Η συνεφαπτομένη ως άπειρο άρθροισμα και ο υπολογισμός του π

Η συνεφαπτομένη ως άπειρο άθροισμα και ο υπολογισμός του π

Σε προηγούμενο άρθρο είχαμε παρουσιάσει το άπειρο γινόμενο του Euler για το ημίτονο. Πράγματι αποδείξαμε ότι:

                  ∞

ημ x  = x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]                     (1)

                    ν=1

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1) για να κτίσουμε μια  σειρά για τη συνεφαπτομένη, η οποία θα μας βοηθήσει να παρουσιάσουμε το π υπό μορφή απείρου αθροίσματος.

Ας πάρουμε λοιπόν το άπειρο γινόμενο του ημίτονου και ας υπολογίσουμε τους λογάριθμούς των δύο πλευρών της εξίσωσης:

                                       ∞

l n (ημ x )  = l n { x ∏  [ 1 -   x ²/ ν² π ² ] }                    (2)

                                           ν=1

Όμως ο λογάριθμος ενός γινομένου¹ ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των παραγόντων του. Η ιδιότητα αυτή θα μας επιτρέψει να τρέψουμε το δεξιό μέλος της (2) σε άθροισμα λογαρίθμων. Έχουμε λοιπόν:

l n ημ x  = l n  x  + l n ( 1 -   x ²/ π ² ) + l n (1 -   4 x ²/ 4π ²) + l n ( 1 -   x ²/ 9 π ² ) +......l n   [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]   +  l n .......

                                                     ∞                                      

→ l n ημ x  = l n  x  + ∑ l n   [ 1 -   x ²/ ν² π ² ]        (3)

                                                    ν=1

Ακολούθως υπολογίζουμε την παράγωγο των δύο μερών της (3) και τα εξισώνουμε .

[ δ (l n ημ x  ) / δ ημ x  ]  (δ ημ x  / δ x  ) = [ δ l n x   / δ x  ]  + δ l n ( 1 -  x ²/  π ² ) δ x  + δ l n ( 1 -  x ²/  4π ² ) δ x   + δ l n ( 1 -  x ²/  9π ² ) δ x  + ...... + δ l n ( 1 -  x ²/  ν²π ² ) δ x  + ........

→  (  1 /  ημ x  )  συν x =  1/ x  + [ π ² / (π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / π ² ] + [ 4 π ² / (4π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / 4 π ² ] + [ 9 π ² / (9π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / 9 π ² ] + ...... + [ ν² π ² / (ν²π ² -  x ² ) ] [ - 2 x / ν² π ² ]+...

→  συν x / ημ x   = 1/ x  - 2 x / (π ² -  x ² ) ]  -  2 x  / (4π ² -  x ² ) - 2 x  / (9π ² - x ² ) ...... - 2 x / (ν²π ² -  x ² ) - ...

→ σφ x   = 1/ x  +  2 x  / (x ² - π ²   )   +  2 x  / (x ² -  4π ²   ) + 2 x  / (x ² - 9π ²   ) ...... + 2 x / (x ²  - ν²π ²  ) - ...

 

και άρα: 

                          ∞

σφ x = 1/ x  + 2 ∑ x / (x ²  - ν²π ²  )                     (4)

                         ν=1

Η (4) ισχύει για κάθε πραγματικό x εκτός από τις τιμές x = ν π για τις οποίες η σφ x δεν ορίζεται.  

Ενδεικτικές περιπτώσεις υπολογισμού του  π με βάση την (4)

1. Θέτοντας στην (4) όπου x =  π/4 έχουμε:

                                     ∞                  

σφ  π/4 = 4 / π +  ∑  ½ π / (π ²/16  - ν²π ²  )

                                         ν= 1

                        

                                      ∞

→ 1 = 4 / π +  8   ∑ 1/ π ( 1 – 16 ν² )

                              ν=1

   

                                 ∞

→ π = 4 { 1 – 2 ∑  [ 1/ (  16 ν² - 1 ) ] }

                            ν=1

                                 ∞

→ π = 4 { 1 – 2 ∑   1/ [(  4 ν - 1 )(4n+1) ] }

                            ν=1

→ π = 4{1 – 2[ ( 1/ 3.5 ) + ( 1/7.9 ) + ( 1/11.13) + ( 1/15.1+)+....+ 1/(4 ν – 1)(4 ν – 3 )...}

2. Θέτοντας στην (4) όπου x = ⅓ π έχουμε:

                                      ∞                  

σφ  ⅓ π = 3 / π +  ∑  ⅔ π / (π ²/9  - ν²π ²  )

                                         ν= 1

                        

                                                 ∞

→ 1/√3 = 3 / π +  6/ π  ∑ 1/  ( 1 – 9 ν² )

                                         ν=1

   

                                          ∞

→ π = 3 √ 3  { 1 -  2 ∑  [ 1/ (  9 ν² - 1  ) ] }

                                  ν=1

→ π = 3 √ 3{ 1 – 2  [ ( 1 /  8 ) + ( 1/ 35 ) + ( 1/ 80) + ......+ 1/  (3 ν – 1 ) ( 3ν + 1 ).....}

→ π = 3 √ 3{ 1 – 2  [ ( 1 /  2 .4 ) + ( 1/ 5.7 ) + ( 1/ 8.10) + (1/11.13) ......+ 1/  (3 ν – 1 ) ( 3ν + 1 ).....}

Είναι φανερό ότι κάποιος μπορεί να αυτοσχεδιάσει άπειρες φορές με διαφορετικές τιμές του x και να δημιουργήσει αμέτρητα σε αριθμό άπειρα αθροίσματα που συγκλίνουν προς την τιμή του π.

Σημειώσεις

1. Για να βρούμε το φυσικό λογάριθμο ενός αριθμού, έστω του ψ, τον γράφουμε υπό μορφή δύναμης με βάση το e.

Έστω λοιπόν ψ = e ^x       ( ψ = e στη δύναμη x )

Τότε  ln ψ = x και προφανώς ο λογάριθμος αποτελεί τον εκθέτη του αριθμού, γραμμένου ως δύναμης με βάση το e.

Όταν πολλαπλασιάζουμε αριθμούς υπό μορφή δυνάμεων με την ίδια βάση, τότε το γινόμενο ισούται με δύναμη στην ίδια βάση με εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. Δηλαδή:

α ^x . α ^ψ = α ^ (x + ψ )                [ α στη x  επί α  στη ψ ίσον α στη x + ψ]

Πάνω στην ιδιότητα  αυτή των δυνάμεων στηρίζεται η ιδιότητα των λογαρίθμων

 ln ( Α.Β.Γ.Δ.......Ν) =  ln Α + ln Β + ln Γ + ln Δ +......ln Ν

Δηλαδή ο λογάριθμος ενός γινομένου αριθμών ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων των αριθμών.

2. Ο αριθμός e, είναι άρρητος υπερβατικός αριθμός και δίνεται από τον τύπο:

e = l i m    ( 1 + 1/n ) ⁿ = 2, 718…

     n → ∞

Μιχάλης Α. Πόλης

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα