Η ακολουθία της περιττής Χρυσής Τομής μέρος Α

Έστω η ακολουθία αριθμών 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201, 2209, 4063, 7473, 13745, 25281, 46499, 85525, 157305, 289329, 532159, 978793, 1800281, 3311233,6090307......... Στην ακολουθία ισχύει ότι κάθε όρος ισούται με το άθροισμα των τριών προηγούμενων όρων δηλαδή

Αν  = Αν-1  +  Αν-2 + Αν-3

Σύγκλιση πηλίκων διαδοχικών όρων

Το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της σειράς της περιττής χρυσής τομής συγκλίνει στον άρρητο αριθμό 1,839286756...όπως δείχνει η παράθεση των διαδοχικών πηλίκων:

Α4  /Α3    = 3/1 = 3
Α5 / Α4  =  5/3 = 1,66666....
Α6 / Α5    = 9/5 = 1,8
Α7 /Α6 = 17/9 =1,88888888...
Α8 /Α7 = 31/17 =1,82352941...
Α9 /Α8 = 57/31= 1,838709677...

Α10 /Α9 = 105/57 =1,84210526...

Α11 /Α 10 = 193 / 105 = 1,83809523...

Α12 / Α11 = 355/193 =1,83937823...

Α13 / Α12 = 653/355 = 1,83943662...

Α14 / Α13 = 1201/653 = 1,839203675..

Α15 / Α14 = 2209/ 1201= 1,83930058...

Α16 / Α15 = 4063/2209= 1,83929379..

Α17 / Α16 = 7473 / 4063 = 1,83928131..

Α18 / Α17 = 13745/7473 = 1,83928810..

Α19 / Α18 = 25281/13745 = 1,83928701..

Α20 / Α19 = 46499/25281 = 1,83928642..

Α21 / Α20 = 85525/46499 = 1,83928686...

Α22 / Α21 = 157305/85525 = 1,83928675...

Α23 / Α22 = 289329/157305 = 1,83928673...

Α24 / Α23 = 532159/289329 = 1,83928676..

Α25 / Α24 = 978793/532159 = 1,83928675..

Α26 / Α25 = 1 800281 / 978793 = 1,839286754..

Α27 / Α26 = 3 311233 / 1 800281 = 1,839286756..

Α28 / Α27 = 6 090307 / 3 311233 = 1,839286755..

Με τους ανωτέρω υπολογισμούς έχουμε εμπειρικά υπολογίσει τον ζητούμενο αριθμό με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων. Θα προσπαθήσουμε πιο κάτω να υπολογίσουμε την κλειστή μορφή του.

Ο αριθμός στον οποίο συγκλίνουν τα διαδοχικά πηλίκα είναι η πραγματική ρίζα της εξίσωσης

χ³ - χ² - χ - 1 = 0

Πρόταση 1

Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 να υπολογιστεί το

 Αν / Αν-1

Lim ν→ ∞

Αν = Αν-1 + Αν-2 + Αν-3

Þ Αν / Αν-1 = 1 + (Αν-2 / Αν-1) + (Αν-3 / Αν-1)

Þ Αν / Αν-1 = 1 + [1/(Αν-1 / Αν-2) ] + [1/ (Αν-1 / Αν-2) (Αν-2 / Αν-3) ]         (1)

Όταν ν → ∞ τότε οι λόγοι Αν / Αν-1,  Αν-1 / Αν-2 ,  Αν-2 / Αν-3 ισούνται με τον αριθμό που θέλουμε να υπολογίσουμε. Μπορούμε λοιπόν να τους αντικαταστήσουμε με χ στην εξίσωση (1), παραδεχόμενοι ότι:

Αν / Αν-1 = Αν-1 / Αν-2 = Αν-1 / Αν-2 = χ

Lim ν→ ∞         Lim ν→ ∞           Lim ν→ ∞

Þ χ = 1 + (1/χ) + (1/χ²)

Þχ³ - χ² - χ  - 1 =  0                                                                          (2)

Ας διερευνήσουμε την εξίσωση (2) για να βρούμε ποια από τις ρίζες της είναι ο ζητούμενος αριθμός. Υπολογίζουμε κατ’ αρχήν την παράγωγο της συνάρτησης

φ (χ) = χ³ - χ² - χ  - 1

δ [φ (χ)]/δ χ = 3χ² - 2χ – 1

Η παράγωγος θα μας βοηθήσει να προσδιορίσουμε το είδος των ριζών της εξίσωσης (2)

Υπολογίζουμε τις ρίζες της παραγώγου 3χ² - 2χ – 1= 0, για να βρούμε τα τοπικά ακρότατα της  φ (χ) = χ³ - χ² - χ  - 1

3χ² - 2χ – 1= 0

ÞΡ = (2 ±√ 16 )/6

Þ Ρ = ( 2 ± 4 )/6

Þ Ρ = ( 1 ± 2] /3

Þ Ρ1 = 1, και Ρ2 = - ⅓

φ (-⅓) = -1/27 – 1/9 + ⅓  - 1 = -22/27               (τοπικό μέγιστο )

φ (1) = 1³ - 1² - 1  - 1 = -3                                   (τοπικό ελάχιστο )

Η φ(χ) είναι αύξουσα στο διάστημα - ¥ < χ < - ⅓ , φθίνουσα στο διάστημα - ⅓< χ < 1 και πάλι αύξουσα στο διάστημα 1 < χ < + ¥. Δεδομένων και των τοπικών ακρότατων στα σημεία - ⅓ και 1, είναι φανερό ότι αυτή έχει μια πραγματική και δύο μιγαδικές ρίζες. Θα υπολογίσουμε τη πραγματική ρίζα που είναι και ο ζητούμενος αριθμός της περιττής χρυσής τομής.

Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό χ = y +1/3, ο οποίος προκύπτει από τον τύπο του Cardano, λύουμε την εξίσωση χ³ - χ² - χ – 1=0. Με αναγωγή ομοίων όρων και εκτέλεση των πράξεων, προκύπτει η ακόλουθη ελλιπής ως προς τον 2^ο  βαθμό εξίσωση τρίτου βαθμού:

y³ - 4y/3 – 38/27 = 0           (3)

Η (3) μπορεί να επιλυθεί ως προς y με βάση τον μετασχηματισμό του Del Ferro, με τα ακόλουθα βήματα:

1.  Θέτουμε y = u + v και η (3) μετασχηματίζεται σε:

u³ + v³ + (u + v) (3 u v – 4/3) – 38/27 =0        (4)

2. Θέτοντας 3 u v – 4/3 = 0 ,  (5) 

 Þ u³ + v³ = 38/27.   (6)

Αντικαθιστώντας στην (6) το v με 4/9u, ως προκύπτει από την (5), έχουμε  τη δευτεροβάθμιο, ως προς  u³, εξίσωση   

9³ (u³)² - 38.3³(u³)+64 = 0    (7)

Λύνοντας την (7) ως προς  u³ έχουμε u³ = 19/27 ± √ ( 11/27).           (8)

Θέτοντας  u³ = 19/27 + √ ( 11/27) στην  (6) προκύπτει ότι

v³ = 19/27 - √ (11/27).     (9)     

Από τις σχέσεις (8) και (9) και τον μετασχηματισμό y = u + v προκύπτει ότι

y = ³ √ [19/27 + √ (11/27)] + ³√ [19/27 – √ (11/27)]

Εφόσον χ = y + 1/3  έχουμε

χ = ⅓ + ³ √ [19/27 + √(11/27)] + ³√ [19/27 – √(11/27)]                   (10)

Η   (10) αποτελεί την κλειστή μορφή του ζητούμενου αριθμού της περιττής χρυσής τομής, την οποία υπολογίσαμε προηγουμένως με ακρίβεια 8 δεκαδικών ως τον αριθμό 1,839286755..