Κανονικό εξάγωνο και χρυσή τομή

Εισαγωγή

Η βασική ιδέα αυτού του άρθρου είναι ο χωρισμός των πλευρών κανονικού εξαγώνου με βάση την αναλογία της χρυσής τομής και η δημιουργία μικρότερου κανονικού εξαγώνου, του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία χωρισμού του αρχικού εξαγώνου.

Κατασκευή

Έστω κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ  Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ακτίνας ρ. [Σ.1] Έστω σημεία Α΄, Β΄ , Γ΄ , Δ΄ , Ε΄ , Ζ΄ αντίστοιχα επί των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ και ΖΑ τέτοια ώστε:

ΑΑ΄/Α΄Β = ΒΒ΄/Β΄Γ= ΓΓ΄/Γ΄Δ= ΔΔ΄/Δ΄Ε= ΕΕ΄/Ε΄Ζ =ΖΖ΄/Ζ΄Α = φ

Όπου φ = ½ ( 1 + √5 )

Προφανώς ΑΑ΄ = ΒΒ΄= ΓΓ΄= ΔΔ΄= ΕΕ΄=ΖΖ΄ = ρ/φ και Α΄Β = Β΄Γ= Γ΄Δ= Δ΄Ε= Ε΄Ζ =Ζ΄Α = ρ/φ² [ρ η πλευρά του κανονικού εξάγωνου που ισούται με την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται σε αυτό]

Ενώνουμε τα σημεία Α΄, Β΄ , Γ΄ , Δ΄ , Ε΄ , Ζ΄ όπως φαίνεται στο σχήμα πιο κάτω:

Από την ισότητα των τριγώνων Α΄ΒΒ΄,  Β΄ΓΓ΄, Γ΄ΔΔ΄,  Δ΄ΕΕ΄,  Ε΄ΖΖ΄ και  Ζ΄ΑΑ προκύπτει ότι το εξάγωνο Α΄ Β΄  Γ΄  Δ΄  Ε΄  Ζ ΄ είναι επίσης κανονικό και ακολούθως υπολογίζουμε την πλευρά του. Για να το πετύχουμε εφαρμόζουμε το νόμο του συνημίτονου πάνω στο αμβλυγώνιο σκαληνό τρίγωνο Β΄ΓΓ΄

´ô² = ´ò +  ΓΓ΄² - 2 ´à . ΓΓ΄ συν Γ

→ ´ô² = ρ² [ (1/φ⁴) + (1/φ²) – (2 συν 120⁰)/φ³]

→ ´ô² = ρ² [ (1 + φ² + φ )/φ⁴)]= 2ρ²φ²/ φ⁴

→ ´ô² = 2ρ² / φ² και άρα ´ô = ρ√2 / φ

Εφόσον το ´ô ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου στο κανονικό εξάγωνο Α΄ Β΄  Γ΄  Δ΄  Ε΄  Ζ ΄ κύκλου, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του κύκλου αυτού. Πράγματι:

Εκ = π ´ô² =2 π ρ² / φ²

Ο λόγος των εμβαδών των περιγεγραμμένων κύκλων των δύο εξαγώνων ισούται με φ²/2 δηλαδή  (φ+1)/2. [Βλέπε και σημείωση 2] Αν ονομάσουμε το λόγο αυτό Λ και υπολογίσουμε τη δεκαδική του προσέγγιση τότε έχουμε Λ = 1,309016994..

Υπολογισμός του λόγου των εμβαδών των δύο εξαγώνων

Εφόσον το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς α ισούται με (3 √3 α²)/2 και οι πλευρές των ΑΒΓΔΕΖ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄Ε΄Ζ΄ είναι ρ και ρ√2/φ τότε ο λόγος των εμβαδών προφανώς ισούται με Λ. Αν θέσουμε λ = 1/Λ όπου λ ο λόγος του μικρού εξαγώνου προς το μεγάλο τότε λ = 2/φ²= 3 - √5 = 0,763932022..

Υπολογισμός της γωνίας στροφής

Εφόσον οι δύο κύκλοι που περιβάλλουν τα εξάγωνα είναι ομόκεντροι μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία ΒΟΒ΄ = χ η οποία οριοθετεί την  περιστροφή μεταξύ των δύο εξαγώνων εφαρμόζοντας το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΒΟΒ΄ με πλευρές ΒΟ = ρ, ΟΒ΄ = ρ √2 / φ , ΒΒ΄ = ρ/φ και η γωνία ΟΒΒ΄ = 60⁰. Έχουμε:

ΟΒ΄/ ημ60 = ΒΒ΄/ ημ χ

→ ημ χ = ( ΒΒ΄. ημ 60 )/ΟΒ΄

→ ημ χ = (ρ/φ)(√3/2) / (ρ √2/φ) = √6/4

→ χ = 37⁰ 45΄ 40΄΄

Δημιουργία σπείρας κανονικών εξαγώνων.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, δηλαδή προσδιορίζουμε σημεία Α΄΄, Β΄΄,  Γ΄΄, Δ΄΄ , Ε΄΄, Ζ΄΄ επί των πλευρών Α΄ Β΄,   ´ô,  Γ΄Δ΄,   Δ΄ Ε΄,   Ε΄Ζ ΄,  Ζ ΄Α΄ που τις χωρίζουν στην αναλογία της χρυσής τομής και έτσι κατασκευάζουμε τρίτο κανονικό εξάγωνο εντός του δευτέρου.Ακολούθως τέταρτο , πέμπτο, έκτο

και ορίζουμε τα αντίστοιχα εμβαδά ως Ε1 ,   Ε2 ,  Ε3 ,  Ε4 ,  Ε5 ,  … Εν-2 ,   Εν-1  ,  Εν  ,…

Είναι φανερό ότι Εν / Εν-1  = Εν-1 / Εν-2 =  Εν-2 / Εν-3  =   … Ε3/  Ε2  = Ε2  / Ε1 =( φ+1)/2 = 3 - √5 = 2/(φ +1) = 2/φ²

Συνακόλουθα:

Ε3 / Ε1 = (3 - √5)² = 14 - 6√5 = 2 ( 7 - 3√5) = 2²/ φ⁴

Ε4 / Ε1 = (3 - √5)³ = 72 - 32√5 = 8 ( 9 - 4√5) = 2³/ φ⁶

→ Εν / Ε1  = 2 ^ (ν-1) / φ ^ [2(ν-1)]

Κριτήριο διαίρεσης δια το 11

Εισαγωγή

Μπορούμε να εξακριβώσουμε από τα ψηφία του, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 11 χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση; Μπορούμε, όμοια, να διακριβώσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 11 χωρίς να κάνουμε την πράξη;

Το άρθρο αυτό θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε τα ερωτήματα αυτά. Περαιτέρω θα παρατεθούν πρακτικά παραδείγματα για να γίνει απολύτως ξεκάθαρη η μέθοδος διακρίβωσης της διαιρετότητας αριθμού δια 11. Στο τέλος του άρθρου θα παρατεθεί η μαθηματική απόδειξη που αποδεικνύει την βασιμότητα της μεθόδου.

Μέθοδος διερεύνησης  διαιρετότητας με το 11

1.Γράψετε τον αριθμό του οποίου θέλετε να διερευνήσετε τη διαιρετότητα με το 11.

2. Αφαιρέστε από το ψηφίο των μονάδων το  ψηφίο των δεκάδων.

3. Ακολούθως προσθέστε στο αποτέλεσμα που βρήκατε το  ψηφίο των εκατοντάδων.

4. Από το αποτέλεσμα που βρήκατε αφαιρέστε το ψηφίο των χιλιάδων.

5. Στη διαφορά που βρήκατε προσθέστε το  ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων.

6. Από το άθροισμα αφαιρέστε το  ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων.

7. Συνεχίστε να προσθέτετε και να αφαιρείτε εναλλάξ τα  ψηφία του αριθμού με τους μέχρι να μην υπάρχουν άλλα ψηφία. Βρείτε το τελικό αποτέλεσμα.

8. Αν το τελικό αποτέλεσμα διαιρείται ακριβώς με το 11 και ο αριθμός μας διαιρείται με το 11 χωρίς υπόλοιπο.

9. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αποτελέσματος με το 11 μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού μας με το 11.

10. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού προκύπτει αν τον προσθέσουμε στο 11. [Παράδειγμα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης 2143 : 11 είναι 3-4+1-2= -2 δηλαδή 11-2 = 9. Πράγματι:

 2143 = 9 (mod 11) .]

Παραδείγματα διερεύνησης της διαιρετότητας ενός αριθμού με το 11

Παράδειγμα 1

Αποτελεί ο αριθμός 11 παράγοντα του 4 2 315;

Διερεύνηση

5 – 1 + 3 – 2 + 4 = 9 και 9 : 11 = 0 και υπόλοιπο 9.

Συμπέρασμα: 42315 = 9 (mod 11) .

Πράγματι: 42 315 = (11 . 3846) + 9

Παράδειγμα 2

Αποτελεί ο αριθμός 11 παράγοντα του 2020128;

Διερεύνηση

8 – 2 + 1 – 0 + 2  – 0 + 2 = 11 και 11 : 11 = 1.

Συμπέρασμα: 11  │2020128.

Πράγματι: 2020128 = 183648.11

Παράδειγμα 3

Αποτελεί το 11 παράγοντα του αριθμού 72 450 321;

Διερεύνηση

1 – 2 + 3 – 0 + 5 – 4 + 2 – 7= -2 

Συμπέρασμα: 72 450 321 = 9 (mod 11) 

Πράγματι: 72 450 321 = ( 6 586 392 . 11 ) + 9

Παράδειγμα 4

Διαιρεί το 11 ακριβώς τον αριθμό 180 131 314;

4 – 1 + 3 – 1 + 3 – 1 + 0 – 8 + 1 = 11

Συμπέρασμα: 11 │180 131 314

Πράγματι: 180 131 314 : 11  = 16375574

Παράδειγμα 5

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των χιλιάδων του αριθμού 7 10.. 256 για να διαιρείται ακριβώς με το 11;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

6 – 5  + 2  – χ + 0 –  1 + 7 = 11 ν   

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με 9 – χ . Άρα για να είναι το 9 – χ πολλαπλάσιο του 11, τότε το ν  ισούται  με 0.

→ 9 – χ = 0 και άρα το χ = 9

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 7 109 256

 Πράγματι: 7 109 256 = ( 646296. 11 )

    

Παράδειγμα 6

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων του αριθμού 305.. 4729 για να διαιρείται ακριβώς με το 11;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

9 – 2  + 7  –  4 + χ - 5 + 0 –  3 = 11 ν 

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με χ+2 . Άρα για να είναι το χ+2 πολλαπλάσιο του 11, τότε το ν  ισούται  με 1.

→ χ+2 = 11 και άρα το χ = 9

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 30 594 729

 Πράγματι: 30 524 729 = ( 2781339. 11 )      

Μαθηματική απόδειξη του κριτηρίου διαιρετότητας του 11

Έστω ο τυχαίος ακέραιος φυσικός αριθμός  .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  όπου:

 χ το ψηφίο των μονάδων,

 φ το ψηφίο των δεκάδων

 τ το ψηφίο των εκατοντάδων  

σ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής.

Εξ’  ορισμού προκύπτει ο φυσικός αριθμός

.... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + 10⁵ π + 10⁶ ξ + 10⁷ν + 10⁸μ+ 10⁹ λ + 10¹ºκ + ....

Όπου η έκφραση  10⁵  διαβάζεται 10 υψωμένο στη πέμπτη δύναμη, η έκφραση 10⁶  10 υψωμένο στην έκτη δύναμη και ούτω καθεξής.

Διαχωρίζω τον κάθε προσθετέο του δεύτερου  μέρους της προηγούμενης εξίσωσης σε 2 μέρη, εκ των οποίων το πρώτο είναι πολλαπλάσιο του 11. Ακολούθως διαχωρίζω τα πολλαπλάσια του 11 από τα υπόλοιπα μέρη και τα τοποθετώ σε δύο παρενθέσεις.

Έτσι:

χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + 10⁵ π + 10⁶ ξ + 10⁷ν + 10⁸μ+ 10⁹ λ + 10¹ºκ + ....

 = [χ + (11 -1 ) φ + ( 99 + 1 ) τ + (1001 – 1 ) σ + ( 9 999 + 1 ) ρ + ( 100 001 – 1 ) π  + ( 999 999 + 1 ) ξ + ( 10 000 001 – 1 ) ν + ( 99 999 999 + 1 ) μ + ( 1 000 000 001 – 1 ) λ + ( 9 999 999 999 + 1 )κ + ....]

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = (11 φ + 99 τ + 1001 σ + 9 999 ρ + 100 001 π  + 999 999 ξ + 10 000 001 ν + 99 999 999 μ + 1 000 000 001 λ + 9 999 999 999 κ + ....) + ( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = 11 ( φ + 9 τ + 91 σ + 909 ρ + 9091 π  + 90909 ξ + 909091 ν + 9090909 μ + 90909091 λ + 909090909 κ - ....) + ( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα δύο παρενθέσεων, εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλάσιο του 11. Για να είναι λοιπόν ο αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ πολλαπλάσιο του 11 αρκεί η δεύτερη παρένθεση να είναι πολλαπλάσιο του 11, δηλαδή:

( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)= 11 γ

όπου γ ακέραιος αριθμός.

Σημειώσεις

1. Η μαθηματική έκφραση    α │β μπορεί να διαβαστεί ως  «α παράγοντας του β» , δηλαδή ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης β : α είναι 0  ( β = 0 mod α )

2. Η έκφραση 846 = 6 ( mod 8 ) σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 846 με το 8 είναι 6. Ανάλογα πρέπει να διαβάζονται παρόμοιες εκφράσεις που συναντούμε στα παραδείγματα 1 – 5 της εργασίας.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας.

Κριτήριο διαίρεσης δια 13

Εισαγωγή

Μπορούμε να εξακριβώσουμε από τα ψηφία του, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 13 χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση; Μπορούμε, όμοια, να διακριβώσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 13 χωρίς να κάνουμε την πράξη; Το άρθρο αυτό θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε τα ερωτήματα αυτά. Περαιτέρω θα παρατεθούν πρακτικά παραδείγματα για να γίνει απολύτως ξεκάθαρη η μέθοδος διακρίβωσης της διαιρετότητας αριθμού δια 13.

Αυτή είναι απλή και εύκολα  κατανοητή ακόμα και από μαθητές δημοτικού.

Στο τέλος του άρθρου θα παρατεθεί η μαθηματική απόδειξη που αποδεικνύει την βασιμότητα της μεθόδου.

Μέθοδος διερεύνησης  διαιρετότητας με το 13

1.Γράψετε τον αριθμό του οποίου θέλετε να διερευνήσετε τη διαιρετότητα με το 13.

2. Αφαιρέστε από το ψηφίο των μονάδων το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων.

3. Ακολούθως προσθέστε στο αποτέλεσμα που βρήκατε το εννιαπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων.

4. Από το αποτέλεσμα που βρήκατε αφαιρέστε το ψηφίο των χιλιάδων.

5. Στη διαφορά που βρήκατε προσθέστε το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων χιλιάδων.

6. Στο νέο άθροισμα αφαιρέστε το εννιαπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων χιλιάδων.

7. Συνεχίστε να προσθέτετε και να αφαιρείτε εναλλαξ τα πολλαπλάσια των ψηφίων του αριθμού με τους αριθμούς 1, 3, 9 μέχρι να μην υπάρχουν άλλα ψηφία. Βρείτε το τελικό αποτέλεσμα.

8. Αν το τελικό αποτέλεσμα διαιρείται ακριβώς με το 13 και ο αριθμός μας διαιρείται με το 13 χωρίς υπόλοιπο.

9. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 13, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αποτελέσματος με το 13 μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού μας με το 13.

10.  Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός, τότε αφαιρέστε από αυτόν το αμέσως μικρότερο πολλαπλάσιο του 13 για να βρείτε το ζητούμενο υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με το 13.

Παραδείγματα διερεύνησης της διαιρετότητας ενός αριθμού με το 13

Παράδειγμα 1

Αποτελεί ο αριθμός 13 παράγοντα του 4 2 315;

Διερεύνηση

5 – ( 3 . 1 ) + ( 9 . 3 ) – 2 + ( 3. 4 ) = 39 και 39 : 13 = 3 και υπόλοιπο μηδέν.

Συμπέρασμα: 13│42 315.  Ο αριθμός 42 315 διαιρείται με το 13 .

Πράγματι: 42 315 = 13 . 3255 .

Παράδειγμα 2

Αποτελεί ο αριθμός 13 παράγοντα του 7 23 156

Διερεύνηση

6 – (  3 . 5 ) + ( 9 . 1) – 3 + ( 3 . 2 ) – ( 9 . 7 ) = - 60 και -60 – ( - 65 )= 5.

Συμπέρασμα: = 723 156 = 5 (mod 13) .

Πράγματι: 723 156 = ( 13 . 55 627 ) + 5

Παράδειγμα 3

Αποτελεί το 13 παράγοντα του αριθμού 72 450 321;

Διερεύνηση

1 – ( 3.2) + ( 9.3) – 0 + (3.5) – (9.4) + 2 – (3.7)= -18 

και -18 – (-26) = 8

Συμπέρασμα: 72 450 321 = 8 (mod 13) 

Πράγματι: 72 450 321 = ( 5 573 101 . 13 ) + 8

Παράδειγμα 4

Διαιρεί το 13 ακριβώς τον αριθμό 180 131 315;

5 – (3.1) + (9.3) – 1 + (3.3) – (9.1) + 0 – (8.3) + (9.1) = 13

Συμπέρασμα: 13 │180 131 315

Πράγματι: 180 131 315 : 13  = 13 856 255

Παράδειγμα 5

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των χιλιάδων του αριθμού 7 10.. 256 για να διαιρείται ακριβώς με το 13;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

6 – ( 3. 5 ) + ( 9. 2 ) – χ + 0 – (9. 1) + 7 = 13 ν όπου  ν 

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με 7 – χ . Άρα για να είναι το 7 – χ πολλαπλάσιο του 13, τότε το ν  ισούται  με 0.

→ 7 – χ = 0 και άρα το χ = 7

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 7 107 256

 Πράγματι: 7 107 256 = ( 546 712 . 13 )      

Μαθηματική απόδειξη του κριτηρίου διαιρετότητας του 13

Έστω ο τυχαίος ακέραιος αριθμός  .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  όπου:

 χ το ψηφίο των μονάδων,

 φ το ψηφίο των δεκάδων

 τ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής.

Εξ’  ορισμού προκύπτει η ισότητα

.... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + ( 10^5 ) π + (  10^6 ) ξ + ( 10^7 ) ν + ( 10^8 ) μ+ ( 10^9 ) λ + ( 10^10 ) κ + ....

Όπου η έκφραση  10^5  σημαίνει 10 υψωμένο στη πέμπτη δύναμη, η έκφραση 10^6 σημαίνει 10 υψωμένο στην έκτη δύναμη και ούτω καθεξής.

Διαχωρίζω τον κάθε προσθετέο του δεύτερου  μέρους της προηγούμενης εξίσωσης σε 2 μέρη, εκ των οποίων το πρώτο είναι πολλαπλάσιο του 13. Ακολούθως διαχωρίζω τα πολλαπλάσια του 13 από τα υπόλοιπα μέρη και τα τοποθετώ σε δύο παρενθέσεις.

Έτσι:

χ + 10 φ + 100 τ + 1000 σ + 10000 ρ + ( 10^5 ) π + (  10^6 ) ξ + ( 10^7 ) ν + ( 10^8 ) μ+ ( 10^9 ) λ + ( 10^10 ) κ + .... = [χ + (13 -3 ) φ + ( 91 + 9 ) τ + (1001 – 1 ) σ + ( 9 997 + 3 ) ρ + ( 100 009 – 9 ) π  + ( 999 999 + 1 ) ξ + ( 10 000 003 – 3 ) ν + ( 99 999 991 + 9 ) μ + ( 1 000 000 001 – 1 ) λ + ( 9 999 999 997 + 3 )κ + ....]

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = (13 φ + 91 τ + 1001 σ + 9 997 ρ + 100 009 π  + 999 999 ξ + 10 000 003 ν + 99 999 991 μ + 1 000 000 001 λ + 9 999 999 997 κ + ....) + ( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = 13 ( φ + 7 τ + 77 σ + 769 ρ + 7 693 π  + 76 923 ξ + 769 231 ν + 7 692 307 μ + 76 923 077 λ + 769 230 769 κ - ....) + ( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα δύο παρενθέσεων, εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλάσιο του 13. Για να είναι λοιπόν ο αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ πολλαπλάσιο του 13 αρκεί η δεύτερη παρένθεση να είναι πολλαπλάσιο του 13, δηλαδή:

( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)= 13 γ

όπου γ ακέραιος αριθμός.

Σημειώσεις

1. Η μαθηματική έκφραση    α │β μπορεί να διαβαστεί ως  «α παράγοντας του β» , δηλαδή ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης β : α είναι 0  ( β = 0 mod α )

2. Η έκφραση 846 = 6 ( mod 8 ) σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 846 με το 8 είναι 6. Ανάλογα πρέπει να διαβάζονται παρόμοιες εκφράσεις που συναντούμε στα παραδείγματα 1 – 5 της εργασίας.

Μ. Πόλης.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας

Ο Ηράκλειτος και η Μυστική παράδοση των Σούφι

     Η Ισλαμική μυστική παράδοση κατεξοχήν αντιπροσωπεύεται από το κίνημα των Σούφι.    Οι απαρχές του κινήματος αυτού βρίσκονται στον 8^ο αιώνα της χριστιανικής χρονολόγησης. Εξαπλώθηκαν στην Περσία,την Τουρκία την Αραβία, ακόμα και την Ινδία. Ζούσαν είτε ατομικά, είτε κοινοβιακά σε μοναστήρια. Αρχές τους ήταν η αγαμία, η ακτημοσύνη και η υπακοή στον αρχηγό της κοινότητας, θυμίζουν δε ανάλογες αρχές του Χριστιανικού μοναχισμού.  Φορείς της περιπλανώμενοι ασκητές, που θεωρούσαν αρετή τους την φτώχια και ζούσαν με την επετεία. Είναι γνωστοί και με το όνομα φακίρες ( Fakir = πτωχός ) ή δερβίσες,που συχνά οργανώνονταν σε μοναχικά τάγματα.  Παρόλο που ήταν ισλαμιστές, τα κυρήγματα τους είχαν πανθεϊστικά και αντιεξουσιαστικά στοιχεία γιαυτό καταδιώχθησαν από τα κύρια Ισλαμικά ρεύματα. Κυριότερος εκπρόσωπος και μάρτυρας του Ισλαμικού μυστικισμού ήταν ο Χουσεϊν Ιμπν Μανσούρ, ο οποίος σταυρώθηκε στη Βαγδάτη το 922 μ.Χ. Πεθαίνοντας παρακάλεσε τον Θεό να συγχωρήσει τους σταυρωτές του και τον ευχαρίστησε που τον αξίωσε να ενωθεί μαζί του. Ο Πέρσης ποιητής Ομάρ Καγιάμ, στα λιτά και μεστά νοήματος ολιγόστιχα ποιήματα του αποτύπωσε, μεταξύ άλλων, διάφορα διδάγματα των μυστικιστών.

     Πίστευαν ότι όλα στο σύμπαν συγκροτούν ενότητα, ότι η ανθρώπινη ψυχή προέρχεται και είναι μέρος της Θείας ουσίας με την οποία προσδοκεί να ενωθεί. Η θέση αυτή θυμίζει ανάλογες γνωστικές, αλλά και Ηρακλείτιες θέσεις. Μέσα από την ασκητική, στερημένη από υλικά αγαθά ζωή τους, οι Σούφι επιδίωκαν να φτάσουν στη μυστική ένωση με το Θεό. Η προσευχή, η ενόραση, τα μυστικιστικά βιώματα, οι εκστατικές εμπειρίες, ο χορός, και η χρήση ψυχότροπων ουσιών ήταν οι γέφυρες που οδηγούσαν τους πιστούς στην υπερβατική αυτή ένωση .

        Ο Τζαλαλουντίν Ρούμι, ιδρυτής του Δερβισικού Τάγματος των Μεβλεβήδων έλεγε πως οι φιλόθεοι άνθρωποι γίνονται σοφοί όχι από τα βιβλία αλλά από την βίωση της αλήθειας, είναι πέρα από την απιστιά και την πίστη, ξέρουν ότι το ορθό και το λάθος είναι το ίδιο. Ακόμα έλεγε ότι τα αντίθετα συγκρούονται φαινομενικά, ενώ πραγματικά εργάζονται μαζί. Ο άνθρωπος αυτός, χωρίς να το ξέρει επαναδιατύπωνε τις θέσεις του Ηράκλειτου. Η αναφορά του στην σοφία, που δεν βρίσκεται στην αποστήθιση βιβλίων, είναι ουσιαστικά επαναδιατύπωση του αποσπάσματος 40.

« Η πολυμάθεια δεν διδάσκει την βαθύτερη κατανόηση των πραγμάτων.....

       Ακόμα η αρμονία των αντιθέτων αποτελεί την πεμπτουσία της φιλοσοφίας του σκοτεινού φιλοσόφου. Η θέση του Ρούμι, ότι οι φιλόθεοι άνθρωποι είναι πέρα από την απιστία και τη πίστη, σίγουρα σκανδαλίζει κάθε ζηλωτή πιστό, ανεξάρτητα από τη θρησκεία που ανήκει. Αγκυλωμένοι όπως είναι στα θρησκευτικά πιστεύω τους, τα οποία θεωρούν ως απόλυτη αλήθεια, δεν μπορούν να δεχθούν καμμιά αντίθετη άποψη. Η μονοδιάστατη αυτή αντίληψη δεν βοηθά στην βαθύτερη κατανόηση των πραγμάτων. Ακούγοντας το Ρούμι μας έρχεται στο νου η ρήση του Ηράκλειτου για το Θεό, που εκλαμβάνεται όχι ως ένας πόλος της πραγματικότητας, αλλά ως αρμονική συνένωση, υπέρβαση των αντιθέτων:( απόσπασμα 67)

«Ο Θεός είναι μέρα και νύκτα, χειμώνας και κάλοκαίρι, πόλεμος και ειρήνη, χορτασμός και πείνα. Αλλοιώνεται όπως η φωτιά όταν αναμιχθεί με θυμιάματα, και τότε ονομάζεται ανάλογα με την οσμή του καθενός»

Κάθε θρησκευτικό σύστημα, καθορίζει το θεό, ή τους Θεούς που πρέπει να λατρεύουν οι πιστοί του. Έτσι εξηγείται η αναφορά για αλλοίωση του Θεού, ανάλογα με τη πίστη του κάθε λαού. Το ότι οι Θεοί δεν ήταν παρά προσωπεία του ενός Θεού, το είχαν καταλάβει οι αρχαίοι Έλληνες, γιαυτό ήταν τόσο ανεξίθρησκοι και σέβονταν τους Θεούς όλων των λαών. Το είχαν καταλάβει και οι Σούφι, γιαυτό και καταδικάστηκαν από τον μισαλλόδοξο κυρίαρχο Ισλαμικό ρεύμα. Όταν βιώσεις την βαθύτερη ενότητα των αντιθέτων, όπως είχαν κάνει οι Σούφι και ο Ηράκλειτος, τότε ξεπερνάς τη λογική της σύγκρουσης και προχωράς πέρα από αυτήν. Γίνεσαι ανεκτικός, προσπαθείς να κατανοήσεις τον άλλο, να τον ανέχεσαι τουλάχιστον. Αυτή τη λογική δεν μπορεί να την καταλάβει η μάζα των φανατικών οπαδών, και αυτό δεν ισχύει μόνο στην Θρησκεία. Βλέποντας τους φανατικούς οπαδούς μιας ομάδας να βρίζουν την αντίπαλη ομάδα, αναγνωρίζεις ότι αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι δεν καταλαβαίνουν ότι οι δύο ομάδες συνεργάζονται. Ο αντίπαλος είναι συνεργάτης γιατί χωρίς αυτόν δεν θα υπήρχε ούτε παιγνίδι, ούτε νίκη.

      Ο Ηράκλειτος διαχρονικά περιθωριοποιήθηκε, και δεν έτυχε της θέσης και της αναγνώρισης που του άξιζει, γιατί κατανόησε την ενότητα και την αρμονία των αντιθέτων και δεν έμεινε στην φαινομενική αντιπαλότητα. Ο Εφέσιος φιλόσοφος, γνωρίζοντας ότι το πλήθος είναι ανίκανο να κατανοήσει τέτοια μηνύματα, που τα κατανοούν ελάχιστοι είπε χαρακτηριστικά:

« Για μένα ο ένας ισοδυναμεί με χιλιάδες αν είναι άριστος » ( Απόσπασμα 69 )

Αυτός ο πνευματικός ελιτισμός, η γνώση ότι ξεχωρίζουν από τα ανθρώπινα κοπάδια, όντας κυνηγοί μιας βαθύτερης εσωτερικής γνώσης, υπάρχει και στους Σούφι. Όπως ό Ηράκλειτος, αλλά και διαχρονικά όλοι οι αναχωρητές, φεύγουν τον κόσμο για να κατακτήσουν τη γνώση, τη σοφία, τον Θεό. Οι πολλοί τους νομίζουν περιθωριακούς, απόβλητους σχεδόν τρελούς. Όμως αυτοί δεν στηρίζονται στον κόσμο, απεναντίας μπορεί να πει κανένας ότι τον περιφρονούν. Βλέπουν την ρηχότητα των αναζητήσεων των κοινών ανθρώπων και δεν εκπλήσσονται γιατί αυτοί κυνηγούν πράγματα ασήμαντα όπως οι ηδονές και τα υλικά αγαθά. Στο σημείο αυτό δεν μπορούμε παρά να θυμηθούμε και πάλι τον Ηράκλειτο που είπε:( Αποσπάσματα 9, 29 )

Οι όνοι θα προτιμούσαν το άχυρο από το χρυσάφι....Ακόμα “Οι άριστοι προτιμούν την αιώνια δόξα, ενώ οι πολλοί αρκούνται στο να χορταίνουν σαν τα ζώα.”  

     Η συνάντηση με τον Θεό για τους Σούφι είναι η υπέρβαση του εαυτού. Για το θέμα αυτό είναι ουσιαστική η πιο κάτω ιστορία από την Σουφική παράδοση.

Κάποιος ασκητής φλεγόταν από την επιθυμία να ενωθεί με το Θεό. Άφησε λοιπόν το κελί του και ξεκίνησε το μεγάλο ταξίδι για να τον βρει. Όταν μετά από πολύ καιρό βρήκε το σπίτι του Θεού φώναξε. Άνοιξε μου Θέε μου είμαι εγώ ο... Ο Θεός δεν αποκρίθηκε στο κάλεσμα. Ο ασκητής δεν ήταν ώριμος να ενωθεί με το Θεό. Επέστρεψε στο κελί του και συνέχισε, μέσα από την άσκηση και την εσωτερική αναζήτηση, να προσπαθεί να βρει το λάθος που έκανε... Μετά από χρόνια, έκανε το δεύτερο ταξίδι. Έφτασε ξανά στο σπίτι του Θεού και φώναξε. Άνοιξε Θεέ μου είμαι εσύ.. Τότε ο Θεός άνοιξε την πόρτα και δέκτηκε τον ασκητή..

       Η πιο πάνω αλληγορική ιστορία δεν θυμίζει Ηράκλειτο, αποτελεί αυτούσια την Ηρακλείτικη φιλοσοφία. Πότε δεν θα φτάσεις τον Θεό αν δεν υπερβεις τον εαυτό σου, αν δεν εννοήσεις την βαθύτερη ενότητα των πάντων και του Θεού. Ο Ηρακλείτιος Θεός Λόγος είναι ατόφιο πύρ, ενώ από το πύρ γίνονται όλα τα όντα. Για να συναντήσεις το Θεό πρέπει να κοιτάξεις να τον βρεις μέσα σου...Πρέπει να βρεις την εσωτερική σπίθα που καίει μέσα σου που είναι η μερισμένη, αλλά ταυτόχρονα αμέριστη θεία ουσιά..

     Ο Σάαντι του Σιράζ, περιπλανόμενος Πέρσης Σούφι διδάσκαλος του 13^ου αιώνα, πέρασε την ζωή του σε απόλυτη φτώχια, περιπλανώμενος και αναζητώντας την αλήθεια. Έγραψε δύο μεγάλα κλασσικά έργα, τον Ροδόκηπο και τον Φρουτόκηπο. Σε αυτά με εκφραστική λιτότητα αποδίδει μεγάλες αλήθειες. Ας δούμε χαρακτηριστικά αποσπάσματα:

«Όσο κιαν μελετάς, δεν μπορείς να μάθεις χωρίς πράξη. Ένας γάιδαρος φορτωμένος βιβλία δεν είναι ούτε διανοούμενος ούτε σοφός. Άδειος από ουσία, τι μάθηση μπορεί να έχει; Τι σημασία έχει αν κουβαλά καυσόξυλα ή βιβλία;»

Τα λόγια αυτά  αποδίδουν το ίδιο νόημα με το απόσπασμα 40 του Ηράκλειτου, που λέει ότι η πολυμάθεια δεν διδάσκει την βαθύτερη κατανόηση των πραγμάτων. Η εξωτερική γνώση ορισμών , εννοιών και αφηγήσεων δεν σημαίνει, χωρίς ενορατική βίωση και ενδοσκόπηση, βαθύτερη κατανόηση του κοσμου.

     Σε ένα άλλο απόσπασμα του ο Σαάντι αναφέρει:

« Αυτός που έχει έπαρση στο κεφάλι του – μη φαντάζεσαι ότι ποτέ θα ακούσει την αλήθεια» Προφανώς ο περήφανος και υπερόπτης άνθρωπος βλέπει τα πάντα μέσα από ένα παραμορφωτικό φακό, που μεγενθύνει τα δικά του προτερήματα και εξαφανίζει αυτά των άλλων. Είναι επικίνδυνος τόσο για τον εαυτό του όσο και για τους άλλους. Δεκαοχτώ αιώνες προηγουμένως ο Ηράκλειτος είχε καταδικάσει με δριμύτητα την έπαρση, την υπερφίαλη περηφάνια, που κάνει τον άνθρωπο να χάνει επαφή με την πραγμάτικότητα. Στο απόσπασμα 43, χαρακτηρίζει τα αποτελέσματα της έπαρσης ως χειρότερα από τα αποτελέσματα μιας πυρκαγίας. Περισσότερο κι απ’ την πυρκαγιά πρέπει να κατασβήνει κανείς την έπαρση, μας λέει με έμφαση.

     Ο Ελ Γκαζαλί ήταν φιλόσοφος και Σούφι του 12^ου αιώνα. Έγραψε το έργο « Το βιβλίο της Γνώσης » ένα πραγματικό θησαύρισμα γνώσης. Πρέσβευε ότι οι άνθρωποι πρέπει να είναι κριτικοί σε κάθε άποψη, να μην αποδέχονται τυφλά τις οποιαδήποτε δοξασίες. Ήταν κριτικός στο θέμα της τυφλής θρησκευτικής πίστης, γιαυτό τα έργα του κάηκαν από φανατικούς πιστούς τόσο σε χριστιανικές όσο και μουσουλμανικές χώρες. Θεωρούσε μεγάλη δυστυχία το γεγονός ότι οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να ξεχωρίσουν τη γνώμη από τη γνώση, την αλήθεια από την προπαγάνδα. Ας παρακολουθήσουμε κάποια αποσπάσματα του στα οποία η σκέψη του διασταυρώνεται με αυτήν του σκοτεινού Φιλοσόφου:

« Οι άνθρωποι αντιστέκονται στα πράγματα επειδή έχουν άγνοια γι αυτά »

Είχε άραγε διαβάσει ποτέ ο Ελ Γκαζαλί τον Ηράκλειτο; Αυτό δεν μπορεί κανείς να το αποκλείσει, εφόσο γνωρίζουμε ότι η αρχαία ελληνική γραμματεία, διωγμένη από τη χώρα που τη γέννησε από το φανατισμό του μεσαίωνα, βρήκε καταφύγιο αρχικά στην μουσουλμανική ανατολή. Δεν μπορεί όμως κανείς να μην παρατηρήσει την ομοιότητα της άποψης του για την άγνοια με το απόσπασμα 97 που αναφέρει ότι τα σκυλιά γαυγίζουν όσους δεν γνωρίζουν. Είναι φανερό ότι και οι δύο στηλιτεύουν το συντηρητισμό των περισσότερων ανθρώπων. Την τάση τους να ακολουθούν την πεπατημένη. Το να ακολουθούν σαν πρόβατα τον εκάστοτε ισχυρό. Το να μην έχουν δική τους γνώμη αλλά να ακολουθούν τους πολλούς. Το να αποδέχονται τις θρησκευτικές δοξασίες χωρίς κριτική διάθεση επειδή έτσι τις βρήκαν. Στην παθητικότητα των πολλών ανθρώπων στηρίζονται τα πολιτικά, θρησκευτικά και όλα τα κατεστημένα της γης.

     Για την πραγματικότητα, την βαθύτερη ουσία του είναι αυτού του κόσμου ο Ελ Γκαζαλί βεβαιώνει ότι

«Δεν υπάρχει ακαδημαϊκή απόδειξη γιαυτήν στον κόσμο,γιατί αυτή είναι κρυμμένη και κρυμμένη και κρυμμένη»

θυμίζοντας μας τον Ηράκλειτο, απόσπασμα  54 που μας λέει ότι η κρυμμένη αρμονία είναι ισχυρότερη από την φανερή. Ακόμα πιο χαρακτηριστικά το απόσπασμα 123 λέει:

« Η φύση αγαπάει να κρύβει τον εαυτό της »

Η γνώση δεν βρίσκεται στα βιβλία, τουλάχιστον όχι μόνο στα βιβλία. Ένα είδος της η εσωτερική, είναι κρυμμένη, χρειάζεται δε πολλή αναζήτηση για να βρεθεί. Για να κατακτηθεί χρειάζεται σκληρός αγώνας, επίπονη αναζήτηση. Όταν δε γίνει αυτό που ονειρεύεται ο αναζητητής, δηλαδή η αποκάλυψη των μυστικών, η γνώση δεν εκφράζεται πάντα με λόγια, είναι, κύριως , άφατο, άρρητο βίωμα.

  Ο Ομάρ Καγιάμ , φιλόσοφος ποιητής και δάσκαλος Σούφι, είναι αρκετά γνωστός στη Δύση επειδή, η αποφθεγματική ποίηση του έχει μεταφραστεί και γίνει γνωστή

στους δυτικούς μελετητές ήδη από τον 19^ο αιώνα. Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό απόσπασμα του, στο οποίο με το δικό του τρόποαναφέρεται στην υπέρβαση των αντιθέτων:

« Στο κελί, στο μοναστήρι και στη συναγωγή: Μερικοί φοβούνται την κόλαση, άλλοι ονειρεύονται τον παράδεισο. Αλλά κανένας που γνωρίζει τα μυστικά του Θεού του, δεν έχει φυτέψει σπόρους σαν αυτούς μέσα στην καρδιά του. »

     Καλό και κακό, κόλαση και παράδεισος , Θεός και δαίμονας, να μερικά παραδείγματα αντιθετικών καταστάσεων που υπάρχουν σε κάθε Θρησκεία. Οι πιστοί αγωνίζονται να κατακτήσουν τον παράδεισο που είναι το έπαθλο της τήρησης των θρησκευτικών κανόνων. Απο την άλλη αγωνίζονται να αποφύγουν την κόλαση, που είναι το έπαθλο της παράβασης των ίδιων κανόνων. Προφανώς κόλαση και παράδεισος είναι οι δύο όψεις της ίδιας κατάστασης, που είναι η επιβολή των θρησκευτικών κανόνων από το Ιερατείο. Ο Θεός όμως είναι κάτι παραπάνω από ένα εξουσιαστικό σύστημα. Τόσο οι Σούφι , όσο και ο Ηράκλειτος ιχνηλατούν την αλήθεια, το Θεό στις ατραπούς της εσωτερικής αναζήτησης και όχι στους κανόνες των θρησκειών. Υπερβαίνουν την φαινομενική αντίθεση και φτάνουν στην βαθύτερη αρμονία...

Ισοπεριμετρικά ορθογώνια τρίγωνα

Ορισμός: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , Α = 90º  , ΒΓ υποτείνουσα και ΒΓ = α, ΑΒ = γ, ΑΓ = β και α > β ≥ γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ ονομάζεται ισοπεριμετρικό αν η αριθμητική τιμή της περιμέτρου του ισούται με την αριθμητική τιμή του εμβαδού του δηλαδή αν ισχύει ότι : 2 ( α + β + γ ) = βγ 

Βασικές συνθήκες που ισχύουν:

1.       2 ( α + β + γ ) = βγ 

2.       α² = β² +γ²                   ( εκ του πυθαγορείου θεωρήματος )

Εντοπισμός ισοπεριμετρικών ορθογωνίων τριγώνων

Από τη συνθήκη (1) έχουμε ότι: α = ½βγ – (β + γ)        (3)

Εφαρμόζουμε τη συνθήκη (3) στη συνθήκη (2) και προκύπτει:

[½βγ – (β + γ)] ² = β² +γ²

⇒¼β²γ² + (β + γ) ² - βγ (β + γ) = β² +γ²

⇒¼β²γ² + 2βγ - βγ (β + γ) = 0   (4)

Εφόσον β >0 και γ>0 μπορούμε να διαιρέσουμε την (4) με  β γ. Προκύπτει ότι:

¼βγ + 2 -  (β + γ) = 0

⇒ β ( γ – 4 ) = 4 ( γ – 2)

⇒ β = 4 [( γ – 2) /( γ – 4 )]     γ > 4

Παραδείγματα ισοπεριμετρικών ορθογωνίων τριγώνων

γ	β	α	Περίμετρος α +β +γ	Εμβαδόν ½βγ
5	12	13	30	30
6	8	10	24	24
7	20/3	29/3)	70/3	70/3
8	6	10	24	24
9	5,6	10,6	25,2	25,2
10	5 ⅓	11 ⅓	26 ⅔	26 ⅔
11	36/7	85/7	198/7	198/7
3+√5	6+2√5	5+3√5	14+6√5	14+6√5