Κριτήριο διαίρεσης δια το 11

Εισαγωγή

Μπορούμε να εξακριβώσουμε από τα ψηφία του, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 11 χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση; Μπορούμε, όμοια, να διακριβώσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 11 χωρίς να κάνουμε την πράξη;

Το άρθρο αυτό θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε τα ερωτήματα αυτά. Περαιτέρω θα παρατεθούν πρακτικά παραδείγματα για να γίνει απολύτως ξεκάθαρη η μέθοδος διακρίβωσης της διαιρετότητας αριθμού δια 11. Στο τέλος του άρθρου θα παρατεθεί η μαθηματική απόδειξη που αποδεικνύει την βασιμότητα της μεθόδου.

Μέθοδος διερεύνησης  διαιρετότητας με το 11

1.Γράψετε τον αριθμό του οποίου θέλετε να διερευνήσετε τη διαιρετότητα με το 11.

2. Αφαιρέστε από το ψηφίο των μονάδων το  ψηφίο των δεκάδων.

3. Ακολούθως προσθέστε στο αποτέλεσμα που βρήκατε το  ψηφίο των εκατοντάδων.

4. Από το αποτέλεσμα που βρήκατε αφαιρέστε το ψηφίο των χιλιάδων.

5. Στη διαφορά που βρήκατε προσθέστε το  ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων.

6. Από το άθροισμα αφαιρέστε το  ψηφίο των εκατοντάδων χιλιάδων.

7. Συνεχίστε να προσθέτετε και να αφαιρείτε εναλλάξ τα  ψηφία του αριθμού με τους μέχρι να μην υπάρχουν άλλα ψηφία. Βρείτε το τελικό αποτέλεσμα.

8. Αν το τελικό αποτέλεσμα διαιρείται ακριβώς με το 11 και ο αριθμός μας διαιρείται με το 11 χωρίς υπόλοιπο.

9. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αποτελέσματος με το 11 μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού μας με το 11.

10. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 11, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού προκύπτει αν τον προσθέσουμε στο 11. [Παράδειγμα: Το υπόλοιπο της διαίρεσης 2143 : 11 είναι 3-4+1-2= -2 δηλαδή 11-2 = 9. Πράγματι:

 2143 = 9 (mod 11) .]

Παραδείγματα διερεύνησης της διαιρετότητας ενός αριθμού με το 11

Παράδειγμα 1

Αποτελεί ο αριθμός 11 παράγοντα του 4 2 315;

Διερεύνηση

5 – 1 + 3 – 2 + 4 = 9 και 9 : 11 = 0 και υπόλοιπο 9.

Συμπέρασμα: 42315 = 9 (mod 11) .

Πράγματι: 42 315 = (11 . 3846) + 9

Παράδειγμα 2

Αποτελεί ο αριθμός 11 παράγοντα του 2020128;

Διερεύνηση

8 – 2 + 1 – 0 + 2  – 0 + 2 = 11 και 11 : 11 = 1.

Συμπέρασμα: 11  │2020128.

Πράγματι: 2020128 = 183648.11

Παράδειγμα 3

Αποτελεί το 11 παράγοντα του αριθμού 72 450 321;

Διερεύνηση

1 – 2 + 3 – 0 + 5 – 4 + 2 – 7= -2 

Συμπέρασμα: 72 450 321 = 9 (mod 11) 

Πράγματι: 72 450 321 = ( 6 586 392 . 11 ) + 9

Παράδειγμα 4

Διαιρεί το 11 ακριβώς τον αριθμό 180 131 314;

4 – 1 + 3 – 1 + 3 – 1 + 0 – 8 + 1 = 11

Συμπέρασμα: 11 │180 131 314

Πράγματι: 180 131 314 : 11  = 16375574

Παράδειγμα 5

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των χιλιάδων του αριθμού 7 10.. 256 για να διαιρείται ακριβώς με το 11;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

6 – 5  + 2  – χ + 0 –  1 + 7 = 11 ν   

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με 9 – χ . Άρα για να είναι το 9 – χ πολλαπλάσιο του 11, τότε το ν  ισούται  με 0.

→ 9 – χ = 0 και άρα το χ = 9

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 7 109 256

 Πράγματι: 7 109 256 = ( 646296. 11 )

    

Παράδειγμα 6

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων του αριθμού 305.. 4729 για να διαιρείται ακριβώς με το 11;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

9 – 2  + 7  –  4 + χ - 5 + 0 –  3 = 11 ν 

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με χ+2 . Άρα για να είναι το χ+2 πολλαπλάσιο του 11, τότε το ν  ισούται  με 1.

→ χ+2 = 11 και άρα το χ = 9

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 30 594 729

 Πράγματι: 30 524 729 = ( 2781339. 11 )      

Μαθηματική απόδειξη του κριτηρίου διαιρετότητας του 11

Έστω ο τυχαίος ακέραιος φυσικός αριθμός  .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  όπου:

 χ το ψηφίο των μονάδων,

 φ το ψηφίο των δεκάδων

 τ το ψηφίο των εκατοντάδων  

σ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής.

Εξ’  ορισμού προκύπτει ο φυσικός αριθμός

.... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + 10⁵ π + 10⁶ ξ + 10⁷ν + 10⁸μ+ 10⁹ λ + 10¹ºκ + ....

Όπου η έκφραση  10⁵  διαβάζεται 10 υψωμένο στη πέμπτη δύναμη, η έκφραση 10⁶  10 υψωμένο στην έκτη δύναμη και ούτω καθεξής.

Διαχωρίζω τον κάθε προσθετέο του δεύτερου  μέρους της προηγούμενης εξίσωσης σε 2 μέρη, εκ των οποίων το πρώτο είναι πολλαπλάσιο του 11. Ακολούθως διαχωρίζω τα πολλαπλάσια του 11 από τα υπόλοιπα μέρη και τα τοποθετώ σε δύο παρενθέσεις.

Έτσι:

χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + 10⁵ π + 10⁶ ξ + 10⁷ν + 10⁸μ+ 10⁹ λ + 10¹ºκ + ....

 = [χ + (11 -1 ) φ + ( 99 + 1 ) τ + (1001 – 1 ) σ + ( 9 999 + 1 ) ρ + ( 100 001 – 1 ) π  + ( 999 999 + 1 ) ξ + ( 10 000 001 – 1 ) ν + ( 99 999 999 + 1 ) μ + ( 1 000 000 001 – 1 ) λ + ( 9 999 999 999 + 1 )κ + ....]

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = (11 φ + 99 τ + 1001 σ + 9 999 ρ + 100 001 π  + 999 999 ξ + 10 000 001 ν + 99 999 999 μ + 1 000 000 001 λ + 9 999 999 999 κ + ....) + ( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = 11 ( φ + 9 τ + 91 σ + 909 ρ + 9091 π  + 90909 ξ + 909091 ν + 9090909 μ + 90909091 λ + 909090909 κ - ....) + ( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα δύο παρενθέσεων, εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλάσιο του 11. Για να είναι λοιπόν ο αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ πολλαπλάσιο του 11 αρκεί η δεύτερη παρένθεση να είναι πολλαπλάσιο του 11, δηλαδή:

( χ -  φ  +  τ -  σ +  ρ - π + ξ - ν +  μ  - λ + κ - ....)= 11 γ

όπου γ ακέραιος αριθμός.

Σημειώσεις

1. Η μαθηματική έκφραση    α │β μπορεί να διαβαστεί ως  «α παράγοντας του β» , δηλαδή ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης β : α είναι 0  ( β = 0 mod α )

2. Η έκφραση 846 = 6 ( mod 8 ) σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 846 με το 8 είναι 6. Ανάλογα πρέπει να διαβάζονται παρόμοιες εκφράσεις που συναντούμε στα παραδείγματα 1 – 5 της εργασίας.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας.