Ο Μαθηματικός της Ελληνιστικής περιόδου Νικομήδης (200 π.Χ) επινόησε την κογχοειδή καμπύλη με βάση την οποία έλυσε το άλυτο πρόβλημα της τριχοτόμησης δοσμένης οξείας γωνίας. Βέβαια τυπικά το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο αφού οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες αποδέχονταν λύσεις μόνο με τη χρήση χάρακα και διαβήτη. Όμως σε κάθε περίπτωση η λύση του Νικομήδη ήταν ευφυής και αποδείκνυε την μαθηματική ιδιοφυία του. Πιο κάτω θα παρουσιάσουμε τη λύση αυτή.
Η κατασκευή της κογχοειδούς καμπύλης
Έστω ευθεία (ε) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτής. Έστω σταθερό σημείο Β επί της (ε). Φέρουμε την κάθετο επί της (ε) η οποία περνά από το σταθερό σημείο Ο και τέμνει την (ε) στο Α. Με πόλο το Ο φέρουμε το σύνολο των ευθειών που τέμνουν την (ε) και με αρχή τα σημεία τομής πέρνουμε σημεία Γ΄, Γ, Γ΄΄, .... τέτοια ώστε ΒΓ΄ = ΔΓ= ΑΓ΄΄ = ...= 2ΟΒ. Τα διαδοχικά σημεία σχηματίζουν την κογχοειδή καμπύλη που βλέπετε στο σχήμα που ακολουθεί.
Από το σημείο Β φέρουμε κάθετο επί της (ε) που τέμνει την κογχοειδή στο Γ. Ακολούθως γράφουμε την ΟΓ και έστω Δ το σημείο τομής της ΟΓ με την (ε). Εξ ορισμού της κογχοειδούς έχουμε ότι ΓΔ = 2 ΟΒ. Έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΔΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ. Τότε ΓΜ=ΜΔ=ΒΜ=ΟΒ. ( Αφού ΓΔ= 2ΟΜ). ΄
Έστω ότι η γωνία ΒΓΜ = ω. Τότε και η γωνία ΓΟΓ΄΄ = ω αφού είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΟΓ΄΄. Επιπλέον και η γωνία ΓΒΜ= ω αφού το τρίγωνο ΓΒΜ είναι ισοσκελές. Αφού σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ισούται με το άρθοισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών είναι φανερό ότι η γωνία ΒΜΟ = 2ω. Αφού το τρίγωνο ΜΒΟ επίσης είναι ισοσκελές (ΒΜ=ΒΟ) τότε είναι φανερό ότι η γωνία ΒΟΔ = 2ω.
Έχουμε λοιπόν ΒΟΑ = 3ω, και ΓΟΓ΄΄ = ω, άρα η ΟΓ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΒΟΑ
Η κατασκευή της κογχοειδούς καμπύλης
Έστω ευθεία (ε) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτής. Έστω σταθερό σημείο Β επί της (ε). Φέρουμε την κάθετο επί της (ε) η οποία περνά από το σταθερό σημείο Ο και τέμνει την (ε) στο Α. Με πόλο το Ο φέρουμε το σύνολο των ευθειών που τέμνουν την (ε) και με αρχή τα σημεία τομής πέρνουμε σημεία Γ΄, Γ, Γ΄΄, .... τέτοια ώστε ΒΓ΄ = ΔΓ= ΑΓ΄΄ = ...= 2ΟΒ. Τα διαδοχικά σημεία σχηματίζουν την κογχοειδή καμπύλη που βλέπετε στο σχήμα που ακολουθεί.
Από το σημείο Β φέρουμε κάθετο επί της (ε) που τέμνει την κογχοειδή στο Γ. Ακολούθως γράφουμε την ΟΓ και έστω Δ το σημείο τομής της ΟΓ με την (ε). Εξ ορισμού της κογχοειδούς έχουμε ότι ΓΔ = 2 ΟΒ. Έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΔΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ. Τότε ΓΜ=ΜΔ=ΒΜ=ΟΒ. ( Αφού ΓΔ= 2ΟΜ). ΄
Έστω ότι η γωνία ΒΓΜ = ω. Τότε και η γωνία ΓΟΓ΄΄ = ω αφού είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΟΓ΄΄. Επιπλέον και η γωνία ΓΒΜ= ω αφού το τρίγωνο ΓΒΜ είναι ισοσκελές. Αφού σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ισούται με το άρθοισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών είναι φανερό ότι η γωνία ΒΜΟ = 2ω. Αφού το τρίγωνο ΜΒΟ επίσης είναι ισοσκελές (ΒΜ=ΒΟ) τότε είναι φανερό ότι η γωνία ΒΟΔ = 2ω.
Έχουμε λοιπόν ΒΟΑ = 3ω, και ΓΟΓ΄΄ = ω, άρα η ΟΓ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΒΟΑ
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου