά μέτρα. Ο Ήρωνας προσάρμοσε, όπως ήταν φυσικό άλλωστε, το οδόμετρο του στα μέτρα της εποχής εκείνης.

    Ο Αλεξανδρινός σοφός όμως, δεν περιορίστηκε στο να κάνει ένα μιλίμετρο για τις άμαξες και τα άλλα οχήματα της ξηράς, αλλά κατασκεύασε και το ναυτικό δρομόμετρο, για να μπορούν τα πλοία να μετρούν την απόσταση που έπλεαν στην θάλασσα. Το όργανο αυτό ήταν παρόμοιο με το οδόμετρο, με την διαφορά ότι στο πλοίο δεν είχαμε τροχούς , όπως σε μια άμαξα, αλλά μια φτερωτή, σαν του ανεμόμυλου, που μετέδιδε την κίνηση του πλοίου στους οδοντωτούς τροχούς μέχρι το δείκτη-αποστασιόμετρο.

       Από πού όμως μάθαμε για την σπουδαία αυτή εφεύρεση του αρχαίου σοφού; Ο Ήρωνας φρόντισε να καταγράψει την κατασκευή του οδομέτρου, στο έργο του «Διόπτρα» Με βάση τις γραπτές αυτές περιγραφές, ο Ολλανδός ερευνήτης  Α. Σλέσβικ , ανακατασκεύασε το οδόμετρο το 1987, και το παρουσίασε σε συνέδριο για την τεχνολογία που έγινε στην Αθήνα το ίδιο έτος.

Ένας άλλος ερευνητής, ο Γούντκραφτ , ανακατασκεύασε με παρόμοιο τρόπο, τόσο το ναυτικό δρομόμετρο, όσο και το οδόμετρο. Τα σχέδια των κατασκευών αυτών μπορείτε να τα δείτε πιο κάτω:   

* Αποστασιόμετρο = όργανο που μετρά απόσταση.

Ο Νικομήδης λύει το γρίφο της τριχοτόμησης γωνίας

Ο Μαθηματικός της Ελληνιστικής περιόδου Νικομήδης (200 π.Χ) επινόησε την κογχοειδή καμπύλη με βάση την οποία έλυσε το άλυτο πρόβλημα της τριχοτόμησης δοσμένης οξείας γωνίας. Βέβαια τυπικά το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο αφού οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες αποδέχονταν λύσεις μόνο με τη χρήση χάρακα και διαβήτη. Όμως σε κάθε περίπτωση η λύση του Νικομήδη ήταν ευφυής και αποδείκνυε την μαθηματική ιδιοφυία του. Πιο κάτω θα παρουσιάσουμε τη λύση αυτή.

Η κατασκευή της κογχοειδούς καμπύλης

Έστω ευθεία (ε) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτής. Έστω σταθερό σημείο Β επί της (ε). Φέρουμε την κάθετο επί της (ε) η οποία περνά από το σταθερό σημείο Ο και τέμνει την (ε) στο Α. Με πόλο το Ο φέρουμε το σύνολο των ευθειών που τέμνουν την (ε) και με αρχή τα σημεία τομής πέρνουμε σημεία Γ΄, Γ,  Γ΄΄, .... τέτοια ώστε ΒΓ΄ = ΔΓ= ΑΓ΄΄ = ...= 2ΟΒ. Τα διαδοχικά σημεία σχηματίζουν την κογχοειδή καμπύλη που βλέπετε στο σχήμα που ακολουθεί.
Από το σημείο Β φέρουμε κάθετο επί της (ε) που τέμνει την κογχοειδή στο Γ. Ακολούθως γράφουμε την ΟΓ και έστω Δ το σημείο τομής της ΟΓ με την (ε). Εξ ορισμού της κογχοειδούς έχουμε ότι ΓΔ = 2 ΟΒ. Έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΔΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ. Τότε ΓΜ=ΜΔ=ΒΜ=ΟΒ. ( Αφού ΓΔ= 2ΟΜ). ΄
Έστω ότι η γωνία ΒΓΜ = ω. Τότε και η γωνία ΓΟΓ΄΄ = ω  αφού είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΟΓ΄΄. Επιπλέον και η γωνία ΓΒΜ= ω αφού το τρίγωνο ΓΒΜ είναι ισοσκελές. Αφού σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ισούται με το άρθοισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών είναι φανερό ότι η γωνία ΒΜΟ = 2ω. Αφού το τρίγωνο ΜΒΟ επίσης είναι ισοσκελές (ΒΜ=ΒΟ) τότε είναι φανερό ότι η γωνία ΒΟΔ = 2ω.
Έχουμε λοιπόν ΒΟΑ = 3ω, και ΓΟΓ΄΄ = ω, άρα η ΟΓ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΒΟΑ

Γεωμετρική κατασκευή των ριζών των φυσικών αριθμών

Μπορούμε με τη βοήθεια των ορθογωνίων τριγώνων να κατασκευάσουμε γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα ίσα σε μήκος με την τετραγωνική ρίζα των φυσικών αριθμών. Αυτο μπορεί να γίνει ως εξής: Έστω ΑΒΚ ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή τη γωνία Α και  ΑΚ = ΑΒ = 1. Εκ του πυθαγορείου θεωρήματος είναι φανερό ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΒΚ = √ 2. 

Ακολούθως επί του σημείου Β της υποτείνουσας φέρουμε κάθετο ΒΓ = 1 και σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΒΓ με κάθετες πλευρές ΒΓ=1 και ΚΒ=√ 2. Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα επί του ορθογωνίου τριγώνου ΚΒΓ και υπολογίζουμε την υποτείνουσα του. Πράγματι: ΚΓ =√ 3. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία φέροντες κάθετο στο σημείο Γ της ΚΓ. Έστω η κάθετος ΓΔ=1 και το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται το ΚΓΔ έχει υποτείνουσα την ΚΔ. Εκ του πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει ότι η ΚΔ =  √ 4 = 2.

Μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία άπειρες φορές και να σχηματίσουμε διαδοχικά ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσες ίσες με τις διαδοχικές ρίζες των φυσικών αριθμών √ 5, √ 6.....

Τα πιο πάνω φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί: