Κανονικό εξάγωνο και χρυσή τομή

Εισαγωγή

Η βασική ιδέα αυτού του άρθρου είναι ο χωρισμός των πλευρών κανονικού εξαγώνου με βάση την αναλογία της χρυσής τομής και η δημιουργία μικρότερου κανονικού εξαγώνου, του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία χωρισμού του αρχικού εξαγώνου.

Κατασκευή

Έστω κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ  Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ακτίνας ρ. [Σ.1] Έστω σημεία Α΄, Β΄ , Γ΄ , Δ΄ , Ε΄ , Ζ΄ αντίστοιχα επί των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ και ΖΑ τέτοια ώστε:

ΑΑ΄/Α΄Β = ΒΒ΄/Β΄Γ= ΓΓ΄/Γ΄Δ= ΔΔ΄/Δ΄Ε= ΕΕ΄/Ε΄Ζ =ΖΖ΄/Ζ΄Α = φ

Όπου φ = ½ ( 1 + √5 )

Προφανώς ΑΑ΄ = ΒΒ΄= ΓΓ΄= ΔΔ΄= ΕΕ΄=ΖΖ΄ = ρ/φ και Α΄Β = Β΄Γ= Γ΄Δ= Δ΄Ε= Ε΄Ζ =Ζ΄Α = ρ/φ² [ρ η πλευρά του κανονικού εξάγωνου που ισούται με την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται σε αυτό]

Ενώνουμε τα σημεία Α΄, Β΄ , Γ΄ , Δ΄ , Ε΄ , Ζ΄ όπως φαίνεται στο σχήμα πιο κάτω:

Από την ισότητα των τριγώνων Α΄ΒΒ΄,  Β΄ΓΓ΄, Γ΄ΔΔ΄,  Δ΄ΕΕ΄,  Ε΄ΖΖ΄ και  Ζ΄ΑΑ προκύπτει ότι το εξάγωνο Α΄ Β΄  Γ΄  Δ΄  Ε΄  Ζ ΄ είναι επίσης κανονικό και ακολούθως υπολογίζουμε την πλευρά του. Για να το πετύχουμε εφαρμόζουμε το νόμο του συνημίτονου πάνω στο αμβλυγώνιο σκαληνό τρίγωνο Β΄ΓΓ΄

´ô² = ´ò +  ΓΓ΄² - 2 ´à . ΓΓ΄ συν Γ

→ ´ô² = ρ² [ (1/φ⁴) + (1/φ²) – (2 συν 120⁰)/φ³]

→ ´ô² = ρ² [ (1 + φ² + φ )/φ⁴)]= 2ρ²φ²/ φ⁴

→ ´ô² = 2ρ² / φ² και άρα ´ô = ρ√2 / φ

Εφόσον το ´ô ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου στο κανονικό εξάγωνο Α΄ Β΄  Γ΄  Δ΄  Ε΄  Ζ ΄ κύκλου, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του κύκλου αυτού. Πράγματι:

Εκ = π ´ô² =2 π ρ² / φ²

Ο λόγος των εμβαδών των περιγεγραμμένων κύκλων των δύο εξαγώνων ισούται με φ²/2 δηλαδή  (φ+1)/2. [Βλέπε και σημείωση 2] Αν ονομάσουμε το λόγο αυτό Λ και υπολογίσουμε τη δεκαδική του προσέγγιση τότε έχουμε Λ = 1,309016994..

Υπολογισμός του λόγου των εμβαδών των δύο εξαγώνων

Εφόσον το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς α ισούται με (3 √3 α²)/2 και οι πλευρές των ΑΒΓΔΕΖ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄Ε΄Ζ΄ είναι ρ και ρ√2/φ τότε ο λόγος των εμβαδών προφανώς ισούται με Λ. Αν θέσουμε λ = 1/Λ όπου λ ο λόγος του μικρού εξαγώνου προς το μεγάλο τότε λ = 2/φ²= 3 - √5 = 0,763932022..

Υπολογισμός της γωνίας στροφής

Εφόσον οι δύο κύκλοι που περιβάλλουν τα εξάγωνα είναι ομόκεντροι μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία ΒΟΒ΄ = χ η οποία οριοθετεί την  περιστροφή μεταξύ των δύο εξαγώνων εφαρμόζοντας το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΒΟΒ΄ με πλευρές ΒΟ = ρ, ΟΒ΄ = ρ √2 / φ , ΒΒ΄ = ρ/φ και η γωνία ΟΒΒ΄ = 60⁰. Έχουμε:

ΟΒ΄/ ημ60 = ΒΒ΄/ ημ χ

→ ημ χ = ( ΒΒ΄. ημ 60 )/ΟΒ΄

→ ημ χ = (ρ/φ)(√3/2) / (ρ √2/φ) = √6/4

→ χ = 37⁰ 45΄ 40΄΄

Δημιουργία σπείρας κανονικών εξαγώνων.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία, δηλαδή προσδιορίζουμε σημεία Α΄΄, Β΄΄,  Γ΄΄, Δ΄΄ , Ε΄΄, Ζ΄΄ επί των πλευρών Α΄ Β΄,   ´ô,  Γ΄Δ΄,   Δ΄ Ε΄,   Ε΄Ζ ΄,  Ζ ΄Α΄ που τις χωρίζουν στην αναλογία της χρυσής τομής και έτσι κατασκευάζουμε τρίτο κανονικό εξάγωνο εντός του δευτέρου.Ακολούθως τέταρτο , πέμπτο, έκτο

και ορίζουμε τα αντίστοιχα εμβαδά ως Ε1 ,   Ε2 ,  Ε3 ,  Ε4 ,  Ε5 ,  … Εν-2 ,   Εν-1  ,  Εν  ,…

Είναι φανερό ότι Εν / Εν-1  = Εν-1 / Εν-2 =  Εν-2 / Εν-3  =   … Ε3/  Ε2  = Ε2  / Ε1 =( φ+1)/2 = 3 - √5 = 2/(φ +1) = 2/φ²

Συνακόλουθα:

Ε3 / Ε1 = (3 - √5)² = 14 - 6√5 = 2 ( 7 - 3√5) = 2²/ φ⁴

Ε4 / Ε1 = (3 - √5)³ = 72 - 32√5 = 8 ( 9 - 4√5) = 2³/ φ⁶

→ Εν / Ε1  = 2 ^ (ν-1) / φ ^ [2(ν-1)]

Σημειώσεις

1.     1.  Η κατασκευή κανονικού εξαγώνου πλευράς Α και του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου είναι εύκολη. Γράφουμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας Α. Με κέντρο τυχαίο σημείο της περιφέρειας και ακτίνα Α κατασκευάζουμε τόξο που τέμνει την περιφέρεια σε σημείο Α. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με κέντρο το Α για να προσδιορίσουμε την επόμενη κορυφή του εξαγώνου και ούτω καθεξής   μέχρι να προσδιορίσουμε και τις έξι κορυφές. Ακολούθως ενώνουμε τις κορυφές και έχουμε το κανονικό εξάγωνο.

2.      2..  φ² = [½ ( 1 + √5)] ² = (6 +2√5)/4 =( 3 + √5)/2 = φ +1