Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός εφευρίσκει το οδόμετρο

       Τί είναι ένα οδόμετρο; Για να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση θα πρέπει να φέρουμε στο νου μας την εικόνα ενός ατόμου όταν οδηγεί  αυτοκίνητο. Πως μπορεί ο οδηγός να γνωρίζει σε κάθε στιγμή την ταχύτητα του αυτοκινήτου; Απλούστατα μπορεί ανά πάσα στιγμή να κοιτάξει το ταχύμετρο που βρίσκεται μπροστά του και με την βοήθεια του σχετικού δείκτη να ξέρει  πόσα χιλιόμετρα την ώρα τρέχει το όχημα . Κάτω από το ταχύμετρο υπάρχει ο μιλιοδείκτης του αυτοκινήτου. Αποτελείται από μια σειρά αριθμούς που μεταβάλλονται καθώς κινείται το αυτοκίνητο. Οι αριθμοί αυτοί φανερώνουν την απόσταση που διένυσε το αυτοκίνητο. Για να το καταλάβουμε, μπορούμε να κάνουμε αυτό το απλό πείραμα. Αν πηγαίνετε στη δουλειά με το αυτοκίνητο , σημειώστε σε μια κόλλα χαρτί την ένδειξη του μιλιμέτρου όταν ξεκινήσει το αυτοκίνητο και μετά κάνετε το ίδιο, όταν φτάσετε στον προορισμό σας. Αφαιρώντας το δεύτερο αριθμό από το πρώτο θα ανακαλύψετε την απόσταση που διανύσατε.

         Το οδόμετρο  είναι ο μακρινός παππούς του μιλίμετρου του αυτοκινήτου σας! Είναι μια συσκευή που μετρά την απόσταση που διάνυσε ένα κινούμενο όχημα. Εφεύρεθηκε πριν από είκοσι δύο (22) αιώνες από τον μεγάλο επιστήμονα και εφευρέτη της αρχαιότητας , τον Ήρωνα τον Αλεξανδρινό, τις θαυμαστές εφευρέσεις του οποίου θα δούμε και σε άλλα άρθρα. Σας θυμίζω ότι πέρσι είχαμε δει ότι ο Ήρωνας ήταν ο Εφευρέτης της Ατμομηχανής! Πώς όμως έμοιαζε το δρομόμετρο και πώς λειτουργούσε;

    Το μυστικό του μηχανήματος αυτού ήταν οι οδοντωτοί τροχοί , που μπορείτε να τους δείτε στα σχέδια  που συνοδεύουν το κείμενο.

Ένας οδοντωτός τροχός, είναι ένας τροχός με προεξοχές γύρω γύρω, σαν δοντάκια, που είναι συνδεδεμένος με άλλο οδοντωτό τροχό και αυτός με ένα άλλο και ο ένας μεταδίδει στον επόμενο την κίνηση του. Ο τελευταίος τροχός είναι συνδεδεμένος με ένα δείκτη, η μετακίνηση του οποίου μετρά την απόσταση που διανύθηκε. Αν ο πρώτος οδοντωτός τροχός είναι συνδεδεμένος  με τον τροχό της άμαξας, τότε μαζί με την άμαξα κινούνται διαδοχικά και οι υπόλοιποι οδοντωτοί τροχοί καθώς και ο δείκτης, που ανάλογα με την κίνηση των τροχών μετακινήται και καταγράφει την απόσταση που διάνυσε το όχημα.

       Ας δούμε ένα πρακτικό παράδειγμα. Έστω ότι ο τροχός της άμαξας μας έχει περίμετρο 2 μέτρα. Κάθε 5 στροφές που κάνει ο τροχός, ο πρώτος οδοντωτός τροχός κάνει μια στροφή. Κάθε δέκα στροφές που κάνει ο πρώτος οδοντωτός τροχός, ο δεύτερος κάνει μια στροφή , ενώ κάθε δέκα στροφές του δεύτερου οδοντωτού, μετακινούν τον δείκτη- αποστασιόμετρο* κατά ένα εκατοστό. Αυτό σημαίνει ότι όταν ο δείκτης μετακινηθεί ένα εκατοστό , η άμαξα διάνυσε 2Χ5Χ10Χ10= 1000 μέτρα , δηλαδή ένα χιλιόμετρο. Φυσικά , οι αρχαίοι Έλληνες δεν μετρούσαν αποστάσεις με χιλιόμετρα αλλά με στάδια. Ένα στάδιο αντιστοιχούσε με 185 περίπου σημερινά μέτρα. Ο Ήρωνας προσάρμοσε, όπως ήταν φυσικό άλλωστε, το οδόμετρο του στα μέτρα της εποχής εκείνης.

    Ο Αλεξανδρινός σοφός όμως, δεν περιορίστηκε στο να κάνει ένα μιλίμετρο για τις άμαξες και τα άλλα οχήματα της ξηράς, αλλά κατασκεύασε και το ναυτικό δρομόμετρο, για να μπορούν τα πλοία να μετρούν την απόσταση που έπλεαν στην θάλασσα. Το όργανο αυτό ήταν παρόμοιο με το οδόμετρο, με την διαφορά ότι στο πλοίο δεν είχαμε τροχούς , όπως σε μια άμαξα, αλλά μια φτερωτή, σαν του ανεμόμυλου, που μετέδιδε την κίνηση του πλοίου στους οδοντωτούς τροχούς μέχρι το δείκτη-αποστασιόμετρο.

       Από πού όμως μάθαμε για την σπουδαία αυτή εφεύρεση του αρχαίου σοφού; Ο Ήρωνας φρόντισε να καταγράψει την κατασκευή του οδομέτρου, στο έργο του «Διόπτρα» Με βάση τις γραπτές αυτές περιγραφές, ο Ολλανδός ερευνήτης  Α. Σλέσβικ , ανακατασκεύασε το οδόμετρο το 1987, και το παρουσίασε σε συνέδριο για την τεχνολογία που έγινε στην Αθήνα το ίδιο έτος.

Ένας άλλος ερευνητής, ο Γούντκραφτ , ανακατασκεύασε με παρόμοιο τρόπο, τόσο το ναυτικό δρομόμετρο, όσο και το οδόμετρο. Τα σχέδια των κατασκευών αυτών μπορείτε να τα δείτε πιο κάτω:   

* Αποστασιόμετρο = όργανο που μετρά απόσταση.

Ο Νικομήδης λύει το γρίφο της τριχοτόμησης γωνίας

Ο Μαθηματικός της Ελληνιστικής περιόδου Νικομήδης (200 π.Χ) επινόησε την κογχοειδή καμπύλη με βάση την οποία έλυσε το άλυτο πρόβλημα της τριχοτόμησης δοσμένης οξείας γωνίας. Βέβαια τυπικά το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο αφού οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες αποδέχονταν λύσεις μόνο με τη χρήση χάρακα και διαβήτη. Όμως σε κάθε περίπτωση η λύση του Νικομήδη ήταν ευφυής και αποδείκνυε την μαθηματική ιδιοφυία του. Πιο κάτω θα παρουσιάσουμε τη λύση αυτή.

Η κατασκευή της κογχοειδούς καμπύλης

Έστω ευθεία (ε) και σταθερό σημείο Ο εκτός αυτής. Έστω σταθερό σημείο Β επί της (ε). Φέρουμε την κάθετο επί της (ε) η οποία περνά από το σταθερό σημείο Ο και τέμνει την (ε) στο Α. Με πόλο το Ο φέρουμε το σύνολο των ευθειών που τέμνουν την (ε) και με αρχή τα σημεία τομής πέρνουμε σημεία Γ΄, Γ,  Γ΄΄, .... τέτοια ώστε ΒΓ΄ = ΔΓ= ΑΓ΄΄ = ...= 2ΟΒ. Τα διαδοχικά σημεία σχηματίζουν την κογχοειδή καμπύλη που βλέπετε στο σχήμα που ακολουθεί.
Από το σημείο Β φέρουμε κάθετο επί της (ε) που τέμνει την κογχοειδή στο Γ. Ακολούθως γράφουμε την ΟΓ και έστω Δ το σημείο τομής της ΟΓ με την (ε). Εξ ορισμού της κογχοειδούς έχουμε ότι ΓΔ = 2 ΟΒ. Έστω Μ το μέσο της υποτείνουσας ΔΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΓ. Τότε ΓΜ=ΜΔ=ΒΜ=ΟΒ. ( Αφού ΓΔ= 2ΟΜ). ΄
Έστω ότι η γωνία ΒΓΜ = ω. Τότε και η γωνία ΓΟΓ΄΄ = ω  αφού είναι εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΟΓ΄΄. Επιπλέον και η γωνία ΓΒΜ= ω αφού το τρίγωνο ΓΒΜ είναι ισοσκελές. Αφού σε κάθε τρίγωνο η εξωτερική γωνία ισούται με το άρθοισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών είναι φανερό ότι η γωνία ΒΜΟ = 2ω. Αφού το τρίγωνο ΜΒΟ επίσης είναι ισοσκελές (ΒΜ=ΒΟ) τότε είναι φανερό ότι η γωνία ΒΟΔ = 2ω.
Έχουμε λοιπόν ΒΟΑ = 3ω, και ΓΟΓ΄΄ = ω, άρα η ΟΓ είναι η ζητούμενη τριχοτόμος της γωνίας ΒΟΑ

Γεωμετρική κατασκευή των ριζών των φυσικών αριθμών

Μπορούμε με τη βοήθεια των ορθογωνίων τριγώνων να κατασκευάσουμε γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα ίσα σε μήκος με την τετραγωνική ρίζα των φυσικών αριθμών. Αυτο μπορεί να γίνει ως εξής: Έστω ΑΒΚ ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με ορθή τη γωνία Α και  ΑΚ = ΑΒ = 1. Εκ του πυθαγορείου θεωρήματος είναι φανερό ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΒΚ = √ 2. 

Ακολούθως επί του σημείου Β της υποτείνουσας φέρουμε κάθετο ΒΓ = 1 και σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΒΓ με κάθετες πλευρές ΒΓ=1 και ΚΒ=√ 2. Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα επί του ορθογωνίου τριγώνου ΚΒΓ και υπολογίζουμε την υποτείνουσα του. Πράγματι: ΚΓ =√ 3. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία φέροντες κάθετο στο σημείο Γ της ΚΓ. Έστω η κάθετος ΓΔ=1 και το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται το ΚΓΔ έχει υποτείνουσα την ΚΔ. Εκ του πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει ότι η ΚΔ =  √ 4 = 2.

Μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία άπειρες φορές και να σχηματίσουμε διαδοχικά ορθογώνια τρίγωνα με υποτείνουσες ίσες με τις διαδοχικές ρίζες των φυσικών αριθμών √ 5, √ 6.....

Τα πιο πάνω φαίνονται στο σχήμα που ακολουθεί:

Θερινή ώρα και κοινωνική χειραγώγηση

Ήλιος γάρ ούχ υπερβήσεται μέτρα. Εί δε μη, Ερινύες μιν Δίκης επίκουροι εξευρήσουσιν

Ηράκλειτος ο Εφέσιος

«Κανείς, ούτε άνθρωπος ούτε οι θεοί δεν μπορούν να αλλάξουν το φυσικό νόμο. Αν το επιχειρήσουν, τότε οι Ερινύες, οι βοηθοί της δικαιοσύνης,  θα τους επαναφέρουν σε τάξη »

Ο χρόνος, ως μέτρο της κίνησης και του διαρκούς γίγνεσθαι του σύμπαντος κόσμου, δεν υπόκειται σε ανθρώπινο έλεγχο. (Ούτε σε θεϊκό θα έλεγε ο Ηράκλειτος ο Εφέσιος, αλλά αυτό είναι θέμα μιας άλλης συζήτησης). Κανένας άνθρωπος, χώρα ή κυβέρνηση δεν μπορεί να εξαφανίσει το χρόνο ή να τον δημιουργήσει εκ του μηδενός. Μόνο ο θεός, σύμφωνα με τη χριστιανική θρησκεία,  δημιούργησε  εκ του μη όντος τον κόσμο  και συνακόλουθα το χρόνο μέσα στον οποίο λειτουργεί ο κόσμος.

Παρ’ όλα αυτά τα Μ.Μ.Ε. ανακοίνωσαν ότι στις τρεις το πρωί της Κυριακής 29^ης Μαρτίου 2020, οι δείκτες των ρολογιών θα κινηθούν μια ώρα μπροστά και εν ριπή οφθαλμού τα ρολόγια θα δείχνουν  τέσσερις η ώρα αντί τρεις. Κάποιοι θαυματοποιοί, με «θεϊκές» δυνατότητες θα καταργήσουν μέσα στην άγρια νύκτα μια ώρα.

Και τον ερχόμενο Οκτώβρη, με βάση τις ίδιες θεϊκές δυνατότητες, με την επαναφορά της χειμερινής ώρας, θα  δημιουργήσουν μια ώρα και πάλι εκ του μηδενός, όταν θα μας πουν να στρέψουμε τα ρολόγια μας  πίσω. Και ούτε γάτα ούτε ζημία....

Κοινωνική χειραγώγηση

Η ανακοίνωση της θερινής ώρας θα μπορούσε, ισοδύναμα ως προς τις συνέπειες της, να ήταν και έτσι:

«Από την Κυριακή 29^η Μαρτίου 2020 και μέχρι την τελευταία Κυριακή του Οκτώβρη του ίδιου χρόνου, όλοι θα ξυπνάτε μια ώρα ενωρίτερα. Θα αρχίζετε την εργασία σας  μια ώρα ενωρίτερα και έτσι θα έχουμε την ευκαιρία να αυξήσουμε την διάρκεια της εργάσιμης ημέρας  κατά μια ώρα, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός πως η μέρα το καλοκαίρι είναι μεγαλύτερη. Αυτό θα μας βοηθήσει να αυξήσουμε την παραγωγικότητα και την ανταγωνιστικότητα της οικονομίας της Ευρωπαϊκής Ένωσης.»

Αν όμως, έτσι απλά και χωρίς διάλογο κάποιος ανακοίνωνε στους εργαζόμενους ότι μεταξύ Μάρτη και Οκτώβρη θα πηγαίνουν δουλειά κάθε μέρα στις 6:30 π.μ. αντί στις 7: 30 π.μ. θα γινόταν κοινωνική έκρηξη. Σίγουρα θα υπήρχαν διαμαρτυρίες και οι συντεχνίες με το δίκαιο τους θα έλεγαν ότι δεν μπορεί να αλλάξει η συλλογική σύμβαση χωρίς κοινωνικό διάλογο.  Όμως κάποιοι « έξυπνοι » απλώς μας διέταξαν να γυρίσουμε μπροστά τους  δείκτες του ρολογιού στις τρεις το πρωί, την ώρα που οι περισσότεροι κοιμούνται, και κανένας δεν θα πάρει χαμπάρι το κόλπο. Ακόμα περισσότερο φέτος που ο χάρος βγήκε παγανιά με τη μορφή του covet 19 και θερίζει ψυχές, ποιος έχει καν τη διάθεση να σκεφτεί τη θερινή ώρα;

Κυριολεκτικά μας έπιασαν στον ύπνο και μας χορεύουν σε ψηλό γαζί. Από το 1976, που τέθηκε για πρώτη φορά σε εφαρμογή η θερινή ώρα ως σήμερα, κανείς δεν σκέφτηκε καν να διαμαρτυρηθεί για την παράλογη αυτή ρύθμιση.

Τα προσχήματα

Το κυριότερο επιχείρημα για την εφαρμογή της θερινής ώρας είναι η εξοικονόμηση ενέργειας. Είναι συζητήσιμο αν  με τη θερινή ώρα κοιμούμαστε μια ώρα ενωρίτερα και άρα τα φώτα την νύκτα κλείνουν ενωρίτερα. Όμως το πρωί σίγουρα ξυπνούμε  ενωρίτερα και αυτό σημαίνει ότι η αμφίβολη εξοικονόμηση χάνεται, αφού ανάβουμε τα φώτα μέσα στην νύκτα για να ετοιμαστούμε. Αυτό είναι ιδιαίτερα εμφανές  το Σεπτέμβρη και τον Οκτώβρη, όπου η διάρκεια της μέρας μειώνεται ταχέως και το πρωινό εγερτήριο γίνεται μέχρι μια ώρα πριν την ανατολή του ήλιου. Αυτό είναι συνέπεια του γεγονότος ότι η θερινή ώρα εφαρμόζεται για εφτά μήνες το χρόνο και η χειμερινή μόνο για πέντε. Αυτό αυξάνει τον παραλογισμό, εφόσον οι ισημερίες απέχουν χρονικά η μια από την άλλη μόνο έξι μήνες.

Επιπλέον η επέκταση της εργάσιμης ημέρας κατά μια ώρα οδηγεί σε σπατάλη ενέργειας, γιατί τα γραφεία, τα εργοστάσια, οι μηχανές και τα οχήματα δουλεύουν περισσότερο τις εργάσιμες ώρες παρά τις ώρες της σχόλης. Η θερινή ώρα λοιπόν έχει βλαβερή επίπτωση, διότι αύξηση της κατανάλωσης ενέργειας, σημαίνει αύξηση της καύσης του πετρελαίου με αποτέλεσμα περισσότερο διοξείδιο του άνθρακα και επιτάχυνση του φαινομένου του θερμοκηπίου.

Οι εργοδότες και το κεφάλαιο υπέρ της θερινής ώρας

Η συζήτηση για τη θερινή ώρα εντός της Ευρωπαϊκής Ένωσης το 2019 έδειξε ότι επιτέλους το θέμα αυτό αρχίζει να προβληματίζει τους πολίτες. Η  θέση της ΟΕΒ και του ΚΕΒΕ η οποία ζητά τη μονιμοποίηση της θερινής ώρας όλο το χρόνο

δείχνει ότι, ευθύς εξαρχής, η θερινή ώρα ως θεσμός εξυπηρετούσε και εξυπηρετεί την εργοδοσία και το κεφάλαιο. Η κατάργηση της θερινής ώρας, για να έχει νόημα, θα πρέπει να επαναφέρει τη μέτρηση του χρόνου στην κατάσταση προ του 1976, όταν δεν υπήρχε η αλχημεία της μαγικής δημιουργίας και εξαφάνισης χρόνου με το παιγνίδι με τους δείκτες του ρολογιού στα άγρια μεσάνυκτα..

Κοινωνικός Έλεγχος

Η αύξηση της διάρκειας της εργάσιμης μέρας, λόγω  πρώιμης αφύπνισης, μειώνει τις ώρες της σχόλης και κατά συνέπεια το χρόνο για εσωτερική ενατένιση, σκέψη και προβληματισμό. Το σύστημα μας θέλει αγουροξυπνημένους, αγχωμένους, συνεχώς υπό πίεση και άβουλους. Δεν θέλει να έχουμε πολύ ελεύθερο χρόνο. Ο τελευταίος δημιουργεί ανθρώπους με κριτική σκέψη, που είναι επικίνδυνοι για αυτούς που κινούν τα νήματα ....

Θερινή Ώρα και Πανδημία

Το πρόσφατο ξέσπασμα της Πανδημίας του κορωνοϊού  είναι ακόμα ένας λόγος για ακύρωση της θερινής ώρας. Ποιος ο λόγος να γυρίσουμε τα ρολόγια μια ώρα μπροστά, αφού οι πολίτες της Ευρώπης βρίσκονται σε κατ’ οίκο περιορισμό στα σπίτια τους και η οικονομική δραστηριότητα έχει περιοριστεί; Το να επαναλαμβάνει κάποιος μια ρύθμιση από κεκτημένη ταχύτητα δεν είναι ότι πιο σοφό. Αφού η οικονομική και κοινωνική δραστηριότητα πρέπει να περιοριστεί για να τεθεί ο covit 19 υπό έλεγχο, τότε ολόκληρη η φιλοσοφία της ανούσιας εφεύρεσης της θερινής ώρας μένει μετέωρη. H Ευρωπαϊκή Επιτροπή πρέπει να αναστείλει τη θερινή ώρα για φέτος. Αφού περάσει το κακό η παράλογη αυτή ρύθμιση πρέπει να αξιολογηθεί ως προς τις συνέπειες της. Μετά την αξιολόγηση να τροποποιηθεί ή να καταργηθεί.  

Φρυκτωρίες

Η ανάγκη της εξουσίας στην αρχαιότητα για ένα σύστημα  μεταβίβασης σημαντικών μηνυμάτων σε απόσταση εκατοντάδων χιλιομέτρων σε ελάχιστες ώρες, δημιούργησε το σύστημα των φρυκτωριών στη δεύτερη προχριστιανική χιλιετία. Η λέξη φρύκτος σημαίνει πυρσός και η φρυκτωρία είναι ένας πυρσός αναμμένος τη νύκτα, σε ένα ψηλό σημείο του εδάφους ή σε μια βουνοκορφή. Το Φως μεταδίδεται στιγμιαία σε μεγάλες αποστάσεις και ένας Πυρσός μέσα στο σκοτάδι μπορεί να γίνει ορατός σε απόσταση δεκάδων χιλιομέτρων, ιδίως αν είναι τοποθετημένος  σε μια βουνοκορφή. Ο αναμμένος πυρσός γινόταν αντιληπτός σε ένα άλλο υψηλό σημείο μιας άλλης βουνοκορφής, όποτε ένας δεύτερος πυρσός άναβε για να μεταφέρει το μήνυμα ακόμα πιο πέρα σε ένα τρίτο σημείο και ούτω καθεξής.

Στην τραγωδία Αγαμέμνων έχουμε περιγραφή του συστήματος των φρυκτωριών. Η Κλυταιμνήστρα μαθαίνει τη καταστροφή της Τροίας μερικές ώρες μετά την πυρπόληση της αλωμένης πρωτεύουσας του Πριάμου. Πώς όμως το φοβερό μήνυμα του θριαμβευτικού για τους Αχαιούς τέλους της δεκάχρονης πολιορκίας, έφτασε στις Πολύχρυσες Μυκήνες από την βορειοδυτική Μικρά Ασία στην Πελοπόννησο σε μερικές ώρες; Στο εύλογο ερώτημα του χορού η Κλυταιμνήστρα περιγράφει το σύστημα που πυρσών που είχαν αναπτύξει οι Αχαιοί για να επικοινωνούν με τη μητροπολιτική Ελλάδα ως εξής:

Ο πρώτος πυρσός άναψε στο όρος Ίδα κοντά στην Τροία. Ο Πυρσός έγινε ορατός στο ακρωτήριο Ερμής της Λήμνου. Η  Φρυκτωρία της Λήμνου μετέδωσε οπτικά  το μήνυμα στη Φρυκτωρία που βρισκόταν στην κορυφή του όρους Άθω.

Λόγω του ψηλού του υψομέτρου που πλησιάζει τα δύο χιλιάδες μέτρα, οι Πυρσοί του όρους Άθω μετέδωσαν το μήνυμα σε μεγάλη απόσταση, στην βόρειο Εύβοια, στην κορυφή Στρουγκίτσα του όρους Μακίστο (1246 μέτρα ύψος). Ο επόμενος σταθμός του φωτεινού μηνύματος της φωτιάς ήταν η Φρυκτωρία του όρους Μεσσάπιο  στην Βοιωτία, μεταξύ Θήβας και Χαλκίδας. Το Μεσσάπιο με υψόμετρο άνω των 1000 μέτρων είχε οπτική επαφή με τον Κιθαιρώνα, βουνό στα όρια Αττικής και Βοιωτίας  πλησίον του Κορινθιακού Κόλπου.

Από την κορυφή του Κιθαιρώνα, ύψους 1412 μέτρων, η Φρυκτωρία μετέδωσε το μήνυμα στο όρος Αραχναίο της Αργολίδας το οποίο είχε οπτική επαφή με τις Μυκήνες. Το φωτεινό μήνυμα πέρασε από επτά σταθμούς και μετέφερε το νικηφόρο μήνυμα σε απόσταση πεντακόσιων χιλιομέτρων σε μερικές ώρες, εντός της ίδιας νύκτας. Πραγματικά ένα αξιοσημείωτο κατόρθωμα.

Το γεγονός ότι το Αιγαίο Πέλαγος είναι κατάσπαρτο από νησιά βοήθησε τη «γεφύρωση» της Θάλασσας με τη φωτιά του Ηφαίστου για  μετάδοση μηνυμάτων. Μετά την παράδοση του Δούρειου Ίππου στους Τρώες, ο στόλος των Αχαιών προσποιούμενος ότι έφευγε, κρύφτηκε στο Αθέατο από τους Τρώες μέρος της νήσου Τένεδου . Στην ψηλότερη κορυφή του μικρού νησιού στήθηκε Φρυκτωρία που μετάδωσε το μήνυμα της άλωσης στο στόλο που καραδοκούσε να επιστρέψει. Πώς έγινε αυτό; Αμέσως μετά την κατάληψη των στρατηγικών σημείων της πόλης, οι σύντροφοι του  Οδυσσέα άναψαν πυρσό στο ψηλότερο μέρος του κάστρου της Τροίας. Στιγμιαία το μήνυμα μεταδόθηκε στην Τένεδο και από την Τένεδο στο στόλο που καραδοκούσε. Σε ελάχιστο χρόνο τα Ελληνικά καράβια επέστρεψαν και η καταστροφή της πόλης του Πριάμου ολοκληρώθηκε.    

Πέραν των έξι αιώνων από την καταστροφή της Τροίας, ο Θουκυδίδης αναφέρει τη χρήση των φρυκτωριών κατά τη διάρκεια του πελοποννησιακού πολέμου. Σύμφωνα με το μεγάλο ιστορικό οι Φρύκτοι διαχωρίζονταν σε φίλιους και πολέμιους. Αν για παράδειγμα πλησίαζαν αντίπαλοι, τότε οι Αθηναίοι το γνώριζαν μέρες πριν φτάσουν, γιατί οι φρυκτωροί στρατιώτες κινούσαν άτακτα τους πυρσούς δεξιά και αριστερά σε σημαντική απόσταση. Αν έρχονταν φίλοι  οι Πυρσοί ήταν ακίνητοι. Ήταν κάτι σαν σύστημα έγκαιρης προειδοποίησης…

Οι Φρυκτωρίες χρησιμοποιήθηκαν και στο Μεσαίωνα. Στο Βυζάντιο, οι φρυκτωροί στρατιώτες ονομάζονταν καμινοβιγλάτορες. Όταν ήταν νύκτα μετέδιδαν μηνύματα με δυνατές φωτιές. Όταν ήταν μέρα οι πυρσοί έβγαζαν πυκνό καπνό.

Υπάρχει και μαρτυρία για ένα πρωτόγονο σύστημα αναπαράστασης γραμμάτων, κάτι σαν ένα κώδικα Μόρς σε εμβρυική μορφή…

Σε κάθε περίπτωση η ευρηματικότητα της αρχαίας ελληνικής τεχνολογίας είναι αξιοσημείωτη…

Προσεγγιστικός υπολογισμός σειράς αντιστρόφων κύβων

Α. Γράφουμε τη σειρά των αντιστρόφων κύβων ως άπειρο άθροισμα.
Β. Πολλαπλασιάζουμε το άπειρο άθροισμα επί τον όρο κ σειράς
Γ. Μεταξύ δύο διαδοχικών όρων της σειράς που προκύπτει μπορούμε να γράψουμε κ-1 όρους, έκαστος εξ' αυτών είναι μικρότερος του πρώτου των δύο διαδοχικών όρων.
Δ. Είναι φανερό ότι το άθροισμα των κ-1 όρων της αρχικής σειράς υπερέχει του  απείρου αθροίσματος πολλαπλασιαζόμενου επί τον όρο [(κ² - 1) / κ² ]
Ε. Το άπειρο άθροισμα είναι μεγαλύτερο του αθροίσματος των κ-1 πρώτων όρων αυτού αλλά είναι μικρότερο του αθροίσματος των κ-1 πρώτων όρων αυτού επί του καταχρηστικού κλάσματος κ²/(κ² - 1)

Παράδειγμα: Το άθροισμα των 99 πρώτων όρων υπερέχει των 9999/10000 του αθροίσματος των απείρων όρων. Το άπειρο άθροισμα υπολείπεται του γινομένου του καταχρηστικού κλάσματος 10000/9999 επί του αθροίσματος των 99 πρώτων όρων.

Σύγκλιση Αντίστροφης Σειράς Fibonacci

H Ακολουθία Fibonacci (ΑF).περιλαμβάνει τους όρους

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 .........

Είναι φανερό ότι κάθε όρος της ΑF ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων, δηλαδή Αν = Αν-1 + Αν-2. Η ΑF λέγεται και χρυσή ακολουθία γιατί ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της τείνει στον αριθμό της χρυσής τομής, όταν η τάξη των όρων  που συγκρίνονται τείνει προς το άπειρο. Δηλαδή:

Όταν  ν → ∞ τότε Αν / Αν-1 → Φ όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής

Με  Φ = ½ ( 1 + √ 5 ) = 1,61803398….

Αντίστροφη Χρυσή Σειρά (ΑΧΣ)

Η ΑΧΣ έχει ως όρους διαδοχικούς αντίστροφους αριθμούς της ΑF, αρχίζοντας από το δεύτερο όρο. Παρουσιάζουμε την ΑΧΣ  πιο κάτω :

∞

∑ Αν =  1+ ½ + ⅓, 1/5 +1/8 + 1/13 +  1/21 + 1/34 + 1/55 +1/89+.........

1

Ο παρονομαστής κάθε όρου ισούται με το άθροισμα των παρονομαστών των δύο προηγούμενων όρων, ενώ άπαντες οι αριθμητές είναι ίσοι με την μονάδα.

Παρατηρούμε ότι όταν ν→ ∞ τότε Αν / Αν-1 → 1/ Φ

Και Αν / Αν-1 → Φ – 1 = 0,618…..

Σύγκλιση ή απόκλιση της αντίστροφης χρυσής;

Θα αποδείξουμε ότι η ΑΧΣ συγκλίνει ¹

Για τον σκοπό αυτό θα την συγκρίνουμε με την φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο (ΦΓΠ ) με πρώτο όρο 1 και λόγο ⅔ την οποία γράφουμε πιο κάτω.

∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) =  1 + ⅔ + 4/9 + 8/27  .................+ (⅔) ^ (ν-1) + …..

1

Όπου ο όρος  (⅔) ^ (ν-1) διαβάζεται 2/3 υψωμένο στη δύναμη ν-1, με ν=1,2,3,4….

Παρατηρούμε ότι όλοι οι όροι της ΑΧΣ είναι μικρότεροι από τους όρους ίσης τάξεως της ΦΓΠ με λόγο ⅔. Αυτό γιατί, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ο λόγος των διαδοχικών όρων της  ΑΧΣ τείνει στο 1/Φ όταν ν→∞ και

1/Φ = 2/ ( 1 + √ 5 ) =  (√ 5 – 1 ) /2 = Φ – 1 = 0,61803398..

Η ΑΧΣ τείνει να γίνει ΦΓΠ με λόγο 1/Φ και 1/Φ < 2/3. Άρα αναμένουμε ότι οι όροι της θα είναι συνεχώς μικρότεροι από τους αντίστοιχους όρους της ΦΓΠ με λόγο 2/3

Υπολογίζουμε την διαφορά των δύο σειρών αφαιρώντας όρους ίσης τάξεως.

∞                                  ∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) -∑ Αν =  ( 1 – 1 ) + ( ⅔ - ½ ) + ( 4/9 - ⅓ ) + ( 8 / 27 – 1/5) + ...

1                                   1

Παρατηρούμε ότι η διαφορά των δύο σειρών είναι θετικός αριθμός, αφού όλες οι παρενθέσεις είναι θετικός εκτός της πρώτης που είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή:

∞                                  ∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) -∑ Αν > 0

1                                   1

Όμως το άθροισμα των απείρων όρων της ΦΓΠ με  λόγο ⅔ υπολογίζεται εύκολα βάση το γνωστό τύπο² υπολογισμού του αθροίσματος απείρων όρων ΦΓΠ.

∞                                 

∑ (⅔) ^ (ν-1) = 1 / ( 1 - ⅔ ) = 3

1                                 

               ∞

→ 3 - ∑ Αν > 0

              1

Αφού όλοι οι όροι της ΑΧΣ είναι θετικοί ισχύει ότι

                ∞

→ 0 < ∑ Αν < 3

           1

Και άρα η ΑΧΣ συγκλίνει σε θετικό πραγματικό αριθμό μικρότερο του 3. Το ακριβές άθροισμα των άπειρων όρων της ΑΧΣ θα υπολογίσουμε σε επόμενο άρθρο.

Σημειώσεις

1. Μια σειρά λέγεται συγκλίνουσα, αν το άθροισμα των απείρων όρων της τείνει προς ένα πεπερασμένο πραγματικό αριθμό. Έστω ότι μια σειρά συγκλίνει στο α, όπου α θετικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι, για ένα θετικό αριθμό β, οσοδήποτε μικρό, το άθροισμα της ακολουθίας μπορεί να ξεπεράσει τη διαφορά α – β , αν αθροίσω τον απαραίτητο αριθμό όρων της.

Δηλαδή

  

γ

∑ Αν  > α – β    αν το γ είναι αρκούντως μεγάλο.

ν=1

Όταν μια σειρά συγκλίνει, τότε οι όροι της σταδιακά τείνουν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι Αν → 0 όταν ν→ ∞. Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού έχουμε σειρές των οποίων οι όροι τείνουν στο μηδέν, όμως αυτές αποκλίνουν. (παράδειγμα:  η αρμονική σειρά )

2. Έστω η ΦΓΠ   α, αr, αr² , αr³ ........ με │ r  │< 1

Τότε το ∑ α r^ (ν-1) = α / ( 1 – r )

Συντομογραφίες:

ΑF = Ακολουθία Fibonacci

ΑΧΣ = Αντίστροφη χρυσή σειρά

ΦΓΠ = Φθίνουσα Γεωμετρική Πρόοδος

Μιχάλης Α. Πόλης

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα.

Τριήρης το καράβι που έφερε τη νίκη στη Σαλαμίνα

Η τριήρης ήταν ένα πολύ ισχυρό και γρήγορο πολεμικό καράβι. Ήταν εξαιρετικά ευέλικτο πλοίο, μπορούσε δηλαδή να κάνει ελιγμούς , να πλευρίζει και να πλαγιοκοπεί άλλα πολεμικά πλοία πιο μεγάλα και δυσκίνητα. Οι τρομερές αυτές αρετές του πολεμικού αυτού πλοίου έλαμψαν στην ναυμαχία της Σαλαμίνας το 480 π.Χ. Τα περσικά και τα φοινικικά καράβια, μεγάλα και δυσκίνητα , ηττήθησαν από την μικρότερη αλλά ταχύτερη και ευέλικτη τρίηρη.

     Ποια είναι όμως η Ιστορία του θαλασσινού αυτού θρύλου; Πως έμοιαζε; Ποια ήταν δε τα κυριώτερα χαρακτηριστικά του; Οι πρώτες τριήρεις ναυπηγήθηκαν στην Κόρινθο γύρω στο 630 π.Χ. από τον ναυπηγό Αμεινοκλή. Η Αθήνα , γνωστή ναυτική δύναμη, παρέλαβε την τριήρη από τους Κορινθίους, την τελειοποίησε και την έκανε δική της, μέχρι του σημείου που η ίδια η Αθήνα χαρακτηριζόταν ως η πόλη στην οποία φτιάχνονταν οι όμορφες τριήρεις.

    Η τριήρης της εποχής των περσικών πολέμων είχε τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Το μήκος της ήταν 37 μέτρα , το πλάτος της 5 μέτρα και είχε 170 κουπιά , 85 σε κάθε πλευρά της. Τα κουπιά κάθε πλευράς ήταν τοποθετημένα σε 3 σειρές , την μια πάνω από την άλλη. Η πάνω σειρά είχε 31 κουπιά, και οι δύο κατώτερες από 27. Από το χαρακτηριστικό αυτό, δηλαδή τις τρεις σειρές κουπιών, πήρε το καράβι το όνομα του. Κάθε κουπί χειριζόταν ένας κωπηλάτης.

     Το συνολικό πλήρωμα της τριήρους , ήταν 210 άνδρες. Το πλοίο διοικούσε αξιωματικός που λεγόταν τριήραρχος , τον οποίο βοηθούσαν 5 ακόμα αξιωματικοί και 4 υπαξιωματικοί. Αυτοί διοικούσαν και έδιναν κατεύθυνση στους 170 κωπηλάτες του πλοίου και το υπόλοιπο στρατιωτικό προσωπικό. Το πλοίο διέθετε 2 κατάρτια, ένα στη μέση και ένα μικρότερο στην πλώρη που διέθεταν πανιά. Είχε δύο τιμόνια , πίσω στην πρύμνη, ένα σε κάθε πλευρά της , που είχαν μορφή πολύ πλατιών κουπιών.

      Ο οπλισμός του πλοίου περιλάμβανε ισχυρό μεταλλικό έμβολο στην πλώρη , με το οποίο τρυπούσε και βύθιζε εχθρικά πλοία, όταν κατάφερνε να τα κτυπήσει στο πλευρό τους. Στο κατάστρωμα υπήρχαν επίσης καταπέλτες με τους οποίους έκαναν βολές κατά των εχθρικών πλοίων όταν η απόσταση μεταξύ τους ήταν μικρή.Άλλο σημαντικό όπλο του πλοίου ήταν η ταχύτητα του. Αυτή μπορούσε να φτάσει μέχρι και τα 22 χιλιόμετρα την ώρα , εκπληκτική για πλοίο της επόχης εκείνης. Την ταχύτητα αυτή μπορούσε να διατηρήσει για λίγο χρόνο, και τη χρησιμοποιούσε σε περίπτωση πολεμικών ελιγμών, η εμβολισμού εχθρικού πλοίου. Η μεγάλη ταχύτητα της τριήρεως φαίνεται αν τη συγκρίνουμε με την ταχύτητα του αντίστοιχου μεσαιωνικού πλοίου, της γαλέρας.  Η ταχύτητα της τελευταίας δεν υπερέβαινε τα 11 χιλιόμετρα. Δεκαπέντε αιώνες μετά τους περσικούς πολέμους , τα πολεμικά πλοία του μεσαίωνα είχαν μόνο την μισή ταχύτητα ενός πλοίου της κλασσικής εποχής.

     Γιατί όμως η τριήρης ήταν τόσο γρήγορο πλεούμενο; Πως δε ένα πλοίο χωρίς μηχανές που στηριζόταν μόνο στη δύναμη των κωπηλατών του, ανάπτυσσε τόση ταχύτητα; Η μεγάλη ταχύτητα της οφειλόταν στο μακρόστενο υδροδυναμικό σχήμα της που μείωνε την αντίσταση του νερού, τον  αριθμό των κωπηλατών της και το σημαντικό βύθισμα του σκάφους στην θάλασσα που οδηγούσε στην μεγιστοποίηση της απόδοσης των κουπιών. Με κανονικό ρυθμό κωπηλασίας μπορούσε να καλύψει 184 ναυτικά μίλια ( 340 χιλιόμετρα ) σε ένα εικοσιτετράωρο, δηλαδή ανέπτυσσε μέση ταχύτητα 14 χιλιόμετρα την ώρα.

    Η τριήρης έπλεε περήφανα στα γαλανά νερά του Αιγαίου για 1200 χρόνια, από το 600 π.Χ ώς το 600 μ.Χ. που υπάρχουν οι τελευταίες αναφορές γιαυτήν......Από τότε και μέχρι το 1984 μόνο ο θρύλος της έμενε στην μνήμη αυτών που λάτρευαν τη θάλασσα, μέχρι που  ξαναζωντάνεψε το 1984 , όταν το πολεμικό ναυτικό της Ελλάδας σε συνεργασία με το Βρετανικό Ναυτικό Μουσείο και το Ινστιτούτο Προστασίας Ναυτικών Παραδόσεων , την ξαναδημιούργησαν . Για τη σύνδεση των ξύλινων μερών του πλοίου χρησιμοποιήθηκαν 20 χιλιάδες ξύλινες σφήνες  από οξυά , ενώ χρησιμοποιήθηκε ξύλο άριστης ποιότητας στην κατασκεύη. Στην πρώτη νεότερη τριήρη, που μπορείτε να τη δείτε στην εικόνα, δόθηκε το όνομα «Ολυμπιάδα». Η Ολυμπιάδα διάνυσε αρκετές φορές τα γαλάζια νερά του Αιγαίου, για να μπορέσουν οι επιστήμονες να μετρήσουν την ταχύτητα της, την πλευστότητα της , την αντοχή της στις δύσκολες καιρικές συνθήκες. Τα πειράματα που έγιναν έδειξαν την αξία του αρχαίου αυτού καραβιού, που πάνω του στηρίχθηκε η θαλασσοκράτειρα Αθήνα. Σήμερα η Ολυμπιάδα αποτελεί το καλύτερο ίσως έκθεμα του Ελληνικού Ναυτικού Μουσείου.

Η συνεφαπτομένη ως άπειρο άρθροισμα και ο υπολογισμός του π

Η συνεφαπτομένη ως άπειρο άθροισμα και ο υπολογισμός του π

Σε προηγούμενο άρθρο είχαμε παρουσιάσει το άπειρο γινόμενο του Euler για το ημίτονο. Πράγματι αποδείξαμε ότι:

                  ∞

ημ x  = x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]                     (1)

                    ν=1

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) για να κτίσουμε μια  σειρά για τη συνεφαπτομένη, η οποία θα μας βοηθήσει να παρουσιάσουμε το π υπό μορφή απείρου αθροίσματος.

Ας πάρουμε λοιπόν το άπειρο γινόμενο του ημίτονου και ας υπολογίσουμε τους λογάριθμούς των δύο πλευρών της εξίσωσης:

                                       ∞

l n (ημ x )  = l n { x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ] }                    (2)

                                           ν=1

Όμως ο λογάριθμος ενός γινομένου¹ ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του. Η ιδιότητα αυτή θα μας επιτρέψει να τρέψουμε το δεξιό μέλος της (2) σε άθροισμα λογαρίθμων. Έχουμε λοιπόν:

l n ημ x  = l n  x  + l n ( 1 -   x ²/ π ² ) + l n (1 -   4 x ²/ 4π ²) + l n ( 1 -   x ²/ 9 π ² ) +......l n   [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]   +  l n .......

                                                     ∞                                      

→ l n ημ x  = l n  x  + ∑ l n   [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]        (3)

                                                    ν=1

Ακολούθως υπολογίζουμε την παράγωγο των δύο μερών της (3) και τα εξισώνουμε .

[ δ (l n ημ x  ) / δ ημ x  ]  (δ ημ x  / δ x  ) = [ δ l n x   / δ x  ]  + δ l n ( 1 -  x ²/  π ² ) δ x  + δ l n ( 1 -  x ²/  4π ² ) δ x   + δ l n ( 1 -  x ²/  9π ² ) δ x  + ...... + δ l n ( 1 -  x ²/  ν²π ² ) δ x  + ........

→  (  1 /  ημ x  )  συν x =  1/ x  + [ π ² / (π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / π ² ] + [ 4 π ² / (4π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / 4 π ² ] + [ 9 π ² / (9π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / 9 π ² ] + ...... + [ ν² π ² / (ν²π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / ν² π ² ]+...

→  συν x / ημ x   = 1/ x  - 2 x / (π ² -  x ² ) ]  -  2 x  / (4π ² -  x ² ) - 2 x  / (9π ² - x ² ) ...... - 2 x / (ν²π ² -  x ² ) - ...

→ σφ x   = 1/ x  +  2 x  / (x ² - π ²   )   +  2 x  / (x ² -  4π ²   ) + 2 x  / (x ² - 9π ²   ) ...... + 2 x / (x ²  - ν²π ²  ) - ...

 

και άρα: 

                          ∞

σφ x = 1/ x  + 2 ∑ x / (x ²  - ν²π ²  )                     (4)

                         ν=1

Η (4) ισχύει για κάθε πραγματικό x εκτός από τις τιμές x = ν π για τις οποίες η σφ x δεν ορίζεται.  

Ενδεικτικές περιπτώσεις υπολογισμού του  π με βάση την (4)

1. Θέτοντας στην (4) όπου x =  π/4 έχουμε:

                                     ∞                  

σφ  π/4 = 4 / π +  ∑  ½ π / (π ²/16  - ν²π ²  )

                                         ν= 1

                        

                                      ∞

→ 1 = 4 / π +  8   ∑ 1/ π ( 1 – 16 ν² )

                              ν=1

   

                                 ∞

→ π = 4 { 1 – 2 ∑  [ 1/ (  16 ν² - 1 ) ] }

                            ν=1

                                 ∞

→ π = 4 { 1 – 2 ∑   1/ [(  4 ν - 1 )(4n+1) ] }

                            ν=1

→ π = 4{1 – 2[ ( 1/ 3.5 ) + ( 1/7.9 ) + ( 1/11.13) + ( 1/15.1+)+....+ 1/(4 ν – 1)(4 ν – 3 )...}

2. Θέτοντας στην (4) όπου x = ⅓ π έχουμε:

                                      ∞                  

σφ  ⅓ π = 3 / π +  ∑  ⅔ π / (π ²/9  - ν²π ²  )

                                         ν= 1

                        

                                                 ∞

→ 1/√3 = 3 / π +  6/ π  ∑ 1/  ( 1 – 9 ν² )

                                         ν=1

   

                                          ∞

→ π = 3 √ 3  { 1 -  2 ∑  [ 1/ (  9 ν² - 1  ) ] }

                                  ν=1

→ π = 3 √ 3{ 1 – 2  [ ( 1 /  8 ) + ( 1/ 35 ) + ( 1/ 80) + ......+ 1/  (3 ν – 1 ) ( 3ν + 1 ).....}

→ π = 3 √ 3{ 1 – 2  [ ( 1 /  2 .4 ) + ( 1/ 5.7 ) + ( 1/ 8.10) + (1/11.13) ......+ 1/  (3 ν – 1 ) ( 3ν + 1 ).....}

Είναι φανερό ότι κάποιος μπορεί να αυτοσχεδιάσει άπειρες φορές με διαφορετικές τιμές του x και να δημιουργήσει αμέτρητα σε αριθμό άπειρα αθροίσματα που συγκλίνουν προς την τιμή του π.

Σημειώσεις

1. Για να βρούμε το φυσικό λογάριθμο ενός αριθμού, έστω του ψ, τον γράφουμε υπό μορφή δύναμης με βάση το e.

Έστω λοιπόν ψ = e ^x       ( ψ = e στη δύναμη x )

Τότε  ln ψ = x και προφανώς ο λογάριθμος αποτελεί τον εκθέτη του αριθμού, γραμμένου ως δύναμης με βάση το e.

Όταν πολλαπλασιάζουμε αριθμούς υπό μορφή δυνάμεων με την ίδια βάση, τότε το γινόμενο ισούται με δύναμη στην ίδια βάση με εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. Δηλαδή:

α ^x . α ^ψ = α ^ (x + ψ )                [ α στη x  επί α  στη ψ ίσον α στη x + ψ]

Πάνω στην ιδιότητα  αυτή των δυνάμεων στηρίζεται η ιδιότητα των λογαρίθμων

 ln ( Α.Β.Γ.Δ.......Ν) =  ln Α + ln Β + ln Γ + ln Δ +......ln Ν

Δηλαδή ο λογάριθμος ενός γινομένου αριθμών ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των αριθμών.

2. Ο αριθμός e, είναι άρρητος υπερβατικός αριθμός και δίνεται από τον τύπο:

e = l i m    ( 1 + 1/n ) ⁿ = 2, 718…

     n → ∞

Μιχάλης Α. Πόλης

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα