Σύγκλιση Αντίστροφης Σειράς Fibonacci

H Ακολουθία Fibonacci (ΑF).περιλαμβάνει τους όρους

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 .........

Είναι φανερό ότι κάθε όρος της ΑF ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων, δηλαδή Αν = Αν-1 + Αν-2. Η ΑF λέγεται και χρυσή ακολουθία γιατί ο λόγος δύο διαδοχικών όρων της τείνει στον αριθμό της χρυσής τομής, όταν η τάξη των όρων  που συγκρίνονται τείνει προς το άπειρο. Δηλαδή:

Όταν  ν → ∞ τότε Αν / Αν-1 → Φ όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής

Με  Φ = ½ ( 1 + √ 5 ) = 1,61803398….

Αντίστροφη Χρυσή Σειρά (ΑΧΣ)

Η ΑΧΣ έχει ως όρους διαδοχικούς αντίστροφους αριθμούς της ΑF, αρχίζοντας από το δεύτερο όρο. Παρουσιάζουμε την ΑΧΣ  πιο κάτω :

∞

∑ Αν =  1+ ½ + ⅓, 1/5 +1/8 + 1/13 +  1/21 + 1/34 + 1/55 +1/89+.........

1

Ο παρονομαστής κάθε όρου ισούται με το άθροισμα των παρονομαστών των δύο προηγούμενων όρων, ενώ άπαντες οι αριθμητές είναι ίσοι με την μονάδα.

Παρατηρούμε ότι όταν ν→ ∞ τότε Αν / Αν-1 → 1/ Φ

Και Αν / Αν-1 → Φ – 1 = 0,618…..

Σύγκλιση ή απόκλιση της αντίστροφης χρυσής;

Θα αποδείξουμε ότι η ΑΧΣ συγκλίνει ¹

Για τον σκοπό αυτό θα την συγκρίνουμε με την φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο (ΦΓΠ ) με πρώτο όρο 1 και λόγο ⅔ την οποία γράφουμε πιο κάτω.

∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) =  1 + ⅔ + 4/9 + 8/27  .................+ (⅔) ^ (ν-1) + …..

1

Όπου ο όρος  (⅔) ^ (ν-1) διαβάζεται 2/3 υψωμένο στη δύναμη ν-1, με ν=1,2,3,4….

Παρατηρούμε ότι όλοι οι όροι της ΑΧΣ είναι μικρότεροι από τους όρους ίσης τάξεως της ΦΓΠ με λόγο ⅔. Αυτό γιατί, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ο λόγος των διαδοχικών όρων της  ΑΧΣ τείνει στο 1/Φ όταν ν→∞ και

1/Φ = 2/ ( 1 + √ 5 ) =  (√ 5 – 1 ) /2 = Φ – 1 = 0,61803398..

Η ΑΧΣ τείνει να γίνει ΦΓΠ με λόγο 1/Φ και 1/Φ < 2/3. Άρα αναμένουμε ότι οι όροι της θα είναι συνεχώς μικρότεροι από τους αντίστοιχους όρους της ΦΓΠ με λόγο 2/3

Υπολογίζουμε την διαφορά των δύο σειρών αφαιρώντας όρους ίσης τάξεως.

∞                                  ∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) -∑ Αν =  ( 1 – 1 ) + ( ⅔ - ½ ) + ( 4/9 - ⅓ ) + ( 8 / 27 – 1/5) + ...

1                                   1

Παρατηρούμε ότι η διαφορά των δύο σειρών είναι θετικός αριθμός, αφού όλες οι παρενθέσεις είναι θετικός εκτός της πρώτης που είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή:

∞                                  ∞

∑ (⅔) ^ (ν-1) -∑ Αν > 0

1                                   1

Όμως το άθροισμα των απείρων όρων της ΦΓΠ με  λόγο ⅔ υπολογίζεται εύκολα βάση το γνωστό τύπο² υπολογισμού του αθροίσματος απείρων όρων ΦΓΠ.

∞                                 

∑ (⅔) ^ (ν-1) = 1 / ( 1 - ⅔ ) = 3

1                                 

               ∞

→ 3 - ∑ Αν > 0

              1

Αφού όλοι οι όροι της ΑΧΣ είναι θετικοί ισχύει ότι

                ∞

→ 0 < ∑ Αν < 3

           1

Και άρα η ΑΧΣ συγκλίνει σε θετικό πραγματικό αριθμό μικρότερο του 3. Το ακριβές άθροισμα των άπειρων όρων της ΑΧΣ θα υπολογίσουμε σε επόμενο άρθρο.

Σημειώσεις

1. Μια σειρά λέγεται συγκλίνουσα, αν το άθροισμα των απείρων όρων της τείνει προς ένα πεπερασμένο πραγματικό αριθμό. Έστω ότι μια σειρά συγκλίνει στο α, όπου α θετικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι, για ένα θετικό αριθμό β, οσοδήποτε μικρό, το άθροισμα της ακολουθίας μπορεί να ξεπεράσει τη διαφορά α – β , αν αθροίσω τον απαραίτητο αριθμό όρων της.

Δηλαδή

  

γ

∑ Αν  > α – β    αν το γ είναι αρκούντως μεγάλο.

ν=1

Όταν μια σειρά συγκλίνει, τότε οι όροι της σταδιακά τείνουν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι Αν → 0 όταν ν→ ∞. Όμως το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού έχουμε σειρές των οποίων οι όροι τείνουν στο μηδέν, όμως αυτές αποκλίνουν. (παράδειγμα:  η αρμονική σειρά )

2. Έστω η ΦΓΠ   α, αr, αr² , αr³ ........ με │ r  │< 1

Τότε το ∑ α r^ (ν-1) = α / ( 1 – r )

Συντομογραφίες:

ΑF = Ακολουθία Fibonacci

ΑΧΣ = Αντίστροφη χρυσή σειρά

ΦΓΠ = Φθίνουσα Γεωμετρική Πρόοδος

Μιχάλης Α. Πόλης

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα.