Σπείρα Fibonacci σαλιγκάρια και οστρακοειδή

 Η γνωστή αναδρομική ακολουθία δεύτερης τάξης  Fibonacci  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... με γενικό όρο Fν = Fν-1 + Fν-2    με F1 = F2 =1 αποτελεί ένα φυσικό αρχέτυπο, μια αρμονική αναλογία που παρατηρείται συχνά στη φύση. Μπορούμε να την παραστήσουμε γεωμετρικά με χρήση ορθογωνίων και τετραγώνων με διαστάσεις διαδοχικούς όρους της ακολουθίας. Τα διαδοχικά πηλίκα των όρων τείνουν στον αριθμό της χρυσής τομής. Έχουμε:

F2 / F1 = 1/1 = 1

F3 / F2 = 2/1 = 2

F4 / F3 = 3/2 = 1,5

F5 / F4 = 5/3 = 1,66666…

F6 / F5 = 8/5 = 1,6

F7 / F6 = 13/8 = 1,625

F8 / F7 = 21/13 = 1,615384615…

F9 / F8 = 34/21 = 1,619047619…

F10 /F9 = 55/34 = 1,617647059…

F11 /F10 = 89/55 = 1,618181818…

………………………………………………….

Lim ν →∞  Fν /Fν-1  =Φ= (1 +√5)/2 = 1,618033989… Όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής.

Για τη Γεωμετρική αναπαράσταση πρέπει να εργαστούμε ως εξής:

1.       Γράφουμε ορθογώνιο με πλευρές τους δύο πρώτους όρους της ακολουθίας Fibonacci. (1Χ2). Το χωρίζουμε σε δύο τετράγωνα 1Χ1.

2.       Επί της μεγάλης πλευράς του ορθογωνίου προσθέτουμε τετράγωνο 2Χ2 και έτσι σχηματίζεται ορθογώνιο με διαστάσεις  F3 Χ F4 = 2Χ3.

3.       Ομοίως επί της πλευράς μήκους 3 του ορθογωνίου προσθέτουμε τετράγωνο 3Χ3. Έχουμε τώρα ορθογώνιο με διαστάσεις  F4 Χ F5 = 3Χ5 

4.       Ακολούθως  προσθέτουμε τετράγωνο 5Χ5 επί της μεγάλης πλευράς του ορθογωνίου με διαστάσεις  F4 Χ F5. Προκύπτει τώρα νέο ορθογώνιο  Fibonacci με διαστάσεις  F5 Χ F6 = 5Χ8

5.       Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όσες φορές θέλουμε. Ενώνουμε με τεταρτοκύκλια εσωτερικά τα τετράγωνα και δημιουργούμε τη σπείρα  Fibonacci

 Παραθέτουμε σχετική εικόνα της σπείρας όπως προκύπτει από τη συνένωση διαδοχικών κορυφών των ορθογωνίων με τεταρτοκύκλια. Η σπείρα Fibonacci παρατηρείται στα κελύφη των σαλιγκαριών και σε ορισμένα θαλασσινά κοχύλια.