Ιστορία των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών

Μιχάλη Α. Πόλη, εκπαιδευτικού

Ο Θαλής ο Μιλήσιος είναι ο πρώτος, ο οποίος δικαιούται να φέρει τον τίτλο του Μαθηματικού, όπως τον εννοούμε σήμερα. Βέβαια ο Θαλής δεν ήταν μόνο Μαθημα-τικός, αλλά κατ’ εξοχήν ήταν φυσικός φιλόσοφος. Προσπάθησε να δώσει λογικές ερμηνείες στα φυσικά φαινόμενα. Ώς μαθηματικός διείδε την χρήση των γεωμετρικών σχημάτων στη γενικότητα τους ξεφεύγοντας από τις συγκεκριμμένες κατασκεύες. Διατύπωσε το θεώρημα των αναλογιών που φέρει το όνομα του, στο υπόβαθρο του οποίου ευρίσκεται η θεωρητική έννοια των παραλλήλων ευθειών. Θεωρητική γιατί δεν υπάρχουν στη φύση παράλληλες ευθείες, αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Ο Θαλής απέδειξε ότι, αν δύο ευθείες (ε) και (ε΄) τέμνονται από τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες, τότε ο λόγος των δύο τμημάτων της (ε) που οριοθετούνται από τις τρείς παράλληλες ευθείες είναι ίσος με τον λόγο των αντίστοιχων τμημάτων της (ε΄) που οριοθετούνται από τις ίδιες παράλληλες. Η πιο πάνω μαθηματική πρόταση ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων και παραλλήλων ευθειών που σχηματίζονται με ανάλογο τρόπο. Ο Μιλήσιος σοφός όχι μόνο διατύπωσε, αλλά για πρώτη φορά απόδειξε μαθηματική πρόταση. Ο Δ. Τσιμπουράκης διατυπώνει ως εξής τη γέννηση της μαθηματικής απόδειξης από τον Θαλή

«Ο Θαλής θεωρείται ο εμπνευστής της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων, με το να εισάγει τον απαγωγικό συλλογισμό και την υπόθεση στην αναζήτηση της αλήθειας. Έτσι η ελληνική γεωμετρία, όπως θεμελιώθηκε από τον Θαλή, έγινε αποδεικτική επιστήμη και ξεχώρισε εντελώς από το σύνολο των γεωμετρικών γνώσεων που προϋπήρχαν στους ανατολικούς λαούς..» ( Η γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα σελ. 38)

  Η αξία της απόδειξης ενός θεωρήματος, έγκειται στο ότι αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άπειρες επιμέρους περιπτώσεις, οι οποίες το επαληθεύουν. Ο Θαλής εφάρμοσε το θεώρημα του μετρώντας το ύψος των πυραμίδων από τη σκιά τους. Ο λόγος της σκιάς ενός ραβδιού προς το ύψος του είναι ίσος προς το λόγο της σκιάς της πυραμίδας προς το δικό της ύψος. Από τους τέσσερεις προαναφερθέντες αριθμούς της αναλογίας μόνο το ύψος της πυραμίδας είναι άγνωστο και άρα υπολογίσιμο με την επίλυση της αναλογίας. 

     Πρωταγωνιστής της επόμενης φάσης ανάπτυξης των ελληνικών μαθηματικών είναι ο σοφός Μαθηματικός και μύστης από τη Σάμο Πυθαγόρας. Κέντρο της διδασκαλίας του οι αριθμοί, τους οποίους θεωρούσε ως θεμέλιο του παντός, αφού θεμελιώδες δόγμα του Σάμιου σοφού ήταν τό

Αριθμόν είναι την ουσίαν απάντων

 Στην σχολή του Κρότωνα στην μεγάλη Ελλάδα ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του, χώρισαν τους αριθμούς σε οικογένειες, απαρίθμησαν τις ιδιότητες τους και τις απέδειξαν, έδωσαν φιλοσοφικές και εσωτερικές ερμηνείες στους αριθμούς. Άρτιοι, περιττοί, αρτιοπέριττοι, περισσάρτιοι, αρτιάρτιοι, ατελείς, τέλειοι, υπερτελείς  φίλιοι, πρώτοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, και πεντάγωνοι  είναι μερικές από τις οικογένειες των αριθμών. Οι πιο πάνω ορισμοί στέκουν μέχρι σήμερα, αποτελούν δε τα θεμέλια των νεότερων Μαθηματικών. Όμως προχώρησαν πέραν των αριθμών στην διατύπωση των ιδιοτήτων των αναλογιών, στην μελέτη των αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών προόδων, στη διατύπωση του θεωρήματος που φέρει το όνομα του Πυθαγόρα και εξηγεί τη σχέση μεταξύ της υποτείνουσας και των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου, τη διατύπωση του θεωρήματος της χρυσής τομής, την κατασκευή των πέντε κανονικών στερεών κ.α.

       Ο Πυθαγόρας δεν ασχολήθηκε μόνο με τα Μαθηματικά, αλλά και με την Μουσική, την Αστρονομία και τον Μυστικισμό, τομείς γνώσης τους οποίους  προσπάθησε να θεμελιώσει με βάση τη θεωρία του των αριθμών, θεωρώντας τους κλάδους των Μαθηματικών. Θεμελίωσε τη μουσική πάνω στις Μαθηματικές αναλογίες , διατύπωσε την θεωρία των ουρανίων σφαιρών και την άποψη ότι η γη είναι σφαιρική. Η πυθαγόρια αριθμολογία προσπάθησε να εξηγήσει τον κόσμο με τους αριθμούς της πρώτης δεκάδας. Συμβόλισε την βασική νομοτέλεια του σύμπαντος με τη μονάδα, την ανάπτυξη, την πολλαπλότητα και την πάλη των αντιθέτων με τη δυάδα κοκ.

      Σημείο καμπής στην ανάπτυξη των πυθαγορείων μαθηματικών ήταν η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Όπως ξέρουμε από τα στοιχειώδη μαθηματικά, άρρητος ονομάζεται ο αριθμός ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος ακεραίων.Αν επιχειρήσετε να γράψετε ένα άρρητο ώς δεκαδικό, σίγουρα δεν θα πετύχετε τίποτε παραπάνω από μια προσέγγιση. Αυτό γιατί ο άρρητος μας έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα με βάση κάποιο μοτίβο δεκαδικά ψηφία. Η ύπαρξη τέτοιων αριθμών αποτελούσε βόμβα στα θεμέλια της κοσμοθεωρίας του Πυθαγόρα, ότι δηλαδή τα πάντα είναι (ακέραιοι) αριθμοί. Τα θεμέλια της πιο λογικής επιστήμης φάνηκαν να κλονίζονται και το χάος της απροσδιοριστίας πολιορκούσε το πιο στερεά δομημένο κάστρο της ανθρώπινης νόησης.

     Η Τρίτη φάση των Ελληνικών μαθηματικών προσδιορίζεται χρονικά στον 5^ο  και 4^ο αιώνα π.Χ. Το πρόβλημα των αρρήτων αριθμών δεν επιλύεται βέβαια την περίοδο αυτή, αλλά παρακάμπτεται τεχνηέντως. Σίγουρα δεν μπορεί κάποιος να παραστήσει τον άρρητο αριθμό √2 ως δεκαδικό, όμως πολύ εύκολα μπορεί να τον σχεδιάσει γεωμετρικά ως την υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, με τις κάθετες πλευρές του ίσες με την μονάδα.

       Την περίοδο αυτή την οποία άνετα μπορούμε να την χαρακτηρίσουμε και ως περίοδο της γεωμετρίας αναφύονται και τα διάσημα προβλήματα τα οποία θα μας απασχολήσουν στο κύριο μέρος αυτού του βιβλίου. Αυτά είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η κατασκευή τετραγώνου ισεμβαδικού με δεδομένο κύκλο, Το Δήλιο πρόβλημα δηλαδή η κατασκευή κύβου με όγκο διπλάσιο του όγκου δεδομένου κύβου και η τριχοτόμηση της τυχαίας γωνίας. Τα προβλήματα προσπάθησαν να τα λύσουν με τον κανόνα και το διαβήτη. Δεν τα κατάφεραν γιατί, όπως αποδείκτηκε μετά από 24 αιώνες η λύση τους με την κλασσική γεωμετρική μέθοδο ήταν αδύνατη. Παρ’όλα αυτά πέτυχαν ευφυείς λύσεις με άλλες μεθόδους.

      Αξιόλογοι μαθηματικοί της περιόδου αυτής ήταν, μεταξύ άλλων, ο Εύδοξος από την Κνίδο της Μ. Ασίας, ο Πλάτων ο Αθηναίος, ο Ιπποκράτης από τη Χίο, ο Μέναιχμος, ο Θεαίτητος  ο Αρχύτας από τον Τάραντα της Μ. Ελλάδος και ο πανεπιστήμονας Αριστοτέλης. Ο Εύδοξος διατύπωσε αποδείξεις αναφορικά με όγκους στερεών, ( πυραμίδας, σφαίρας κλπ ) διαμορφώνοντας μεθόδους προσέγγισης των προβλημάτων που προσιδιάζουν τον σύγχρονο ολοκληρωτικό λογισμό. Επέκτεινε την θεωρία για τις αναλογίες με τέτοιο τρόπο, ώστε να περιλαμβάνονται σε αυτές και ασύμμετροι αριθμοί σε σχέση ανισότητας με τους σύμμετρους. Η προσέγγιση αυτή παρέκαμψε το αδιέξοδο που έφεραν οι άρρητοι στα πυθαγόρια μαθηματικά. Ο Πλάτωνας εθεμελίωσε την αναλυτική μέθοδο απόδειξης προβλημάτων, μελέτησε τα 5 κανονικά στερεά σώματα, τα οποία, τιμής ένεκεν αναφέρονται με το όνομα του, αν και ήταν γνωστά και προηγουμένως, αφού μελετήθηκαν από τους Πυθαγόρειους. Ακόμα βρήκε κανόνα των ακεραίων επαληθεύσεων της εξίσωσης Χ² + Ψ² = Ζ² , προσδιορίζοντας με αλγεβρικό τύπο τις λύσεις του πυθαγορείου θεωρήματος. Ο Ιπποκράτης αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του για να λύσει τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του κύβου. Τετραγώνισε  μηνίσκους και διατύπωσε το θεώρημα το οποίο συνδέει το εμβαδό δύο κύκλων με το λόγο των τετραγώνων των διαμέτρων τους. Ο Μέναιχμος έλυσε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου με δύο τρόπους, με τη χρήση παραβολών. Τις λύσεις θα περιγράψουμε αναλυτικά αργότερα. Ο Θεαίτητος ασχολήθηκε με την λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ²= α και διατύπωσε το είδος των ριζών ανάλογα με την φύση του α. Αν α είναι τετράγωνος ακέραιος αριθμός τότε και ο Χ είναι τετράγωνος, αν α είναι πρώτος, ή γινόμενο δύο διαφορετικών πρώτων ή συνθέτων τότε ο Χ είναι ασύμμετρος.Ο Αρχύτας έλυσε το Δήλιο πρόβλημα και διατύπωσε μέθοδο υπολογισμού τετραγωνικών ριζών.

      Η συμβολή του Αριστοτέλη στην θεωρητική θεμελίωση των Μαθηματικών είναι μεγίστη. Είναι ο πατέρας της Λογικής της οποίας διατύπωσε τις τέσσερις γενικές αρχές, δηλαδή την αρχή της ταυτότητας, της αντίφασης, του αποκλεισμού του τρίτου και την αρχή του αποχρώντος λόγου, η ανάλυση των οποίων ξεφεύγει των σκοπών του μελετήματος αυτού.  Ακόμα κατέγραψε και συστηματοποίησε τους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, δηλαδή την εις άτοπον απαγωγή, την τελεία επαγωγή, την αναλυτική και τη συνθετική μέθοδο απόδειξης. Μελέτησε το άπειρο και το απειροστόν κατ’ αντιδιαστολή. Θεώρησε ότι το πρώτο υπάρχει ως νοητική σύλληψη, αλλά στην πράξη είναι απρόσιτο και άρα ανύπαρκτο μέσα σε ένα πεπερασμένο κόσμο. Το απειροστό συνέλαβεν ως το πεπερασμένο άθροισμα απείρων, συνεχώς ελαττούμενων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Γενικά ο πανεπιστήμονας σταγειρίτης υπήρξε μέγιστος μαθηματικός, αν και η ιδιότητα του αυτή επισκιάσθηκε από το ευρύτερο φιλοσοφικό έργο του.

     Η Ελληνιστική περίοδος των μαθηματικών (300-31π.Χ.)φέρνει στο προσκήνιο τον Ευκλείδη, το έργο του οποίου «Στοιχεία Γεωμετρίας» αποτελεί την βίβλο των Μαθηματικών για 2300 χρόνια, και μέχρι τον 19^ο αιώνα την μοναδική, μαθηματικά τεκμηριωμένη θεωρία της Γεωμετρίας. Τα στοιχεία δομούνται πάνω σε 5 αξιώματα, με βάση τα οποία αποδεικνύει όλα τα θεωρήματα που επακολουθούν. Μόλις τον 19^ο αιώνα οι Riemann και Lobatchevsky δημιούργησαν εναλλακτικές γεωμετρικές θεωρίες, τις οποίες ονόμασαν αντίστοιχα «ελλειπτική» και «υπερβολική» στηριζόμενοι στο μη αποδείξιμο του 5^ου αξιώματος του Ευκλείδη. Συγκεκριμμένα το αξίωμα του Ευκλείδη δηλώνει ότι από σημείο εκτός ευθείας μόνο μια παράλληλος προς την ευθεία μπορεί να γραφεί, ενώ ο Lobatchevsky δέχεται ότι μπορούμε να γράψουμε περισσότερες παράλληλες, ενώ ο Riemann δέχεται ότι καμμιά παράλληλος προς ευθεία δεν γράφεται από σημείο εκτός ευθείας.  Η Ευκλείδιος Γεωμετρία, δεν ανήκει βέβαια , ως ανακάλυψη μόνο στον Ευκλείδη, ο οποίος όμως συστηματοποίησε το έργο των προηγούμενων Ελλήνων Μαθηματικών σε μια κομψή, λογικώς άρτια και θεμελιωμένη θεωρία.Αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα μνημεία, ως θεωρητική σύλληψη, του ανθρώπινου πολιτισμού. Όμως ο Ευκλείδης δεν ήταν ο μόνος αστέρας πρώτου μεγέθους του μαθηματικού στερεώματος της περιόδου αυτής.

       Ο μέγας Αρχιμήδης, έγραψε πέραν των 41 συγγραμμάτων από τα οποία λιγότερα των 20 διασώθηκαν. Σε αυτά φαίνεται όχι μόνο το θεωρητικό μαθηματικό του έργο, αλλά και οι σημαντικές πρακτικές εφαρμογές που ο σοφός συρακούσιος επέτυχε. Στα καθαρά θεωρητικά του έργα περιλαμβάνονται τα συγγράμματα «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Κύκλου Μέτρησις» «Περί του επταγώνου» «Βοεικόν Πρόβλημα» Περί των επιψαυόντων κύκλων» «αρχαί της γεωμετρίας» και άλλα που δεν σώθηκαν. Ο Αρχιμήδης προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, υπολόγισε προσεγγιστικά το π με βάση τις περιμέτρους των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών σχημάτων, υπολόγισε το εμβαδόν στερεών που παράγονται από την περιστροφή κωνικών τομών, χρησιμοποίησε δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις για υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνιας και του όγκου στερεών όπως της σφαίρας, του κυλίνδρου και του κώνου. Ο Συρακούσιος σοφός χρησιμοποιούσε μεθόδους που πλησιάζουν τον σύγχρονο απειροστικό λογισμό. Δεν ήταν βέβαια ο πρώτος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που έκανε αυτό το άλμα. Έχουμε ήδη αναφέρει τον Εύδοξο όμως ο συρακούσιος βελτίωσε περισσότερο τις σχετικές μεθόδους του Κνίδιου σοφού.

     Την ίδια περίοδο (3^ος – 1^ος αιώνας π.Χ. ) παρουσιάζονται και άλλες μαθηματικές ιδιοφυίες στον ελληνιστικό κόσμο. Η Σάμος γεννά τον Αρίσταρχο, ο οποίος πρώτος χρησιμοποίησε την τριγωνομετρία για να μετρήσει την απόσταση γης ήλιου. Η θεωρητική σύλληψη ήταν σωστή, όμως δεν μπορούσε να ξέρει τις γωνίες και έτσι η πρόβλεψη του δεν ήταν σωστή, αν συγκριθεί με όσα γνωρίζουμε σήμερα. Ο Σάμιος σοφός όμως πρώτος αυτός δημιούργησε την ηλιοκεντρική θεωρία. Όταν όλοι οι άλλοι έθεταν τη γη ως κέντρο του σύμπαντος, αυτός διείδε ότι ο πλανήτης μας περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο. 18 αιώνες πριν τον Κοπέρνικο, το ελληνικό πνεύμα είχε αυτή την τεράστια επιτυχία, η οποία ελάχιστα είναι γνωστή ακόμα και σήμερα. Ο Ερατοσθένης από την Κυρήνη της Βορείου Αφρικής, μελέτησε τους πρώτους αριθμούς τους οποίους προσδιόρισε με το περίφημο κόσκινο του. Ακόμα μέτρησε με σημαντική ακρίβεια το μήκος της περιφέρειας της γης στηριζόμενος στην μαθηματική θεωρία των ομοίων τριγώνων. Ο Απολλώνιος από την Παμφυλία έγραψε δεκάδες γεωμετρικά συγγράμματα, υποδιαιρούμενα σε επιμέρους βιβλία, από οποία σώθηκαν 4, και αποσπάσματα των υπολοίπων. Μελέτησε τους επίπεδους γεωμετρικούς τόπους και καθόρισε τον κύκλο που φέρει το όνομα του ( Απολλώνιος κύκλος ) .Η περιφέρεια αυτή αποτελεί τον γεωμετρικό τόπο των (μεταβλητών) σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από 2 άλλα σταθερά σημεία, έχουν σταθερό αμετάβλητο λόγο, διάφορο της μονάδας. Στο βιβλίο του «Περί νεύσεων» ο μέγας γεωμέτρης διαπραγματεύεται το εξής πρόβλημα:

«Δοθείσων γραμμών θέσει, θείναι μεταξύ τούτων ευθείαν τω μεγέθει δεδομένην νεύουσα επί δοθέν σημείων »

Στο σύγγραμμα του «Ωκυτόκιο» μελέτησε αλγόριθμους ταχύας εκτέλεσης πράξεων και έδωσε προσεγγίσεις του π. Στο έργο του σύγκριση (κανονικών) εικοσαέδρου και δωδεκαέδρου, απόδειξε ότι ο λόγος των όγκων των δύο στερεών, εγγεγραμμένων στην ίδια σφαίρα, ισούται με τον λόγο των επιφανειών τους. Ο σοφός γεωμέτρης έλυσε το δήλιο πρόβλημα αλλά και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αν και η δεύτερη λύση δεν διασώθηκε. Μνημονεύεται όμως από τον Ιάμβλιχο. Στο έργο του «Κωνικά», μνημείο της μαθηματικής επιστήμης καί ίσως η μεγαλύτερη πνευματική κληρονομιά που μας άφησε, αποτελούμενο από 8 βιβλία μελέτησε τις κωνικές τομές και τους έδωσε τα ονόματα με τα οποία είναι γνωστές μέχρι σήμερα δηλαδή έλλειψη, παραβολή και υπερβολή. Διατύπωσε πέραν των 200 θεωρημάτων, διατυπώνοντας ότι είχε να διατυπωθεί στον τομέα αυτό σχετικά με τις εξισώσεις κανονικές και παραμετρικές των κωνικών τομών. Έχει λεχθεί ότι οι αρχές της αναλυτικής γεωμετρίας διατυπώθηκαν τον 17^ο αιώνα από τον Καρτέσιο. Η αλήθεια είναι ότι ο Καρτέσιος στηρίχθηκε, μεταξύ άλλων στις εργασίες του Απολλώνιου για να διατυπώσει τις αρχές αυτές.

     Ο Απολλώνιος ασχολήθηκε επίσης με την αστρονομία, την μηχανική και την κατασκευή μουσικών οργάνων. Η παρουσίαση όμως αυτών των πτυχών του έργου του ξεφεύγει των σκοπών αυτής της μελέτης.

         Ο Ίππαρχος (190- 120 π.Χ) είναι ένας των μεγαλύτερων αστρονόμων της αρχαιότητας, χαρτογραφώντας τον ουρανό, γράφοντας καταλόγους των άστρων, μετρώντας τη διάρκεια του έτους και υπολογίζοντας το κοσμικό έτος των 25800 ετών που χρειάζεται ο άξονας της γης για να συμπληρώση την κίνηση του γύρω από το κέντρο της γης, κίνηση που είναι γνωστή ως «μετάπτωση των ισημεριών» Τα θαυμαστά αυτά κατορθώματα, που αποτελούν θεμελιώδεις γεωμετρικές γνώσεις ως σήμερα, ο Ίππαρχος στήριξε στις μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του. Αυτές είναι η χρήση των σφαιρικών συντεταγμένων, η επέκταση της τριγωνομετρίας στα καμπυλόγραμμα τρίγωνα της νοητής ουράνιας σφαίρας, η μέτρηση των γωνιών και των αποστάσεων στον ουρανό με τη διόπτρα και τον αστρολάβο κ.α. Όμως και την επίπεδο γεωμετρία εμελέτησε, υπολογίζοντας την πλευρά των κανονικών 9 γώνων και 12 γωνων συναρτήσει της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Δυστυχώς από τα δεκάδες συγγράμματα που έγραψε μόνο 2 έχουν σωθεί.

      Τελευταίος, αλλά όχι υποδεέστερος των άλλων μαθηματικών της αλεξανδρινής περιόδου ο Μενέλαος. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι η επέκταση της επίπεδης γεωμετρίας, στα καμπυλόγραμμα τρίγωνα. Το έργο του «σφαιρικά» ασχολείται με παρόμοια θέματα όπως τον Ίππαρχο. Πρώτος απέδειξε ότι το άθροισμα των γωνιών καμπυλόγραμμου τριγώνου που σχηματίζεται πάνω σε σφαιρική επιφάνια είναι μεγαλύτερο της πεπλατυσμένης γωνίας.

Η Ρωμαϊκή περίοδος των ελληνικών μαθηματικών έχει να παρουσιάσει εξαίρετους μαθηματικούς, που παρουσίασαν πρωτότυπο έργο, αλλά και σχολιαστές, που μελέτησαν κατέγραψαν και συστηματοποίησαν το έργο των συναδέλφων τους. Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός σίγουρα ανήκει στο πρώτο είδος. Είναι ένας από τους πλέον γνωστούς μηχανικούς της αρχαιότητας, ο εφευρέτης της ατμομηχανής, διαφόρων αυτομάτων αγαλμάτων και άλλων ποικίλων αξιοθαύμαστων μηχανών. Όμως ο Ήρωνας δεν ήταν μόνο μηχανικός αλλά και μεγάλος θεωρητικός των μαθηματικών. Στο έργο του διόπτρα παραθέτει τις αρχές της τοπογραφίας και αναδεικνύει, μέσω των προβλημάτων που παραθέτει τρόπους μέτρησης αποστάσεων στις 3 διαστάσεις και ουσιαστικά θεμελιώνει την χαρτογραφία.

         Στο έργο του «Μετρικά», αποτελούμενο από 3 βιβλία ασχολείται με τη γεωμετρία και τη στερεόμετρία. Υπολογίζει τα στοιχεία κανονικών εγγεγραμμένων σχημάτων και εμβαδά διαφόρων ευθυγράμμων σχημάτων. Διατυπώνει τύπους για εύρεση του όγκου κανονικών και μη κανονικών στερέων. Υπολογίζει το εμβαδόν τριγώνου με βάση την ημιπερίμετρο και τις πλευρές του με βάση τον τύπο Ετρ= √τ (τ-α) (τ-β) τ-γ) που φέρει το όνομα του. Στον τύπο αυτό τ είναι  το μήκος της  ημιπεριμέτρου, α, β, γ το μήκος των τριών πλευρών του τριγώνου.  Την δόξα για την ανακάλυψη του τύπου αυτού μοιράζεται ο Ήρωνας με τον Αρχιμήδη. Ο Ήρωνας ανέπτυξε μαθηματικούς τύπους που δίνουν, κατά προσέγγιση, τετραγωνικές και κυβικές ρίζες μη τετραγώνων ή κυβικών αντίστοιχα αριθμών.Έστω Α μη τετράγωνος αριθμός και α² ο πλησιέστερος τετράγωνος αριθμός ούτως ώστε Α= α² +β ( α, β θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Ο Ήρωνας διατύπωσε τον εξής τύπο, με βάση το σύγχρονο συμβολισμό των μαθηματικών, που δίνει την √Α

√Α= ¼ { (α²+Α) ² + 4α²Α } / {α (α² + Α ) }

Ο τύπος αυτός δίνει μια ικανοποιητική προσέγγιση της √Α όμως ο Ήρωνας μπορούσε να επεκτείνει τον τύπο αυτό, με δοσμένη μεθοδολογία, για να βρει όσο καλύτερες προσεγγίσεις ήθελε. Ανάλογο τύπο διατύπωσε και για τον υπολογισμό των κυβικών ριζών, τον οποίο όμως δεν θα παραθέσω για να μην επεκταθεί υπέρ το δέον το εισαγωγικό μας κεφάλαιο. Γεγονός πάντος παραμένει ότι ο Αλεξανδρινός σοφός συνδύαζε τη θεωρητική γνώση των μαθηματικών με τις πρακτικές εφαρμογές τους, αυτό δε ήταν το μέγιστο πλεονέκτημα του μεγάλου διανοητή.

        Τον 2^ο αιώνα μ.Χ. στο στερέωμα των ελληνικών μαθηματικών λάμπει το περίλαμπρο άστρο του Κλαύδιου Πτολεμαίου, ο οποίος έμεινε γνωστός ως αστρονόμος κυρίως και δευτερευόντος ως μαθηματικός. Το σύγγραμμα του «Μαθηματική Σύνταξη» αποτελούμενο από 13 βιβλία απετέλεσε την «Αγία Γραφή» της αστρονομίας μέχρι την αναγέννηση. Σε αυτό εξηγεί με μαθηματικό τρόπο, τη διάρκεια του έτους, τις φάσεις της σελήνης, το φαινόμενο της έκλειψης ήλιου και σελήνης , την τροχιά των γνωστών πλανητών. Το λάθος του Πτολεμαίου ήταν ότι, σε αντίθεση με τον Αρίσταρχο, δημιούργησε ένα γεωκεντρικό και όχι ηλιοκεντρικό σύστημα, μαθηματικά άψογο που όμως δεν αναπαραστούσε την πραγματικότητα. Στο κέντρο του σύμπαντος έθεσε την γη. Δημιούργησε κατόπιν ομόκεντρους κύκλους γύρω από αυτήν. Στις περιφέρειες των κύκλων έθεσε το κέντρο της τροχιάς του ήλιου και των πλανητών, τοποθετώντας κάθε ουράνιο σώμα σε διαφορετική περιφέρεια.Το κέντρο των τροχιών των ουρανίων σωμάτων κινείται επί της αντίστοιχης περιφέρειας, τα ίδια δε τα σώματα αυτά κινούνται επί κυκλικών τροχιών γύρω από τις περιφέρειες. Τις τροχιές αυτές ονόμασε επίκυκλους.

       Ο Πτολεμαίος ήταν γνώστης της τριγωνομετρίας, είχε δε δημιουργήσει πίνακες με τριγωνομετρικούς αριθμούς τους οποίους χρησιμοποιούσε στην αστρονομία. Γνώριζε την έννοια των ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων, παρόλο που χρησιμοποιούσε διαφορετικά ονόματα. Οι ακόλουθοι τύποι, με τη σημερινή τους μορφή, του ήταν επίσης γνωστοί:

Ημ2χ = 2 ημχσυνχ ,    ημ(χ±ψ)= ημχσυνψ±ημψσυνχ,

συν(χ±ψ)= συνχσυνψ±ημχημψ     συν 2χ = 1 – 2ημ²Χ .

 Με αυτούς ήξερε να βρίσκει τριγωνομετρικούς αριθμούς, πολλαπλασίων και υποδιαιρέσεων γωνιών, από τις 0 μέχρι τις 180 μοίρες για αστρονομικές εφαρμογές. Μελέτησε και τα κανονικά εγγεγραμμένα σχήματα, ιδίως το πεντάγωνο και το δεκάγωνο και υπολόγισε με ακρίβεια το μέγεθος των πλευρών και των γωνιών τους. Έγραψε και πρωτότυπα γεωγραφικά έργα, το περιεχόμενο των οποίων ξεφεύγει των σκοπών της μελέτης αυτής.

      Πριν τα σκοτάδια του μεσαίωνα κατακτήσουν το πνευματικό στερέωμα, ακόμα δύο ήλιοι πρώτου μεγέθους έλαμψαν στον ελληνικό μαθηματικό ουρανό. Ο Πάππος από την Αλεξάντρεια, συνόψισε και συμπλήρωσε το έργο των παλαιότερων μαθηματικών, στο οκτάτομο σύγγραμμα του «Μαθηματική Συναγωγή. Ασχολήθηκε με τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, παρουσιάζοντας τις λύσεις που δόθηκαν στο παρελθόν καθώς και τις δικές του προσεγγίσεις, ιδίως στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Μελέτησε τις ιδιότητες των ισοπεριμετρικών σχημάτων και απέδειξε ότι ανάμεσα στα ισομετρικά επίπεδα σχήματα, το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει ο κύκλος. Διατύπωσε και απέδειξε ότι αν περιστρέψουμε επιφάνια γύρω από άξονα παράγεται όγκος ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνιας επί την απόσταση που διανύει το κέντρο βάρους της επιφάνιας κατά την περιστροφή του. Το θεώρημα αυτό επαναδιατύπωσε με βάση τον σύγχρονο μαθηματικό συμβολισμό ο μαθηματικός Gulding. Ο Πάππος έγραψε και άλλα έργα, αποσπάσματα των οποίων διασώθηκαν μέσω των αραβικών μεταφράσεων τους. Με βάση αυτά, συμπεραίνουμε ότι ο Αλεξανδρινός μαθηματικός δεν ασχολήθηκε μόνο με την γεωμετρία αλλά και με την αριθμητική. Συγκεκριμμένα μελέτησε τις ιδιότητες των άρρητων αριθμών συμπληρώνοντας σε κάποια σημεία ανάλογες προτάσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη.

      Αν ο Ηρόδοτος μπορεί να ονομαστεί πατέρας της Ιστορίας, ο Διόφαντος άνετα θα μπορούσε να λάβει τον τίτλο του πατέρα της θεωρητικής αριθμητικής (άλγεβρας) Στο σύγγραμμα του «Αριθμητικά» αποτελούμενο από 13 βιβλία, παρουσιάζει και λύνει προβλήματα με εξισώσεις και συστήματα. Πρώτος διερεύνησε τη λύση εξισώσεων 1^ου βαθμού της μορφής αχ+βψ=γ , προσδιόρισε τις ακέραιες και όχι μόνο λύσεις της, έλυσε συστήματα με τη χρήση παραμέτρων. Ακόμη και σήμερα η επίλυση εξίσωσης με περισσότερους του ενός αγνώστου και ο προσδιορισμός των ακεραίων λύσεων της καλείται «διοφαντική ανάλυση. Η εύρεση των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης β΄ βαθμού  χ² + ψ² = ζ² πραγματοποιήθηκε από το Διόφαντο με τη χρήση της ταυτότητας

(2αβ) ²+ (α² - β²)² = ( α² + β² ) ²

Με αυτήν ο μέγας αλεξανδρινός μαθηματικός προσδιόρισε, με την χρήση των παραμέτρων α, β πίνακες ακεραίων λύσεων του πυθαγόρειου θεωρήματος. Ο Διόφαντος ήξερε τους κανόνες πολλαπλασιασμού των θετικών και των αρνητικών αριθμών. Εκφράζει το θετικό γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών με την εξής φράση που διασώθηκε στα αριθμητικά του:

« Λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξιν»

Πέραν των εξισώσεων ο Διόφαντος διερεύνησε ανισώσεις 1^ου και 2^ου βαθμού. Σήμερα, διασώζονται λιγότερα των μισών από τα βιβλία των «Αριθμητικών». Είχε άραγε ασχοληθεί ο μέγας μαθηματικός με πολυωνυμικές εκφράσεις βαθμού ανωτέρου του δευτέρου; Ίσως το μάθουμε κάποτε με την ανακάλυψη κάποιου ξεχασμένου παπύρου. Μετά την επικράτηση του χριστιανισμού το έργο του Διόφαντου πήραν οι Άραβες, το μετέφρασαν στην γλώσσα τους και αλλάζοντας μόνο το συμβολισμό, διαμόρφωσαν την άλγεβρα με τη σημερινή της μορφή. Όμως η θεωρητική αριθμητική, γιατί αυτό είναι το ελληνικό όνομα της άλγεβρας δεν γεννήθηκε στην Αραβία. Είναι δημιούργημα των ελλήνων μαθηματικών της Αιγύπτου, από την Αλεξανδρινή περίοδο, μέχρι περίπου το 300 μ.Χ.

      Μετά τον Διόφαντο και τον Πάππο, δεν έχουμε άλλους Έλληνες Μαθηματικούς με πρωτότυπο μαθηματικό έργο. Έχουμε όμως ικανούς μελετητές και γνώστες, που στα συγγράμματα τους αναδεικνύουν ότι ήδη έχει επιτευχθεί.Έτσι ο Σερήνος τον 4^ο αιώνα μ.Χ. σχολιάζει στα συγγράμματα του τον Απολλώνιο και τις κωνικές τομές, ο Θέωνας από την Αλεξάνδρεια και η κόρη του η Υπατία, η οποία σφαγιάστηκε από τους οπαδούς του Κύριλλου Αλεξαντρείας επειδή ήταν εθνική, παρουσιάζουν στα κείμενα τους το έργο των Ευκλείδη, Πτολεμαίου, Απολλώνιου και Διόφαντου.Τον 5^ο αιώνα τέλος ο Πρόκλος, ένας από τους τελευταίους σχολάρχες της Πλατωνικής Ακαδημίας γράφει σχόλια και επεκτάσεις στα στοιχεία του Ευκλείδη.Από τα αποσπάσματα που σώθηκαν διαφαίνεται η ουσιαστική του γνώση της επιστήμης των αριθμών.Παρόμοιο έργο καθώς και τη βιογραφία του προκατόχου του στην Ακαδημία, έγραψε και ο διάδοχος του στον οίκο του Πλάτωνα Μαρίνος.Αλίμονο όμως! Οι μέρες της Ακαδήμιας και των αρχαίων μαθηματικών ήταν μετρημένες. Ο κυρίαρχος από δύο αιώνες χριστιανισμός δεν συμπαθεί τα μαθηματικά και αυτή είναι η επιεικέστερη έκφραση που θα μπορούσα να βρώ. Ο Μεσαίωνας βυθίζει την επιστήμη των αριθμών σε ένα χιλιόχρονο λήθαργο, μέχρι την αναγέννηση που σηματοδοτεί την ανάσταση τους.

Λόγοι του Ηράκλειτου Μέρος Δ

6)ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, Μετεωρολογικά Β2 355^α  13

« Ο ήλιος... είναι νέος κάθε μέρα »

Υπάρχει η αέναη και μονόδρομη ροή του χρόνου. Κανένας δεν μπορεί να γυρίσει στο παρελθόν και να ξαναζήσει ένα γεγονός για δεύτερη φορά. Ο χρόνος είναι το μέτρο της κίνησης. Χωρίς κίνηση δεν υπάρχει χρόνος.Το σύμπαν κινήται. Κινούνται τόσο τα μέρη όσο και το σύνολο. Είμαστε μέρος του όλου, μετέχουμε της κίνησης. Οστόσο ο Λόγος*, ο Συμπαντικός νους είναι ακίνητος διότι βιώνει την αιωνιότητα, όλες τις στιγμές ως ένα αιώνιο παρόν.

Κάθε καινούρια μέρα , κάθε νέα στιγμή μπορεί να ειδωθεί σαν μια καινούρια αρχή, ένα νέο μονοπάτι που οδηγεί στην γνώση. Τίποτε δεν είναι στατικό, όλα μεταβάλλονται και οστόσο όλα μένουν , σε ένα βαθύτερο επίπεδο αμετάβλητα παρά την μεταβολή τους. Κάθε μέρα γεννιέται ένας νέος ήλιος , που μεταβάλλεται από στιγμή σε στιγμή μέσα από τις θερμοπυρηνικές του αντιδράσεις. Ο ήλιος της σημερινής μέρας δεν είναι ο ίδιος με αυτόν της χθεσινής ούτε θα είναι ο ίδιος με αυτό της αυριανής. Καθώς περνά ο χρόνος, όλο και μεγαλύτερο μέρος του υδρογόνου του μεταστοιχειώνεται σε ήλιο, απελευθερώνοντας τεράστιες ποσότητες ενέργειας, μέρος της οποίας ζωογονεί τη γή. Όστοσο υπάρχει η διαχρονική συνέχεια της πορείας κάθε άστρου μέσα στο σύμπαν. Από την γέννηση του ως το θάνατο, ο ήλιος είναι ένα άστρο σε συνεχή μεταβολή. Η συνέχεια αυτή , δείχνει ότι παρά την μεταβολή είναι το ίδιο πράγμα σε ένα βαθύτερο επίπεδο.

     Η μεταβολή βρίσκεται και στο ανθρώπινο επίπεδο. Ένα δεκάχρονο παιδί μεταβάλλεται σταδιακά. Σε εξήντα χρόνια θα είναι γέρος. Σε βαθύτερο επίπεδο όμως είναι το ίδιο άτομο.

     Η ρόη του ποταμού συμβολίζει την αέναη, μονόδρομη κίνηση του χωροχρόνου από το παρελθόν προς το μέλλον. Η κίνηση αυτή δεν μπορεί να σταματήσει ούτε να αντιστραφεί. Αυτό γιατί υπακούει στο φυσικό νόμο. Η σύγχρονη φυσική ορίζει ότι η εντροπία ενός συστήματος αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, οδηγώντας το στην μέγιστη δυνατή αταξία. Γιαυτό δεν μπορεί να αντιστραφεί το βέλος της πορείας του χρόνου. Κάθε μέρα στον ποταμό κυλούν διαφορετικά νερά. Οστόσο, όμως είναι η ίδια κοίτη που οριοθετεί το ρεύμα του ύδατος.Ο Ηράκλειτος διαισθητικά προσεγγίζει την αλήθεια, ότι τα πάντα ταυτόχρονα μεταβάλλονται και οστόσο παραμένουν τα ίδια. Ακούγεται παράξενο και αντιφατικό, αφού κάθετι είναι και δεν είναι αμετάβλητο.

*

Λόγος: ενιαία κοσμοθεωρία, ο βασικός νόμος που προσδιορίζει την υλοποίηση και την ροή του σύμπαντος.

Ο ΛΟΓΟΣ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟ
ΑΠΟΦΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ( ΤΙ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ )	ΘΕΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ
1) ΘΕΟΣ 2) ΜΟΝΟ ΦΥΣΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ 3) ΕΝΑ ΥΛΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 4) ΜΙΑ ΙΔΙΟΤΗΤΑ 5) ΕΝΑ ΠΝΕΥΜΑ , ΜΙΑ ΑΥΛΗ ΟΝΤΟΤΗΤΑ 6) ΝΟΥΣ 7) ΦΩΤΙΑ ΚΕΝΟ	ΕΝΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΠΕΔΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ ΑΙΩΝΙΟΤΗΤΑ (ΑΘΑΝΑΣΙΑ) ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΣΚΕΨΗ ΚΥΒΕΡΝΗΣΗ ΚΑΘΟΔΗΓΗΣΗ ΡΟΗ ΧΩΡΟΧΡΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΑΡΜΟΝΙΑ

Πίστευε ο Ηράκλειτος ότι ο ήλιος άναβε την ημέρα και έσβηνε τη νύκτα; Πιστεύω ότι η αναφορά είναι συμβολική. Ο αιώνιος ημερονύκτιος κύκλος πρέπει να κρύβεται πίσω από το συμβολισμό. Μέρα και νύκτα, φως και σκοτάδι , ήλιος και μη ήλιος , αντίθεση και βαθύτερη ενότητα των αντιθέτων.

Φύση: Όλα τα μη ανθρώπινα.

Φυσικοί φιλόσοφοι: Πρώτοι ξεπέρασαν την μυθική θρησκευτική ερμηνεία του κόσμου και έθεσαν τις βάσεις της Φυσικής Επιστήμης. ( Θαλής, Αναξίμανδρος, Αναξιμένης )

 Ηράκλειτος: Τα ανθρώπινα όντα είναι εκδηλώσεις των φυσικών διαδικασιών , που εμπεριέχουν τον Λόγο

36) Κλήμης, Στρωματείς VΙ 16

«Για τις ψυχές είναι θάνατος να γίνονται νερό, για το νερό είναι θάνατος να γίνεται γη. Από τη γη γίνεται το νερό και από το νερό η ψυχή »

και

118) Στοβαίος, Ανθολόγιον Ι  17

«Η ξηρή ψυχή είναι η σοφότερη και η καλύτερη »

και

117) Στοβαίος, Ανθολόγιον V  7

« Ο μεθυσμένος οδηγείται από ένα αμούστακο παιδί, παραπατώντας και μη ξέροντας πού πηγαίνει, με τη ψυχή του υγρή »

Συμβολική πορεία ελευθερίας, πνευματικής ανύψωσης και τελειοποίησης. Από το ανώτερο επίπεδο ( ψυχή ) πέφτουμε στο υγρό και ακόμα πιο κάτω στο γήινο επίπεδο. Ότι όμως κατεβαίνει δυνητικά μπορεί να ανεβεί. Αντιστρέφοντας τα προηγούμενα φτάνουμε ξανά στη ξηρή ψυχή, που κατά τον Ηράκλειτο αντιπροσωπεύει το ψηλότερο επίπεδο τελείωσης. Καταλύτης αλλαγής η φωτιά. Με την θερμότητα της σε φυσικό επίπεδο μπορούμε , με την εξάχνωση να διώξουμε την υγρασία και να κάνουμε ένα σώμα πιο ξήρο.Σε πνευματικό επίπεδο, η φωτιά , ο πυρφόρος λόγος, οδηγεί στην συμπαντική σοφία. Ο άνθρωπος που ξηραίνει τη ψυχή του μεταφέρεται από την ιδιωτική αντίληψη, στη γνώση.

Ομοιότητα ανάμεσα στις διδαχές του Ηράκλειτου και του Ερμή του Τρισμέγιστου. Ο Ηράκλειτος δεν θεωρεί την φύση ψευδαίσθηση, αλλά ζωντανή ένθεη ουσία, που μπορεί μέσω της μεταστοιχείωσης να οδηγήσει στην τελείωση. Παράβαλε : Η φιλοσοφική λίθος των αλχημιστών. Η τελευταία, σε φυσικό επίπεδο, μπορούσε να μεταστοιχειώσει τα αγενή μέταλλα σε χρυσό. Σε ανθρώπινο επίπεδο η μεταστοιχείωση, ισοδυναμή με την μεταμόρφωση του αδαούς σε μύστη. Είναι η πορεία από την άγνοια προς τη γνώση.

Η πορεία της ψυχής προς την τελείωση: Από την υγρή κατάσταση, που συμβολίζει την ατέλεια , διαμέσου της εκπύρωσης , που συμβολίζει την πορεία προς τη γνώση, φθάνει στην ξηρή κατάσταση που συμβολίζει την ωριμότητα και τη σοφία. Η ζεστή και ξηρή ψυχή είναι ευφυής και σοφή.

      Ο μεθυσμένος αντιπαράδειγμα σοφίας. Κατά τη διάρκεια της μέθης υγρασία έχει καταλάβει τη ψυχή του ανθρώπου, τόσο κυριολεκτικά όσο και συμβολικά. Όταν απελευθερωθεί από την επίδραση του αλκοόλ η ψυχή του θα είναι σοφότερη. Η αντίληψη του για την πραγματικότητα συγκεχυμένη. Η μέθη οδηγεί στην άγνοια. Όπως ένας μεθυσμένος παραπατά και δεν έχει σαφή αντίληψη του περιβάλλοντος κόσμου, έτσι και οι άνθρωποι που αγνοούν την συμπαντική σοφία είναι σαν χαμένοι στις παραισθήσεις τους.  Αν δεν ψηθεί στο καμίνι της αναζήτησης του Λόγου, αν δεν αποβάλει την υγρασία, θα μείνει στην απομόνωση του ιδιωτικού του κόσμου. Ο ύπνος και η μέθη, συμβολίζουν την υποχώρηση του λογικού κόσμου, και την κυριαρχία του ασυνείδητου. Το ίδιο θα μπορούσε να λεχθεί και για το θάνατο. (αποσπ. 36 ) Ο μύθος της Δήμητρας που  ψήνει στη φωτιά τον πρίγκηπα Δημοφώντα για να τον κάνει αθάνατο, αν ειδωθεί σε συμβολικό επίπεδο, φανερώνει την μύηση στην πραγματική γνώση και σοφία. Η θεά για να κάνει τη ψυχή του ξηρή, τον υποβάλλει σταδιακά σε επαφή με το έλλογο πύρ. Αυτό θα αποβάλει την υγρασία, θα οδηγήσει τον πρίγκιπα στην αληθινή σοφία.

       Στον υλικό κόσμο, αν δεκτούμε ότι η ψυχή συμβολίζει την αέρια κατάσταση, τότε η υγρή και η στερεά κατάσταση είναι διαδοχικές καταστάσεις χαμηλότερης ενέργειας και μεγαλύτερης ζεύξης μεταξύ των μορίων. Ο θάνατος, σε υλικό επίπεδο, συμβολίζει την πτώση σε καταστάσεις χαμηλότερης ενέργειας. Ο καταλύτης της μεταβολής κατάστασης είναι το πύρ , δηλαδή η ενέργεια που προστιθέμενη ή αφαιρούμενη στις κατάλληλες για κάθε υλικό ποσότητες, μπορεί να μεταβάλει την κατάσταση του.

      Η ξηρή, διάπυρη ψυχή κατά τον Ηράκλειτο είναι σοφότατη και άριστη.  Όταν γίνεται υγρή πεθαίνει, όμως δεν εξαφανίζεται. Στο κόσμο της ατέλειωτης αλλαγής του Εφέσιου σοφού δεν υπάρχει τέλος. Ο θάνατος σημαίνει χάσιμο ενέργειας, όμως αυτό δεν αποκλείει την αντίστροφη πορεία, αφού ανήφορος και κατήφορος είναι το ίδιο πράγμα. Συζητήσιμο είναι πάντως αν επιβιώνει η ανθρώπινη ατομικότητα, ή η συμπαντική ολότητα. Μάλλον το δεύτερο, χωρίς να αποκλείουμε το πρώτο, που δεν υποστηρίζεται επαρκώς από τα λίγα αποσπάσματα που έχουν διασωθεί.  

96) Πλούταρχος, Συμποσιακών προβλημάτων IV 4, 3, 669^α

«Τα πτώματα των νεκρών πιο πολύ κι από τις κοπριές πρέπει να τα  πετάξει κανείς».

Ότι έχει κάνει τον κύκλο του και έχει ξεπεραστεί πρέπει να το αφήνει κανείς πίσω. Εμμονή σε ξεπερασμένες καταστάσεις απλώς ανακυκλώνει τα αδιέξοδα. Το παρελθόν δεν επανέρχεται. Δεν πρέπει να προσκολούμαστε σε αυτό αλλά να προχωρούμε στο μέλλον.

Εφόσον η διδασκαλία του Ηράκλειτου είναι η συνεχής κίνηση, είναι φυσικό να απεχθάνεται τους νεκρούς, η ακινησία των οποίων φαίνεται να αντικρούει τη διδαχή του. Η ακινησία του νεκρού,  συμβολίζει σε φυσικό επίπεδο τη στατικότητα, σε πνευματικό τη στειρότητα, την εμμονή σε αμετάβλητα δόγματα, σε ίδεες αποστεωμένες και όμως κατεστημένες επειδή εξυπηρετούν συμφέροντα ισχυρών κύκλων. Όπου όμως επικρατεί ο δογματισμός τότε έρχεται ο μεσαίωνας, δηλαδή ο θάνατος του πολιτισμού, το τέλμα. Η πνευματική και πολιτιστική ανάπτυξη χρειάζεται σύγκριση και σύγκρουση ιδεών, ανταλλαγή και κίνηση σκέψεων , πορεία και αναζήτηση της αλήθειας και της γνώσης. Ο πόλεμος, δηλαδή η γόνιμη σύγκρουση των αντιθέτων, είναι πατήρ και του πολιτισμού. Ας διώξουμε μακριά το δογματισμό και τη στατικότητα. Είναι τόσο βλαβερά για την υγεία μας όσο και τα άθαφτα σώματα των νεκρών.

Το απόσπασμα, αν ειδωθεί από την προοπτική της ορφικής διδασκαλίας, που είναι δυιστική, δείχνει την περιφρόνηση του υλικού σώματος το οποίο θεωρείται ευτελές. Η φυλακή της ψυχής, η φθαρτή σάρκα, δεν δικαιούται καμμιάς ταφικής τιμής. Η αποσύνθεση της προκαλεί αηδία. Ο θάνατος του σώματος θεωρείται από τους ορφικούς ως αναγέννηση της ψυχής που ελεύθερη από την φυλακή της επιστρέφει στην φυσική της κατάσταση. Κατ’ αντιστοιχία η γέννηση του σώματος είναι προσωρινός θάνατος και υποβιβασμός της ψυχής που εγκλείεται στο χονδροειδές υλικό σώμα. Ας πετάξουμε μακριά την κατεστραμμένη υλική φυλακή της ψυχής, αφήνοντας την τελευταία ελεύθερη στη φυσική της κατάσταση.

33)Κλήμης, Στρωματείς V 116

«Νόμος είναι και το ν’ ακολουθεί κανείς τη γνώμη του ενός»

και

49)Γαληνός, περί διαγνώσεως σφυγμών VIII 777

«Για μένα ο ένας ισοδυναμεί με χιλιάδες, αν είναι άριστος.»

Το «και» προσδιορίζει ότι δεν είναι μόνο αυτό ο Νόμος. Ο Ηράκλειτος, υποστηρίζει την ηγεμονία του ενός, αν και όταν αυτός είναι προικισμένος με την ανάλογη σοφία. Σε αυτή την περίπτωση, ο σοφός ισοδυναμεί με χιλιάδες απλούς ανθρώπους, αφού οι τελευταίοι στηρίζονται στην καθοδήγηση και τη σοφία του ηγέτη για να επιβιώσουν. Ο λαός υπογράφει  Κοινωνικό συμβόλαιο.Τα άτομα εκχωρούν μέρος των ελευθεριών τους για να λειτουργήσει η κοινωνία. Οι νομοθέτες και άρχοντες πρέπει να είναι φιλόσοφοι. Οι νόμοι θα πρέπει να σέβονται την ανθρώπινη ελευθερία. Σκοπός τους η υποβοήθηση των πολιτών να φτάσουν στην αυτογνωσία. Το νομικό σύστημα πρέπει να είναι ακριβοδίκαιο. Θα πρέπει να βασίζεται στην αρχή της αρμονίας των αντιθέτων τάσεων.

      Ο Ηράκλειτος δεν νομοθέτησε για τους συμπολίτες του. Προσπάθησε να φτάσει στην αυτοπραγμάτωση σε ατομικό επίπεδο. Θεώρησε πιο σημαντικό για τον ίδιο να αφιερωθεί στην προσωπική του ολοκλήρωση παρά να ασχοληθεί με τα κοινά. Ίσως να θεωρούσε το πρώτο προϋπόθεση για το δεύτερο. Στην συγκεκριμμένη στιγμή, δεν κατείχε την γνώση και τον συμπαντικό Νόμο, άρα ήταν ανέτοιμος να νομοθετήσει για τους συμπολίτες του

Η φιλοσοφία του Ηράκλειτου υπάρχει στους τραγικούς και συνδέεται με τις απόψεις του περί σωστής διακυβέρνησης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα η Αντιγόνη του Σοφοκλή. Στην τραγωδία αυτή βλέπουμε την αντίθεση μεταξύ των πανανθρωπίνων νόμων και αξιών που εκπροσωπεί η Αντιγόνη  και του νόμου του Κρέοντα που υποκρύπτει πολιτική σκοπιμότητα. Σύγκρουση μεταξύ του διαχρονικού  και του εφήμερου , του συνολικού με το μερικό, του προσωπικού συμφέροντος του ενός (Κρέοντα ) με την ηθική τάξη της κοινωνίας.

      Είναι φανερό ότι ο νόμος της αρμονίας των αντιθέτων τάσεων ( αρμονική αντίθεση ) υπάρχει στις τραγωδίες του Ευριπίδη. Παραδείγματα αρμονικής αντίθεσης:Πενθέας – Διόνυσος , Ιππόλυτος και Φαίδρα κλπ. Η σύγκρουση εκτονωνόταν με την τελική κάθαρση που έφερνε την αρμονία ( ανακούφιση )

Ο Ηράκλειτος δεν φταίει αν οι ολιγαρχικοί χρησιμοποίησαν τα αποσπάσματα του για να στηρίξουν απολυταρχικά καθεστώτα. Ο Εφέσιος φιλόσοφος θέτει σαφείς προϋποθέσεις σοφίας, για τους ηγεμόνες που οι τύρρανοι και οι δικτάτορες όλων των εποχών συνήθως δεν έχουν. Οι τελευταίοι, συνήθως καταλαμβάνουν την εξουσία βίαια, και όχι με κοινή συναίνεση. Επιπλέον εξυπηρετούν τα στενά συμφέροντα τους, παραγνωρίζοντας τα συμφέροντα του λαού τους.

62) Ιππόλυτος ,Έλεγχος ΙΧ 10

«Αθάνατοι θνητοί, θνητοί αθάνατοι, ζώντας αυτοί το θάνατο εκείνων και πεθαίνοντας εκείνοι τη ζωή των άλλων.»

Η ζωή και ο θάνατος είναι ένας κύκλος , μια ενότητα , μια αιώνια κυκλική διαπάλη. Πως μπορεί ο Ηράκλειτος να αναφέρεται σε αθάνατους θνητούς; Τι δε σημαίνει η έκφραση θνητοί αθάνατοι; Μήπως πεθαίνουν οι θεοί; Με βάση την ορφική και την πυθαγόρεια θεωρία, η γήινη ζωή , είναι θάνατος για την αθάνατη ψυχή, επειδή αυτή υποχρεώνεται να ζήσει φυλακισμένη στο θνητό σώμα. Το σώμα κατά κάποιο τρόπο είναι ο τάφος της ψυχής. Ο άνθρωπος – ψυχή είναι θνητός θεός, προσωρινά φυλακισμένος στο σάρκινο σώμα. Ο άνθρωπος που πεθαίνει είναι αθάνατος θνητός, γιατί περιέχει μέσα στην ίδια την οντότητα την φθορά και την αφθαρσία. Η φθορά είναι το σώμα που αποσυντίθεται, η αφθαρσία είναι η  ψυχή, που επιτέλους απελευθερώνεται από το σάρκινο περίβλημα. Η ανθρώπινη οντότητα περιέχει μέσα της την αντίθεση ζωής και θανάτου.

Ο άνθρωπος, αν και θνητός εμπεριέχει την δυνατότητα να γίνει θεός. Υπό αυτή την έννοια οι μύστες, που κατορθώνουν να ενωθούν με το Λόγο, γίνονται αθάνατοι θνητοί, θεάνθρωποι. Από την άλλη η αναφορά σε θνητούς αθάνατους, δηλαδή σε θεούς που πεθαίνουν θυμίζει τον Διόνυσο. Ο θεός αυτός πέθανε και αναστήθηκε. Η ίδια η φύση, με τον αέναο κύκλο των εποχών, είναι μια ατέλειωτη επανάληψη ζωής και θανάτου.

Τολμώντας μια επέκταση, βασιζόμενη στον νόμο της ταύτισης των αντιθέτων, λέγω ότι άνθρωπος και θεός , θνητός και αθάνατος είναι οι δύο όψεις του ιδίου πράγματος. Ούτε θεός νοείται χωρίς τον άνθρωπο, ούτε άνθρωπος χωρίς τον θεό.Όλες οι θρησκείες που αναφέρονται σε δημιουργία των ανθρώπων από τους Θεούς, δεν εξηγούν γιατί οι Θεοί δημιουργούν τους ανθρώπους. Μήπως γιατί αισθάνονται υπαρξιακή μοναξιά χωρίς αυτούς; Από την άλλη ένας Θεός έχει υπόσταση, όσο υπάρχουν άνθρωποι που  πιστεύουν στην ύπαρξη τους. Η αθανασία ορίζεται ως το αντίθετο της θνήτοτητας και αντίστροφα. Η ανθρωπ’οτητα  και η Θεότητα σαν δύο ξεχωριστές όψεις της ίδιας εικόνας.

119) Στοβαίος, Ανθολόγιον IV   40,  23 

«Το ήθος για τον άνθρωπο είναι ο προστάτης θεός του»

Ο χαρακτήρας του ανθρώπου καθορίζει τη μοίρα του.Ο χαρακτήρας του ανθρώπου καθορίζεται από τον εσωτερικό του «δαίμονα » μια τάση που έχει μέσα του και σε σημαντικό βαθμό καθορίζει τη μοίρα του. Μπορεί ο άνθρωπος να αλλάξει τη μοίρα του ή ισχύει το «Αμαρτίες γονέων παιδεύουσι τέκνα; », Αν πιστέψουμε το παράδειγμα του Οιδίποδα, είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να ξεπεράσουμε το πεπρωμένο μας.          Αυτή η απαισιόδοξη άποψη όμως δεν πρέπει να είναι σωστή. Η μοιρολατρία ως φιλοσοφία είναι απαράδεκτη.Ο χαρακτήρας μας προσδιορίζει τη μοίρα μας. Η πραγματική ανθρώπινη φύση είναι η μοίρα μας. Αν μπορούμε με τη γνώση να τη αλλάξουμε, αλλάζουμε και τη μοίρα μας.

      Οι αρχαίοι πίστευαν, ότι ο δαίμων ήταν το προσωπικό πνεύμα, κάτι σαν φύλακας άγγελος, που πρόσεχε ένα άνθρωπο. Αν το πνεύμα ήταν καλό τότε εξασφάλιζε την ευτυχία στον προστατευόμενο άνθρωπο, εξού και η ευτυχία λεγόταν ευδαιμονία.Επεκτείνοντας την πιο πάνω δοξασία, ο Ηράκλειτος ταυτίζει το ήθος και το χαρακτήρα ενός  ανθρώπου, με τον προστάτη θεό του. Ένας ηθικός, νοήμων , σόφος άνθρωπος, που μετέχει του συμπαντικού λόγου, έχει εξασφαλίσει την προσωπική του ευδαιμονία. Η σοφή  ψυχή του, τον οδηγεί στον σωστό δρόμο. Το αντίθετο μπορεί να λεχθεί  για τον άσοφο άνθρωπο. Η προσωπική μιζέρια της ψυχής του καθορίζει την μοίρα του, οδηγώντας τον στην κακοδαιμονία.

      Πως θα αλλάξουμε τη μοίρα μας και τη ζωή μας;  Αλλάζοντας τον τρόπο που βλέπουμε τη ζωή. Επαναπροσδιορίζοντας οι ίδιοι τα όρια των δυνατοτήτων μας. Διατηρώντας μέσα μας την ελπίδα για πράγματα που φαίνονται ανέλπιστα. Όποιος δεν ελπίζει δεν πρόκειται να βρει το ανέλπιστο μας λέει ο  Ηράκλειτος.

      Το πιο σπουδαίο μυστικό που λίγοι το ξέρουν, είναι ότι τα πάντα αρχίζουν και τελειώνουν μέσα στο κεφάλι μας. Μπορεί σίγουρα να χάσουμε μια ή περισσότερες μάχες. Τον πόλεμο όμως θα τον χάσουμε μόνο αν συνθηκολογήσουμε. Αν παραδεκτούμε μόνοι μας ήττα. Αν έχουμε υπομονή , επιμονή και χρησιμοποιούμε το μυαλό μας συνεχώς για να πετύχουμε τους στόχους μας τότε σίγουρα η μοίρα μας θα είναι καλύτερη. Ακόμα και όταν όλα φαίνονται χαμένα, υπάρχει ελπίδα αν συνεχίσουμε την προσπάθεια. Μην ξεχνάτε ότι το πιο βαθύ σκοτάδι είναι λίγο πριν την αυγή.

78) Ωριγένης, Κατά Κέλσου VI  12

« η ανθρώπινη φύση δεν κατέχει την γνώση, αλλά η θεία την έχει »

Η ανθρώπινη αντίληψη είναι στενή,  αποσπασματική, στερείται ενόρασης, έχει μια μερική άποψη για τη γνώση σε αντίθεση με τη θεία . Για να φτάσει ο άνθρωπος στη γνώση πρέπει να αφυπνιστεί ταυτίζοντας το μερικό εγώ του με το συμπαντικό εγώ . Η ένωση αυτή οδηγεί τον άνθρωπο σε μια πρωτόγνωρη αντίληψη της πραγματικότητας. Η προοπτική με την οποία βλέπει τον κόσμο πλαταίνει πρωτόγνωρα.Δεν βλέπει τον κόσμο εξωτερικά, υποκειμενικά ως άνθρωπος,αλλά αντικειμενικά ως μέλος του σύνολου κόσμου. Οι αισθήσεις του αφυπνίζονται, πλημμυρίζει με φως, βιώνει την γνώση ενορατικά. Η αφύπνιση αυτή μας θυμίζει την αντίστοιχη διδασκαλία του Βούδα.

107) Σέξτος Εμπειρικός, VII  126

«Είναι κακοί μάρτυρες τα μάτια και τα αυτιά για τους ανθρώπους που έχουν βάρβαρες ψυχές »

και

55)Ιππόλυτος, έλεγχος ΙΧ 9

« Όσα μπορεί κανείς να τα δει, να τ’ ακούσει, να τα μάθει, αυτά εγώ τα προτιμώ.

και

34)Κλήμης, Στρωματείς V 116:

Όσοι δεν μπορούν να κατανοήσουν ( τον αληθινό λόγο) όταν τον ακούν μοιάζουν με κουφούς. Γιαυτούς μαρτυρεί το ρητό « παρόντες απόντες »

Οι αισθήσεις μπορούν να αποβούν πηγή γνώσης για ψυχές που έχουν την προπαίδεια και την καλλιέργεια, να τις χρησιμοποιούν για να μαθαίνουν. Που μπορούν να δουν ενορατικά  και να βιώσουν, όχι μόνο να νοήσουν τη γνώση.Αντίθετα «βάρβαρες» ψυχές με φτωχό πνευματικό κόσμο και βιώματα, μετουσιώνουν τα μηνύματα των αισθήσεων με βάση τα καλούπια του φτωχού πνευματικού τους κόσμου. Εκεί που ο καλλιεργημένος βλέπει την ομορφιά , ο ακαλλιέργητος βλέπει την χυδαιότητα. Ακόμα εκεί που ο καλός άνθρωπος βλέπει τον αδύνατο συνάνθρωπο του με οίκτο και συμπόνια, ο αδίστακτος βλέπει ακόμα μια ευκαιρία επιβολής του . Εκεί που ο ευαίσθητος άνθρωπος βλέπει την αδικία, ο εκμεταλευτής βλέπει ευκαιρίες για περισσότερη εκμετάλλευση. Όταν ο φιλάνθρωπος σκέφτεται τρόπους για να ικανοποιήσει τις αφόρητες ανθρώπινες ανάγκες, την πείνα, την ανέχεια, ο κυνηγός του κέρδους σκέφτεται πως να τις αξιοποιήσει για να μεγιστοποιήσει το δικό του όφελος.  Ο φιλειρηνιστής, δίκαια βλέπει τον πόλεμο ως κατάρα. Από την άλλη οι βιομηχανίες και οι έμποροι των όπλων υποδαυλίζουν τις συγκρούσεις για να αυξήσουν τα προσωπικά τους κέρδη. Όσοι αγαπούν τη μητέρα γη, βλέπουν την καταστροφή του περιβάλλοντος, λόγω της ανεξέλεκτης ανάπτυξης ως κατάρα. Αυτοί που πατρονάρουν την καταστροφή αυτή, την ονομάζουν ανάπτυξη γιατί βραχυπρόθεσμα έχουν κέρδη. Γενικά όσοι έχουν βάρβαρες ψυχές βλέπουν και ακούουν μόνο μέσα από την προοπτική του εγώ. Είναι σαν να παραμορφώνουν οι αισθήσεις τους την πραγματικότητα. Η ακοή και η όραση τους είναι κακοί και αναξιόπιστοι μάρτυρες. ( Κυρίως για τους άλλους )

        Οι αισθήσεις δίνουν αρκετό ακατέργαστο υλικό. Από εκεί και πέρα πρέπει να υπάρχει ο νους που θα οργανώσει τις παρατηρήσεις , θα τις μετουσιώσει σε γνώση. Διαφορετικά, αν ακούς και βλέπεις αλλά δεν μπορείς να νοήσεις, μοιάζεις με αυτόν που είναι κουφός , ή τυφλός , ή υπνωτισμένος. Είναι σαν να είσαι απών, σαν να μην άκουσες τίποτε, αν και όλα γίνονται μπροστά σου.

     Κατ’ επέκταση: Η όραση του κόσμου από τον αμύητο είναι περιορισμένη. Ο μυημένος με την ενόραση έχει ευρεία αντίληψη της πραγματικότητας. Ο αμύητος ακούει αλλά δεν καταλαβαίνει, βλέπει αλλά δεν βλέπει, σκέφτεται αλλά δεν νοεί.  Αυτό θυμίζει τη ρήση « ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω» . Ακόμα μια χριστιανική ρήση φαίνεται μη πρωτότυπος, αφού η ομοιότητα της με το απόσπασμα 34 είναι καταπληκτική.

( Με αυτό δεν ισχυρίζομαι ότι Ηράκλειτος και Χριστός έλεγαν τα ίδια πράγματα. Αλλά ότι είχαν την κοινή πεποίθηση ότι πολλοί ακούουν, αλλά λίγη κατανοούν τη σοφία. Στο συγκεκριμμένο θέμα είναι φανερό ότι ο Ηράκλειτος προηγήθηκε 6 ολόκληρους αιώνες. )

127)Hippokrates deu carnib. 2 [ VIII  584  L] :

«Αυτό που αποκαλούμε «θερμό» φαίνεται πως είναι αθάνατο και πως κατανοεί τα πάντα, πως βλέπει και ακούει και γνωρίζει όλα τα πράγματα παρόντα και μέλλοντα. Αυτή η ετερότητα,δηλαδή η πολυμέρεια του όλου, όταν τα πάντα αναταράκτηκαν, ξεχώρισε στην απώτατη τροχιά και μου φαίνεται πως έγινε αυτό που οι παλιοί αποκαλούσαν αιθέρα».

Από τα 4 στοιχεία που αποτελούν το σύμπαν ( γη, νερό , αέρας και φωτιά ), η φωτιά είναι το σημαντικότερο, αφού μπορεί να μεταλλάξει τα υπόλοιπα ( βασικά να ατμοποιήσει το νερό σε φυσικό επίπεδο , σε μεταφυσικό να μετατρέψει μιαν ανώριμη υγρή ψυχή σε ξηρή ). Η φωτιά του μυαλού , το πάθος για γνώση και προσέγγιση του συμπαντικού νού , του λόγου δηλαδή , οδηγεί στην μνημοσύνη, δυναμώνει τη διάνοια , οδηγεί σε ευρύτερη αντίληψη της πραγματικότητας, με υπέρτατο όριο την αντίληψη ότι «τα πάντα είναι ένα» . Η υπέρτατη γνώση είναι η ένωση , σύνδεση, συσσωμάτωση , συνύπαρξη , συναντίληψη του ανθρώπινου εγώ με το πανανθρώπινο είναι.  Η υπέρτατη διάνοια του σύμπαντος, είναι πύρινη και έλλογη. Η φωτιά, η έλλογη ενέργεια, ο συμπαντικός Λόγος συνέχει, μορφοποιεί, κινεί τον κόσμο.

      Η ουσία του συμπαντικού νου είναι το έλλογο πυρ. Η φωτιά για τον Ηράκλειτο είναι ο Θεός. Αυτο για δύο βασικούς λόγους. Πρώτον γιατί είναι η κινητήριος δύναμη πίσω από όλα, δεύτερο γιατί είναι λογική, αφού δρα με βάση κανόνες που έχουν καθολική εφαρμογή. Η απόλυτα ξηρή ψυχή του σύμπαντος, ολόκληρη αποτελούμενη από αδάμαστο πύρ, κινήται στην απώτατη τροχιά λόγω της μεγάλης ενέργειας της. Είναι η πέμπτη και ανώτερη ουσία ( πεμπτουσία ) του σύμπαντος δηλαδή ο αιθέρας.

     Η θεότητα, εκτός της αθανασίας, είναι παντογνώστης. Γνωρίζει όλα τα πράγματα, στην μικρότερη λεπτομέρεια τους και σε κάθε χρονική στιγμή. Βρισκεται παντού και πληρή τα πάντα. Στην τελευταία ιδιότητα της βρίσκεται και η παρομοίωση της με τον αιθέρα, που ήταν ουσία λεπτότατης υφής, που πληρούσε τα πάντα.

26)Κλήμης, Στρωματείς IV 143

« Τη νύκτα ο άνθρωπος ανάβει για τον εαυτό του ένα φως, όταν σβήσει το βλέμμα του. Όσο ζει βρίσκεται σε επαφή με τους νεκρούς όταν κοιμάται, και με τους κοιμισμένους όταν είναι ξύπνιος.»

      Χωρίς διαλογισμό, σκέψη και συνειδητότητα ο άνθρωπος είναι σαν να κοιμάται. Ενώ είναι ξύπνιος βρίσκεται σε κατάσταση χαμηλής αυτοσυνείδησης , χαμένος στις παρορμήσεις και στα ερεθίσματα των αισθήσεων , που ενώ του αποσπούν συνεχώς την προσοχή, τον εμποδίζουν να εντοπίσει το βαθύτερο νόημα. Όταν καταλαγιάσει ο κονιορτός των αισθήσεων, μέσα στο σκοτάδι της νύκτας, ο άνθρωπος μπορεί να κοιτάξει μέσα του, να άναψει ένα «φως», να ερευνήσει τον εαυτό του, για να μάθει τον κόσμο.

5)Αριστόκριτος, Θεοσοφία 68,Ωριγένης, Κατά Κέλσου VII 62

« Ζητούν να εξαγνιστούν με καθαρμούς και μιαίνονται με άλλο αίμα σαν κάποιο που μπήκε στη λάσπη και προσπαθεί μετά να ξεπλυθεί με λάσπη.Τρελό θα τον νόμιζε όποιος θα τον έβλεπε να κάνει αυτή την πράξη.Και προσεύχονται σ’ αυτά τα αγάλματα , που ισοδυναμεί με το να θέλει κανείς να μιλήσει στους τοίχους, χωρίς να ξέρει καθόλου τι είναι στην ουσία τους οι θεοί και οι ήρωες »

και

129) Αριστόκριτος, Θεοσοφία 74

« Προσεύχονται στα αγάλματα των θεών που δεν τους ακούουν ωσάν να τους άκουγαν, που δεν δίνουν τίποτα σαν να μην τους ζήτησαν τίποτε»

Ο Ηράκλειτος εντοπίζει την ρηχότητα της θρησκευτικής συμπεριφοράς των πολλών εφόσον αυτοί ταυτίζουν τα ομοιώματα με τους ίδιους τους θεούς και την ουσία τους. Οι θυσίες δεν επιτελούν τον σκοπό για τον οποίο γίνονται δηλαδή τον εξαγνισμό του ανθρώπου. Όπως δεν μπορείς να καθαρίσεις τη λάσπη με λάσπη, έτσι δεν μπορεί το αίμα των θυσιών να εξαγνίσει τον άνθρωπο, να τον εξιλεώσει, να απαλείψει τα σφάλματα του. Αξιοπρόσεκτη είναι η αναφορά του μεγάλου Εφέσιου στην διαχρονική τάση των ανθρώπων να ταυτίζουν θεούς και υπερφυσικά όντα με τις εικόνες και τα αγάλματα τους. Αυτό φαίνεται από τα λόγια και τις προσευχές που απευθύνονται στα ομοιόματα αυτά. Όσο θεός είναι ένας τοίχος, άλλο τόσο είναι το ξύλο και η μπογιά μιας εικόνας ή το μάρμαρο ενός αγάλματος.

Η ουσία του θεού ή των θεών, αν τελικά αυτοί υπάρχουν , είναι πέραν της ανθρώπινης κατανόησης. Όπως θα πρόσθετα εγώ, η καλλιέργεια της τάσης των ανθρώπων να προσκυνούν ομοιόματα θεών, είναι έργο διαχρονικά των Ιερατείων όλων των θρησκειών για εξυπηρέτηση των ιδιοτελών τους συμφερόντων. Η έμφυτη αδυναμία του ανθρώπου να αντιληφθεί το υπερκόσμιο, το άπιαστο, το άρρητο τον οδηγεί στην εύκολη λύση. Αυτή είναι ο ανθρωπομορφισμός των θεών, η απόδοση σ’αυτούς ανθρωπίνων χαρακτηριστικών, αδυναμιών παθών και ιδιοτήτων.Όπως ένα νήπιο δεν μπορεί να αντιληφθεί μια αφηρημένη έννοια, έτσι και οι ενήλικες στα χρόνια, αλλά νήπιοι στη σοφία άνθρωποι, πρέπει να φτιάξουν θεϊκά είδωλα, κατ’ είκονα και καθ’ομοίωση τους, για να πετύχουν μια αισθητοποίηση του Θεού. Για τους ανθρώπους αυτούς θεός είναι το είδωλο, η εικόνα, το ξύλο, το άγαλμα. Στα πιο πάνω ανθρώπινα κατασκευάσματα αποθέτουν οι φτωχοί στη διάνοια καθημερινοί άνθρωποι, τα δάκρυα, τις προσευχές, τη λατρεία, τις ικεσίες τους , αλλά και τις εισφορές και τα τάματα τους. Τα τελευταία φυσικά δεν τα παίρνουν οι εικόνες και τα αγάλματα, αλλά τα ιερατεία των θρησκειών.. Εκεί που ο Αδαής βλέπει την Θεότητα και την προσκυνά, ο πονηρός βλέπει μια ευκαιρία για πλουτισμό και εξουσία..

Ο Εφέσιος φιλόσοφος οστόσο δεν αμφισβητεί την ύπαρξη των Θεών. Δεν αποτελεί όμως αντίφαση η αναφορά σε θεούς, όταν πιστεύει στην ενότητα και την βαθύτερη ενότητα της μιας ουσίας; Όχι κατ’ανάγκη. Μπορούμε να δούμε καθαρά τους θεούς ως διαφορετικές εκφράσεις της ίδιας ουσίας. Ο Ποσειδώνας εκπροσωπεί τα νερά, η Δήμητρα τη γη μητέρα, Ο Δίας τον Ουρανό , ο Πλούτωνας τον κάτω κόσμο .... Όλα αυτά τα χαρακτηριστικά όμως εκφράζουν πτυχές του Σύμπαντος που είναι ένα. Οι άνθρωποι έχουν ανάγκη αυτό τον μερισμό του αμέριστου Θεού σε επιμέρους Θεότητες , για να τον εννοήσουν και να τον βιώσουν καλύτερα.

Αν όμως οι τελετές, οι προσευχές και οι θυσίες δεν μπορούν να εξαγνίσουν τον άνθρωπο από τα λάθη και τις αδικίες πού έκανε τι μπορεί άραγε να τον εξαγνίσει; Ο Ηράκλειτος δεν το αναφέρει, αλλά αφού τα λόγια δεν οδηγούν στην κάθαρση, είναι λογικό να υποθέσει κανείς ότι αυτή επέρχεται με έμπρακτη προσπάθεια επανόρθωσης των συνεπειών οποιασδήποτε κακίας που έχουμε κάνει.

Ακολουθία περιττής χρυσής τομής μέρος Β

6. Ο όρος Αν+1  της περιττής χρυσής ως άθροισμα 2 διαδοχικών αθροισμάτων

                                                                 

                                                                    ν-1             ν-2

 Θα αποδείξουμε ότι Αν+1 = Σ Αr + Σ Αr

                                                                     1               1

              ν-2

Όπου Σ Αr = Αν-2 + Αν-3 + .......Α3 + Α2 + Α1

              1

και

ν-1

Σ Α r = Αν-1 + Αν-2 + .......Α3 + Α2 + Α1

1

1^η Απόδειξη

Εξ ορισμού Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 .        (1)

Αντικαθιστώ το Αν-3 με Αν-4 + Αν-5 + Αν-6

και διαδοχικά το Αν-6  με Αν-7 με Αν-8 + Αν-9  και ούτω καθεξής.  

Η σχέση (1) μπορεί να γραφεί ως

Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-4 +Αν-5 + Αν-7 + Αν-8+.......            (2)

Ομοίως μπορούμε να γράψουμε

Αν-1 = Αν-2 + Αν-3 + Αν-5 +Αν-6 + Αν-8 + Αν-9......        (3)

και

Αν-2 = Αν-3 + Αν-4 + Αν-6 +Αν-7 + Αν-9 + Αν-10+.......          (4)

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (2) , (3), (4) κατά μέλη έχουμε

Αν + Αν-1 +  Αν-2  = (Αν-1 + Αν-2 +. Αν-3...... + Α2 + Α1 ) + (Αν-2 + Αν-3 +. Αν-4 + ...... Α3 + Α2 + Α1)            (5)

ð

                  ν-1             ν-2

 Αν+1 = Σ Αν + Σ Αν

                   1                1

Ή

             ν-2             ν-3

 Αν = Σ Αν + Σ Αν

              1                1

Παράδειγμα 1:

Α10 = (1+1+1+3+5+9+17+31) +  (1+1+1+3+5+9+17)

Α10 = 37+68= 105

Πράγματι γράφοντας τη σειρά βρίσκουμε ότι ο 10^ος όρος είναι:

 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105

Παράδειγμα 2:

                10              9

 Α12 = Σ Αν + Σ Αν

                1                1

Α12 = (1+1+1+3+5+9+17+31+57+105) +  (1+1+1+3+5+9+17+31+57)

Α12 = 230+125=355

Πράγματι γράφοντας τη σειρά βρίσκουμε ότι ο 12^ος όρος είναι:

 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355

2^η Απόδειξη

                                       ν-1             ν-2

Ο τύπος Αν+1 = Σ Α r + Σ Α r

                                       1                1

θα αποδειχθεί με την μέθοδο της Μαθηματικής επαγωγής.

Α) Έλεγχος για ν = 3

                               

                                1                2

Α4 = 3,          Σ Α r + Σ Α r  = 1 + ( 1+1) = 3    

                             1              1

                     

                      1                2

ð   Α4  =Σ Α r + Σ Α r 

                      1                1

Άρα προφανώς ισχύει για ν = 3.

Β) Υπόθεση

Έστω ότι υπάρχει φυσικός αριθμός κ για τον οποίο η πρόταση την οποία θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει.

Άρα

                κ-1              κ-2

Ακ+1 = Σ Α r + Σ Α r            (1)

                 1                1

Γ) Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1 και επαγωγικά για κάθε κ ∊N

Θέτουμε όπου κ , κ+1 στο δεύτερο σκέλος της (1)

Έχουμε

κ               κ-1                                              κ-1             κ-2

Σ Α r + Σ Α r =  Ακ-1 + Ακ + (Σ Αν + Σ Αν )

1          1                                 1                1

ð

κ               κ-1                                           

Σ Α r + Σ Α r =  Ακ-1 + Ακ + Ακ+1

1          1                                

ð

κ               κ-1                                           

Σ Α r + Σ Α r =  Ακ+2

1          1                                

Προφανώς έχουμε αποδείξει ότι η πρόταση μας ισχύει για ν = κ+1

Θέτοντας κ=3, τιμή για την οποία γνωρίζουμε ότι η πρόταση ισχύει, είναι φανερό ότι ισχύει και για κ=4 , όμοια ισχύει και για κ=5, εφόσον  ισχύει για κ=4  και διαδοχικά ισχύει για κάθε ν ∊N . Η πρόταση έχει αποδειχθεί.

7. Άθροισμα ν όρων της περιττής χρυσής ακολουθίας ως άθροισμα δύο όρων της

Θα αποδείξουμε δια της μεθόδου της επαγωγής ότι ισχύει ο τύπος

ν

ΣΑ r = ½ (Αν + Αν+2 )

1

Απόδειξη δια της μαθηματικής επαγωγής

1. Ο τύπος προφανώς ισχύει για ν = 1 αφού Α1= ½ (Α1 + Α3 )

2. Υποθέτουμε ότι ο τύπος ισχύει για ν = κ και άρα γράφουμε

κ

ΣΑ r = ½ (Ακ + Ακ+2 ) .

1

Ακολούθως θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για ν = κ+1.

3. Για ν = κ+1,

κ+1         κ

ΣΑ r = Σ Α r + Ακ+1 = ½ (Ακ + Ακ+2 ) + Ακ+1 = ½ (Ακ + Ακ+2  + 2Ακ+1) = ½ (Ακ+1 + Ακ+3 )

1             1

( Εφόσον Ακ + Ακ+1  + Ακ+2 = Ακ+3)   Η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί αφού αν θέσουμε κ = 1 ισχύει για κ = 2, επαγωγικά για κ =3 και ούτω καθεξής για κάθε ν ∊N

Παράδειγμα

8

ΣΑ r = ½ (Α8 + Α10 )

1

1+1+1+3+5+9+17+31=68,     (31+105)/2=136=68 άρα ισχύει

8. Ο αριθμός ρ της περιττής χρυσής ακολουθίας είναι άρρητος

Απόδειξη με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής

Υπόθεση

Έστω ρ ρητός αριθμός και ρ = 1 + α/β όπου α, β ∊N και α < β και α, β πρώτοι μεταξύ τους

Απόδειξη

Εφόσον ισχύει η υπόθεση μας και εφαρμόζοντας την στην εξίσωση χ³ - χ² - χ –1 = 0, θέτοντας χ = ρ προκύπτει η εξίσωση  (1 + α/β ) ³ = (1 + α/β ) ² + (1 + α/β ) + 1. Με απαλοιφή των παρονομαστών έχουμε την εξίσωση ( α + β) ³ = β ( α + β) ² + β ² ( α + β) + β³ . Εκτελώντας τις πράξεις που προκύπτουν η εξίσωση αυτή παίρνει την μορφή α³ - 2β³ + 2α²β = 0 ή α³ = 2 (β³ - α²β). Είναι φανερό από το γεγονός ότι ο κύβος του φυσικού αριθμού α είναι άρτιος ότι και ο α είναι άρτιος και άρα μπορούμε να θέσουμε α = 2 γ όπου γ ∊N

     Αναδιατυπώνουμε με βάση το προηγούμενο συμπέρασμα μας την αρχική μας υπόθεση σε

ρ = 1 + 2γ/β και θέτουμε όπου χ = 1 + 2γ/β στην εξίσωση χ³ - χ² - χ –1 = 0. Έχουμε

(1 + 2γ/β ) ³ = (1 + 2γ/β ) ² + (1 + 2γ/β ) + 1

ή με απαλοιφή παρονομαστών (2γ + β) ³ =  β (2γ + β) ² + β²(2γ + β) + β³

Εκτελώντας τις πράξεις και λύνοντας ως προς β³ έχουμε ότι

β³ = 4γ² ( β + γ)

Γεγονός το οποίο δεικνύει ότι και ο αριθμός β είναι άρτιος εφόσον ο κύβος του είναι άρτιος. Αν θέσουμε λοιπόν στην αρχική μας υπόθεση ότι β = 2δ , όπου δ ∊N έχουμε ότι ρ = (1 + 2γ/2δ ) δηλαδή ρ= (1+γ/δ) η οποία είναι όμοια με την αρχική γεγονός που μας επιτρέπει, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, να αποδείξουμε ότι γ και δ ομοίως είναι άρτιοι. Αν θέσουμε γ = 2 ε και δ = 2 ζ ομοίως μπορεί να δειχθεί ότι ε και ζ είναι άρτιοι και ούτω καθ’ εξής επ’ άπειρο. Η αρχική μας υπόθεση  καταρρίπτεται από το γεγονός ότι αποδείξαμε ότι το κλάσμα α/β δεν είναι ανάγωγο και επιπλέον κάθε φυσικός αριθμός δεν μπορεί να είναι επ’ άπειρον διαιρετός με το 2. Εφόσον  το ρ δεν είναι ρητός άρα είναι άρρητος.

9. Το γινόμενο 2 τυχαίων διαδοχικών όρων ως άθροισμα αθροισμάτων

                                                                                                              ν                      ν

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει ο τύπος Αν Αν+1 = Σ(Α r) ² + Σ{(Α r -2) (Α r )}   όπου ν ∊N

                                                                                                              1                      4

και ν > 3  δια της μεθόδου της μαθηματικής επαγωγής.

                                                               4

Για ν = 4 έχουμε ότι Α4 Α5 = 3.5 =15 , Σ(Α r) ² + Α2 Α4 = 1² +1² +1² +3² + 1.3 = 15

                                                                                              1

άρα ισχύει για την αρχική αυτή τιμή.

Θα υποθέσουμε ότι η πρόταση μας ισχύει για τυχαία τιμή κ , όπου κ ∊N και ν > 3  και άρα ισχύει ο τύπος

                         κ                      κ

Ακ Ακ+1 = Σ(Α r) ² + Σ{(Α r -2) (Α r )}       (1)

1                             4

και θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι ισχύει για ν =κ+1

Θέτοντας όπου κ , κ+1 στο δεύτερο μέρος της εξίσωσης (1) αυτή διαμορφώνεται σε

κ+1                  κ+1                                  κ                      κ

Σ(Α r) ² + Σ{Α r Α r -2}  = { Σ(Α r) ² + Σ{Α r -2 Α r  } +(Ακ+1) ² + Ακ-1 Ακ+1

1                      4                                       1                     4

κ+1                  κ+1                                 

Σ(Α r) ² + Σ{Α r  Α r -2}  = Ακ Ακ+1 +(Ακ+1) ² + Ακ-1 Ακ+1 1                    

1                      4

κ+1                  κ+1                                 

Σ(Α r) ² + Σ{Α r  Α r -2}  = Ακ+1 (Ακ-1 + Ακ + Ακ+1)                      

1                      4

κ+1                  κ+1                                 

Σ(Α r) ² + Σ{Α r -1 Α r +1}  = Ακ+1 Ακ+2     και έτσι η απόδειξη έχει συμπληρωθεί.

1                     1

Παράδειγμα 1:

Να εξεταστεί η ισχύς του τύπου για ν = 10

                        ν                      ν

Αν Αν+1 = Σ(Α r) ² + Σ{(Α r -2) (Α r )}   όπου ν ∊N

                        1                      4

Α10 Α11 = 105.193 =20265

10               10

Σ(Α r)²+Σ{(Α r -2) (Α r )}=105²+57²+31²+17²+9²+5²+3²+3+105.31+57.17+31.9+17.5 

1                 4

+9.3+ 5.1+3.1

      10               10

→Σ(Α r)²+Σ{(Α r -2) (Α r )}= 20265 και προφανώς ο τύπος επαληθεύεται.

      1                 4

Παράδειγμα 2:

Να εξεταστεί η ισχύς του τύπου για ν = 11

                        ν                      ν

Αν Αν+1 = Σ(Α r) ² + Σ{(Α r -2) (Α r )}   όπου ν ∊N

                        1                      4

Α11 Α12 = 193.355 =68515

11               11

Σ(Α r)²+Σ{(Α r -2) (Α r )}=193²+105²+57²+31²+17²+9²+5²+3²+3+193.57+105.31+57.17+31.9+17.5 

1                 4

+9.3+ 5.1+3.1

      11               11

→Σ(Α r)²+Σ{(Α r -2) (Α r )}= 68515 και προφανώς ο τύπος επαληθεύεται.

      1                 4