Επιστρώσεις

 Η στρώση ενός επιπέδου με πολύγωνα, χωρίς να υπάρχουν μεταξύ τους κενά, μπορεί να επιτευχθεί μόνο με τη χρήση ισοπλεύρων τριγώνων, τετραγώνων, κανονικών εξάγωνων ή συνδυασμού αυτών. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κανονικό εξάγωνο για να δημιουργήσουμε κύβους σε επίπεδο. Για να το πετύχουμε αυτό το χωρίζουμε σε τρεις ρόμβους με γωνίες 60⁰, 120⁰, 60⁰, 120⁰. Δύο από τις πλευρές κάθε ρόμβου είναι διαδοχικές πλευρές του εξάγωνου, ενώ οι άλλες δύο είναι ακτίνες του κύκλου που περιγράφεται στο εξάγωνο. Η τεχνική αυτή χρησιμοποιήθηκε σε πλακόστρωτα της ρωμαϊκής Πομπηίας.

Επιστρώσεις Penrose

Ο Roger Penrose¹, θεωρείται ο δημιουργός επιστρώσεων που εμφανίζουν πενταγωνική συμμετρία. Για τις κατασκευές του στηρίζεται σε τρίγωνα και ρόμβους που φέρουν στις διαστάσεις τους τον αριθμό Φ της χρυσής τομής² και έχουν γωνίες ίσες ή πολλαπλάσιες των 36⁰. Τέτοια χρυσά τρίγωνα και ρόμβοι είναι τα ακόλουθα:

1.       1. Ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες 36⁰, 72⁰, 72⁰ και πλευρές α, α Φ, α Φ αντίστοιχα

2.      2.  Ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες 36⁰, 36⁰, 108⁰ και πλευρές α, α , α Φ αντίστοιχα

3.       3. Ρόμβος με γωνίες 36⁰, 144⁰, 36⁰, 144⁰ και πλευρά ίση με α Φ

4.      4.  Ρόμβος με γωνίες 72⁰, 108⁰, 72⁰, 108⁰ και πλευρά ίση με α Φ

Μέσα από τις επιστρώσεις αυτές εμφανίζονται κανονικά δεκάγωνα λόγω του ότι το σχήμα αυτό φέρει τις πιο πάνω γωνίες. Ακόμα μπορούν να ομαδοποιηθούν σε ακόμα μεγαλύτερες επιστρώσεις, εμφανίζοντας το φαινόμενο της αντικατάστασης.

Σημειώσεις

1.     1.  Ο Roger Penrose (1931- ) είναι διακεκριμμένος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος της Επιστήμης. Είναι κάτοχος βραβείου Νόμπελ Φυσικής.

2.    2.   Χρυσή τομή είναι ο χωρισμός δεδομένης ποσότητας σε μέσο και άκρο λόγο. Ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το μικρότερο ισούται με το λόγο του όλου προς το μεγαλύτερο τμήμα. Ο  Φ= (1+√5)/2 = 1,618033..