Κριτήριο διαίρεσης δια 13

Εισαγωγή

Μπορούμε να εξακριβώσουμε από τα ψηφία του, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 13 χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση; Μπορούμε, όμοια, να διακριβώσουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 13 χωρίς να κάνουμε την πράξη; Το άρθρο αυτό θα μας βοηθήσει να απαντήσουμε τα ερωτήματα αυτά. Περαιτέρω θα παρατεθούν πρακτικά παραδείγματα για να γίνει απολύτως ξεκάθαρη η μέθοδος διακρίβωσης της διαιρετότητας αριθμού δια 13.

Αυτή είναι απλή και εύκολα  κατανοητή ακόμα και από μαθητές δημοτικού.

Στο τέλος του άρθρου θα παρατεθεί η μαθηματική απόδειξη που αποδεικνύει την βασιμότητα της μεθόδου.

Μέθοδος διερεύνησης  διαιρετότητας με το 13

1.Γράψετε τον αριθμό του οποίου θέλετε να διερευνήσετε τη διαιρετότητα με το 13.

2. Αφαιρέστε από το ψηφίο των μονάδων το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων.

3. Ακολούθως προσθέστε στο αποτέλεσμα που βρήκατε το εννιαπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων.

4. Από το αποτέλεσμα που βρήκατε αφαιρέστε το ψηφίο των χιλιάδων.

5. Στη διαφορά που βρήκατε προσθέστε το τριπλάσιο του ψηφίου των δεκάδων χιλιάδων.

6. Στο νέο άθροισμα αφαιρέστε το εννιαπλάσιο του ψηφίου των εκατοντάδων χιλιάδων.

7. Συνεχίστε να προσθέτετε και να αφαιρείτε εναλλαξ τα πολλαπλάσια των ψηφίων του αριθμού με τους αριθμούς 1, 3, 9 μέχρι να μην υπάρχουν άλλα ψηφία. Βρείτε το τελικό αποτέλεσμα.

8. Αν το τελικό αποτέλεσμα διαιρείται ακριβώς με το 13 και ο αριθμός μας διαιρείται με το 13 χωρίς υπόλοιπο.

9. Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι θετικός αριθμός που δεν διαιρείται με το 13, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αποτελέσματος με το 13 μας δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού μας με το 13.

10.  Αν το τελικό αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός, τότε αφαιρέστε από αυτόν το αμέσως μικρότερο πολλαπλάσιο του 13 για να βρείτε το ζητούμενο υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με το 13.

Παραδείγματα διερεύνησης της διαιρετότητας ενός αριθμού με το 13

Παράδειγμα 1

Αποτελεί ο αριθμός 13 παράγοντα του 4 2 315;

Διερεύνηση

5 – ( 3 . 1 ) + ( 9 . 3 ) – 2 + ( 3. 4 ) = 39 και 39 : 13 = 3 και υπόλοιπο μηδέν.

Συμπέρασμα: 13│42 315.  Ο αριθμός 42 315 διαιρείται με το 13 .

Πράγματι: 42 315 = 13 . 3255 .

Παράδειγμα 2

Αποτελεί ο αριθμός 13 παράγοντα του 7 23 156

Διερεύνηση

6 – (  3 . 5 ) + ( 9 . 1) – 3 + ( 3 . 2 ) – ( 9 . 7 ) = - 60 και -60 – ( - 65 )= 5.

Συμπέρασμα: = 723 156 = 5 (mod 13) .

Πράγματι: 723 156 = ( 13 . 55 627 ) + 5

Παράδειγμα 3

Αποτελεί το 13 παράγοντα του αριθμού 72 450 321;

Διερεύνηση

1 – ( 3.2) + ( 9.3) – 0 + (3.5) – (9.4) + 2 – (3.7)= -18 

και -18 – (-26) = 8

Συμπέρασμα: 72 450 321 = 8 (mod 13) 

Πράγματι: 72 450 321 = ( 5 573 101 . 13 ) + 8

Παράδειγμα 4

Διαιρεί το 13 ακριβώς τον αριθμό 180 131 315;

5 – (3.1) + (9.3) – 1 + (3.3) – (9.1) + 0 – (8.3) + (9.1) = 13

Συμπέρασμα: 13 │180 131 315

Πράγματι: 180 131 315 : 13  = 13 856 255

Παράδειγμα 5

Ποιο πρέπει να είναι το ψηφίο των χιλιάδων του αριθμού 7 10.. 256 για να διαιρείται ακριβώς με το 13;

Θα ονομάσουμε το ψηφίο των χιλιάδων χ. Έχουμε λοιπόν:

6 – ( 3. 5 ) + ( 9. 2 ) – χ + 0 – (9. 1) + 7 = 13 ν όπου  ν 

Το αριστερό σκέλος της εξίσωσης ισούται με 7 – χ . Άρα για να είναι το 7 – χ πολλαπλάσιο του 13, τότε το ν  ισούται  με 0.

→ 7 – χ = 0 και άρα το χ = 7

Συμπέρασμα: Ο αριθμός μας είναι ο 7 107 256

 Πράγματι: 7 107 256 = ( 546 712 . 13 )      

Μαθηματική απόδειξη του κριτηρίου διαιρετότητας του 13

Έστω ο τυχαίος ακέραιος αριθμός  .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  όπου:

 χ το ψηφίο των μονάδων,

 φ το ψηφίο των δεκάδων

 τ το ψηφίο των εκατοντάδων και ούτω καθεξής.

Εξ’  ορισμού προκύπτει η ισότητα

.... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = χ + 10 φ + 100 τ + 1 000 σ + 10 000 ρ + ( 10^5 ) π + (  10^6 ) ξ + ( 10^7 ) ν + ( 10^8 ) μ+ ( 10^9 ) λ + ( 10^10 ) κ + ....

Όπου η έκφραση  10^5  σημαίνει 10 υψωμένο στη πέμπτη δύναμη, η έκφραση 10^6 σημαίνει 10 υψωμένο στην έκτη δύναμη και ούτω καθεξής.

Διαχωρίζω τον κάθε προσθετέο του δεύτερου  μέρους της προηγούμενης εξίσωσης σε 2 μέρη, εκ των οποίων το πρώτο είναι πολλαπλάσιο του 13. Ακολούθως διαχωρίζω τα πολλαπλάσια του 13 από τα υπόλοιπα μέρη και τα τοποθετώ σε δύο παρενθέσεις.

Έτσι:

χ + 10 φ + 100 τ + 1000 σ + 10000 ρ + ( 10^5 ) π + (  10^6 ) ξ + ( 10^7 ) ν + ( 10^8 ) μ+ ( 10^9 ) λ + ( 10^10 ) κ + .... = [χ + (13 -3 ) φ + ( 91 + 9 ) τ + (1001 – 1 ) σ + ( 9 997 + 3 ) ρ + ( 100 009 – 9 ) π  + ( 999 999 + 1 ) ξ + ( 10 000 003 – 3 ) ν + ( 99 999 991 + 9 ) μ + ( 1 000 000 001 – 1 ) λ + ( 9 999 999 997 + 3 )κ + ....]

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = (13 φ + 91 τ + 1001 σ + 9 997 ρ + 100 009 π  + 999 999 ξ + 10 000 003 ν + 99 999 991 μ + 1 000 000 001 λ + 9 999 999 997 κ + ....) + ( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)

→ .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ  = 13 ( φ + 7 τ + 77 σ + 769 ρ + 7 693 π  + 76 923 ξ + 769 231 ν + 7 692 307 μ + 76 923 077 λ + 769 230 769 κ - ....) + ( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα δύο παρενθέσεων, εκ των οποίων η πρώτη είναι πολλαπλάσιο του 13. Για να είναι λοιπόν ο αριθμός .... κ λ μ ν ξ π ρ σ τ φ χ πολλαπλάσιο του 13 αρκεί η δεύτερη παρένθεση να είναι πολλαπλάσιο του 13, δηλαδή:

( χ - 3 φ  + 9 τ -  σ + 3 ρ -9 π + ξ - 3ν + 9 μ  - λ + 3κ - ....)= 13 γ

όπου γ ακέραιος αριθμός.

Σημειώσεις

1. Η μαθηματική έκφραση    α │β μπορεί να διαβαστεί ως  «α παράγοντας του β» , δηλαδή ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης β : α είναι 0  ( β = 0 mod α )

2. Η έκφραση 846 = 6 ( mod 8 ) σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 846 με το 8 είναι 6. Ανάλογα πρέπει να διαβάζονται παρόμοιες εκφράσεις που συναντούμε στα παραδείγματα 1 – 5 της εργασίας.

Μ. Πόλης.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας