Τα κουνέλια του Fibonacci

 

Ο Ιταλός Μαθηματικός Fibonacci παρουσίασε το ακόλουθο  πρόβλημα:

Ένας γεωργός έβαλε στο χωράφι του ένα ζευγάρι νεογέννητα κουνέλια, τα οποία χρειάζονται ένα μήνα να ωριμάσουν και ακολούθως, γεννούν ένα νέο ζευγάρι κουνελιών το μήνα. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχει ο γεωργός σε ένα χρόνο υπό ιδανικές συνθήκες;²

Στο τέλος του πρώτου μήνα θα υπάρχει ένα ζευγάρι, το όποιο όμως θα είναι ώριμο για αναπαραγωγή. Στο τέλος του δεύτερου μήνα θα υπάρχουν δύο ζευγάρια, το αρχικό και το νεογέννητο ζεύγος που έχει γεννήσει.

Στο τέλος του τρίτου μήνα θα υπάρχουν τρία ζεύγη, το αρχικό, το ζεύγος που έχει ωριμάσει και τα δεύτερο ζεύγος που γέννησε το αρχικό ζευγάρι. Στους τέσσερις μήνες έχουμε διπλά γεννητούρια. Εκτός από το αρχικό ζευγάρι γεννά και αυτό που γεννήθηκε στο τέλος του δεύτερου μήνα. Έτσι 120 μέρες μετά τη μέρα μηδέν τα ζευγάρια μας γίνονται  πέντε.

Πέντε μήνες συμπληρωμένοι. Πόσα γεννητούρια έχουμε; Πόσα είναι συνολικά τα ζευγάρια μας 150 μέρες μετά την τοποθέτηση του αρχικού ζευγαριού στο χωράφι; Έχουμε και λέμε. Από τα πέντε ζευγάρια που είχαμε στο τέλος του τέταρτου μήνα γεννούν το αρχικό και  αυτά που γεννήθηκαν τον δεύτερο και τον τρίτο μήνα. Σύνολο προστιθέμενων ζευγαριών στα πέντε που είχαμε τον τέταρτο μήνα: τρία. Σύνολο ζευγαριών στο τέλος του 5^ου μήνα: 5+3 = 8

Ας βάλουμε το πρόβλημα σε μια ακολουθία αριθμών για να δούμε αν προκύπτει ένα μοτίβο

Συμπληρωμένοι  μήνες	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ζεύγη κουνελιών	1	1	2	3	5	8

 

Είναι φανερό ότι ο αριθμός των ζευγαριών που υπάρχουν στο τέλος του ν-οστού μήνα   ισούται με τον αριθμό των ζευγαριών που υπήρχαν το μήνα ν-1 συν τα νεογέννητα ζεύγη που ισούνται με τα ζεύγη που υπήρχαν τον μήνα ν-2, εφόσον γεννούν τα θηλυκά κουνέλια που γίνονται δύο μηνών.

Για να υπολογίσουμε  τα ζεύγη κουνελιών μας στο τέλος του χρόνου πρέπει να βρούμε το 13^ο όρο της αναδρομικής ακολουθίας δευτέρας τάξεως:

Fν = Fν-1 + Fν-2    με F1 = F2 =1

Έχουμε και λέμε:

6^ος μήνας: F7 = F6 + F5 = 8 +5 = 13 ζεύγη.

7^ος μήνας: F8 = F7 + F6 = 13 +8 = 21 ζεύγη.

………………………………………………………………..

Μπορείτε να υπολογίσετε πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχει ο γεωργός μας ένα χρόνο μετά τη εισαγωγή του πρώτου ζευγαριού; Είναι εύκολο και θα σας βοηθήσει να καταλάβετε πώς δομείται μια αναδρομική ακολουθία.

Οι αριθμοί του  Fibonacci   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …… είναι διάσημοι και έχουν γραφτεί αμέτρητα βιβλία και μελέτες γι’ αυτούς.  Υπάρχουν παντού στη φύση και σχετίζονται άμεσα με το δόγμα της αρμονίας και της ομορφιάς. Δεν είναι τυχαίο ότι ο αριθμός της χρυσής τομής συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα Φ.

Για τη σχέση χρυσής τομής και ακολουθίας  Fibonacci θα επανέλθουμε σε επόμενα άρθρα.

Σημειώσεις

1.       Ο Ιταλός Μαθηματικός Leonardo Pisano (1175 -1240 μ.Χ. ) πήρε το όνομα  Fibonacci από τη διάσημη αναδρομική ακολουθία που παρουσιάσαμε πιο πάνω. Η ακολουθία είναι πολύ σημαντική γιατί σχετίζεται με τη χρυσή τομή. Το γνωστότερο έργο του Fibonacci είναι το Liber Abbaci (βιβλίο των Υπολογισμών ). Εισήγαγε στην Ευρώπη τους αραβικούς αριθμούς και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης.

2.        Το πρόβλημα προϋποθέτει ότι στην διάρκεια του χρόνου δεν θα έχουμε θάνατο ή άλλη απώλεια κουνελιών.