Ισοπεριμετρικά ορθογώνια τρίγωνα

Ορισμός: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , Α = 90º  , ΒΓ υποτείνουσα και ΒΓ = α, ΑΒ = γ, ΑΓ = β και α > β ≥ γ. Το τρίγωνο ΑΒΓ ονομάζεται ισοπεριμετρικό αν η αριθμητική τιμή της περιμέτρου του ισούται με την αριθμητική τιμή του εμβαδού του δηλαδή αν ισχύει ότι : 2 ( α + β + γ ) = βγ 

Βασικές συνθήκες που ισχύουν:

1.       2 ( α + β + γ ) = βγ 

2.       α² = β² +γ²                   ( εκ του πυθαγορείου θεωρήματος )

Εντοπισμός ισοπεριμετρικών ορθογωνίων τριγώνων

Από τη συνθήκη (1) έχουμε ότι: α = ½βγ – (β + γ)        (3)

Εφαρμόζουμε τη συνθήκη (3) στη συνθήκη (2) και προκύπτει:

[½βγ – (β + γ)] ² = β² +γ²

⇒¼β²γ² + (β + γ) ² - βγ (β + γ) = β² +γ²

⇒¼β²γ² + 2βγ - βγ (β + γ) = 0   (4)

Εφόσον β >0 και γ>0 μπορούμε να διαιρέσουμε την (4) με  β γ. Προκύπτει ότι:

¼βγ + 2 -  (β + γ) = 0

⇒ β ( γ – 4 ) = 4 ( γ – 2)

⇒ β = 4 [( γ – 2) /( γ – 4 )]     γ > 4

Παραδείγματα ισοπεριμετρικών ορθογωνίων τριγώνων

γ	β	α	Περίμετρος α +β +γ	Εμβαδόν ½βγ
5	12	13	30	30
6	8	10	24	24
7	20/3	29/3)	70/3	70/3
8	6	10	24	24
9	5,6	10,6	25,2	25,2
10	5 ⅓	11 ⅓	26 ⅔	26 ⅔
11	36/7	85/7	198/7	198/7
3+√5	6+2√5	5+3√5	14+6√5	14+6√5