Ιστορία των αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών

Μιχάλη Α. Πόλη, εκπαιδευτικού

Ο Θαλής ο Μιλήσιος είναι ο πρώτος, ο οποίος δικαιούται να φέρει τον τίτλο του Μαθηματικού, όπως τον εννοούμε σήμερα. Βέβαια ο Θαλής δεν ήταν μόνο Μαθημα-τικός, αλλά κατ’ εξοχήν ήταν φυσικός φιλόσοφος. Προσπάθησε να δώσει λογικές ερμηνείες στα φυσικά φαινόμενα. Ώς μαθηματικός διείδε την χρήση των γεωμετρικών σχημάτων στη γενικότητα τους ξεφεύγοντας από τις συγκεκριμμένες κατασκεύες. Διατύπωσε το θεώρημα των αναλογιών που φέρει το όνομα του, στο υπόβαθρο του οποίου ευρίσκεται η θεωρητική έννοια των παραλλήλων ευθειών. Θεωρητική γιατί δεν υπάρχουν στη φύση παράλληλες ευθείες, αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Ο Θαλής απέδειξε ότι, αν δύο ευθείες (ε) και (ε΄) τέμνονται από τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες, τότε ο λόγος των δύο τμημάτων της (ε) που οριοθετούνται από τις τρείς παράλληλες ευθείες είναι ίσος με τον λόγο των αντίστοιχων τμημάτων της (ε΄) που οριοθετούνται από τις ίδιες παράλληλες. Η πιο πάνω μαθηματική πρόταση ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό ευθυγράμμων τμημάτων και παραλλήλων ευθειών που σχηματίζονται με ανάλογο τρόπο. Ο Μιλήσιος σοφός όχι μόνο διατύπωσε, αλλά για πρώτη φορά απόδειξε μαθηματική πρόταση. Ο Δ. Τσιμπουράκης διατυπώνει ως εξής τη γέννηση της μαθηματικής απόδειξης από τον Θαλή

«Ο Θαλής θεωρείται ο εμπνευστής της απόδειξης των γεωμετρικών προτάσεων, με το να εισάγει τον απαγωγικό συλλογισμό και την υπόθεση στην αναζήτηση της αλήθειας. Έτσι η ελληνική γεωμετρία, όπως θεμελιώθηκε από τον Θαλή, έγινε αποδεικτική επιστήμη και ξεχώρισε εντελώς από το σύνολο των γεωμετρικών γνώσεων που προϋπήρχαν στους ανατολικούς λαούς..» ( Η γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα σελ. 38)

  Η αξία της απόδειξης ενός θεωρήματος, έγκειται στο ότι αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε άπειρες επιμέρους περιπτώσεις, οι οποίες το επαληθεύουν. Ο Θαλής εφάρμοσε το θεώρημα του μετρώντας το ύψος των πυραμίδων από τη σκιά τους. Ο λόγος της σκιάς ενός ραβδιού προς το ύψος του είναι ίσος προς το λόγο της σκιάς της πυραμίδας προς το δικό της ύψος. Από τους τέσσερεις προαναφερθέντες αριθμούς της αναλογίας μόνο το ύψος της πυραμίδας είναι άγνωστο και άρα υπολογίσιμο με την επίλυση της αναλογίας. 

     Πρωταγωνιστής της επόμενης φάσης ανάπτυξης των ελληνικών μαθηματικών είναι ο σοφός Μαθηματικός και μύστης από τη Σάμο Πυθαγόρας. Κέντρο της διδασκαλίας του οι αριθμοί, τους οποίους θεωρούσε ως θεμέλιο του παντός, αφού θεμελιώδες δόγμα του Σάμιου σοφού ήταν τό

Αριθμόν είναι την ουσίαν απάντων

 Στην σχολή του Κρότωνα στην μεγάλη Ελλάδα ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του, χώρισαν τους αριθμούς σε οικογένειες, απαρίθμησαν τις ιδιότητες τους και τις απέδειξαν, έδωσαν φιλοσοφικές και εσωτερικές ερμηνείες στους αριθμούς. Άρτιοι, περιττοί, αρτιοπέριττοι, περισσάρτιοι, αρτιάρτιοι, ατελείς, τέλειοι, υπερτελείς  φίλιοι, πρώτοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, και πεντάγωνοι  είναι μερικές από τις οικογένειες των αριθμών. Οι πιο πάνω ορισμοί στέκουν μέχρι σήμερα, αποτελούν δε τα θεμέλια των νεότερων Μαθηματικών. Όμως προχώρησαν πέραν των αριθμών στην διατύπωση των ιδιοτήτων των αναλογιών, στην μελέτη των αριθμητικών, γεωμετρικών και αρμονικών προόδων, στη διατύπωση του θεωρήματος που φέρει το όνομα του Πυθαγόρα και εξηγεί τη σχέση μεταξύ της υποτείνουσας και των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου, τη διατύπωση του θεωρήματος της χρυσής τομής, την κατασκευή των πέντε κανονικών στερεών κ.α.

       Ο Πυθαγόρας δεν ασχολήθηκε μόνο με τα Μαθηματικά, αλλά και με την Μουσική, την Αστρονομία και τον Μυστικισμό, τομείς γνώσης τους οποίους  προσπάθησε να θεμελιώσει με βάση τη θεωρία του των αριθμών, θεωρώντας τους κλάδους των Μαθηματικών. Θεμελίωσε τη μουσική πάνω στις Μαθηματικές αναλογίες , διατύπωσε την θεωρία των ουρανίων σφαιρών και την άποψη ότι η γη είναι σφαιρική. Η πυθαγόρια αριθμολογία προσπάθησε να εξηγήσει τον κόσμο με τους αριθμούς της πρώτης δεκάδας. Συμβόλισε την βασική νομοτέλεια του σύμπαντος με τη μονάδα, την ανάπτυξη, την πολλαπλότητα και την πάλη των αντιθέτων με τη δυάδα κοκ.

      Σημείο καμπής στην ανάπτυξη των πυθαγορείων μαθηματικών ήταν η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Όπως ξέρουμε από τα στοιχειώδη μαθηματικά, άρρητος ονομάζεται ο αριθμός ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος ακεραίων.Αν επιχειρήσετε να γράψετε ένα άρρητο ώς δεκαδικό, σίγουρα δεν θα πετύχετε τίποτε παραπάνω από μια προσέγγιση. Αυτό γιατί ο άρρητος μας έχει άπειρα, μη επαναλαμβανόμενα με βάση κάποιο μοτίβο δεκαδικά ψηφία. Η ύπαρξη τέτοιων αριθμών αποτελούσε βόμβα στα θεμέλια της κοσμοθεωρίας του Πυθαγόρα, ότι δηλαδή τα πάντα είναι (ακέραιοι) αριθμοί. Τα θεμέλια της πιο λογικής επιστήμης φάνηκαν να κλονίζονται και το χάος της απροσδιοριστίας πολιορκούσε το πιο στερεά δομημένο κάστρο της ανθρώπινης νόησης.

     Η Τρίτη φάση των Ελληνικών μαθηματικών προσδιορίζεται χρονικά στον 5^ο  και 4^ο αιώνα π.Χ. Το πρόβλημα των αρρήτων αριθμών δεν επιλύεται βέβαια την περίοδο αυτή, αλλά παρακάμπτεται τεχνηέντως. Σίγουρα δεν μπορεί κάποιος να παραστήσει τον άρρητο αριθμό √2 ως δεκαδικό, όμως πολύ εύκολα μπορεί να τον σχεδιάσει γεωμετρικά ως την υποτείνουσα ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, με τις κάθετες πλευρές του ίσες με την μονάδα.

       Την περίοδο αυτή την οποία άνετα μπορούμε να την χαρακτηρίσουμε και ως περίοδο της γεωμετρίας αναφύονται και τα διάσημα προβλήματα τα οποία θα μας απασχολήσουν στο κύριο μέρος αυτού του βιβλίου. Αυτά είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή η κατασκευή τετραγώνου ισεμβαδικού με δεδομένο κύκλο, Το Δήλιο πρόβλημα δηλαδή η κατασκευή κύβου με όγκο διπλάσιο του όγκου δεδομένου κύβου και η τριχοτόμηση της τυχαίας γωνίας. Τα προβλήματα προσπάθησαν να τα λύσουν με τον κανόνα και το διαβήτη. Δεν τα κατάφεραν γιατί, όπως αποδείκτηκε μετά από 24 αιώνες η λύση τους με την κλασσική γεωμετρική μέθοδο ήταν αδύνατη. Παρ’όλα αυτά πέτυχαν ευφυείς λύσεις με άλλες μεθόδους.

      Αξιόλογοι μαθηματικοί της περιόδου αυτής ήταν, μεταξύ άλλων, ο Εύδοξος από την Κνίδο της Μ. Ασίας, ο Πλάτων ο Αθηναίος, ο Ιπποκράτης από τη Χίο, ο Μέναιχμος, ο Θεαίτητος  ο Αρχύτας από τον Τάραντα της Μ. Ελλάδος και ο πανεπιστήμονας Αριστοτέλης. Ο Εύδοξος διατύπωσε αποδείξεις αναφορικά με όγκους στερεών, ( πυραμίδας, σφαίρας κλπ ) διαμορφώνοντας μεθόδους προσέγγισης των προβλημάτων που προσιδιάζουν τον σύγχρονο ολοκληρωτικό λογισμό. Επέκτεινε την θεωρία για τις αναλογίες με τέτοιο τρόπο, ώστε να περιλαμβάνονται σε αυτές και ασύμμετροι αριθμοί σε σχέση ανισότητας με τους σύμμετρους. Η προσέγγιση αυτή παρέκαμψε το αδιέξοδο που έφεραν οι άρρητοι στα πυθαγόρια μαθηματικά. Ο Πλάτωνας εθεμελίωσε την αναλυτική μέθοδο απόδειξης προβλημάτων, μελέτησε τα 5 κανονικά στερεά σώματα, τα οποία, τιμής ένεκεν αναφέρονται με το όνομα του, αν και ήταν γνωστά και προηγουμένως, αφού μελετήθηκαν από τους Πυθαγόρειους. Ακόμα βρήκε κανόνα των ακεραίων επαληθεύσεων της εξίσωσης Χ² + Ψ² = Ζ² , προσδιορίζοντας με αλγεβρικό τύπο τις λύσεις του πυθαγορείου θεωρήματος. Ο Ιπποκράτης αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του για να λύσει τα προβλήματα του τετραγωνισμού του κύκλου και του διπλασιασμού του κύβου. Τετραγώνισε  μηνίσκους και διατύπωσε το θεώρημα το οποίο συνδέει το εμβαδό δύο κύκλων με το λόγο των τετραγώνων των διαμέτρων τους. Ο Μέναιχμος έλυσε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου με δύο τρόπους, με τη χρήση παραβολών. Τις λύσεις θα περιγράψουμε αναλυτικά αργότερα. Ο Θεαίτητος ασχολήθηκε με την λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ²= α και διατύπωσε το είδος των ριζών ανάλογα με την φύση του α. Αν α είναι τετράγωνος ακέραιος αριθμός τότε και ο Χ είναι τετράγωνος, αν α είναι πρώτος, ή γινόμενο δύο διαφορετικών πρώτων ή συνθέτων τότε ο Χ είναι ασύμμετρος.Ο Αρχύτας έλυσε το Δήλιο πρόβλημα και διατύπωσε μέθοδο υπολογισμού τετραγωνικών ριζών.

      Η συμβολή του Αριστοτέλη στην θεωρητική θεμελίωση των Μαθηματικών είναι μεγίστη. Είναι ο πατέρας της Λογικής της οποίας διατύπωσε τις τέσσερις γενικές αρχές, δηλαδή την αρχή της ταυτότητας, της αντίφασης, του αποκλεισμού του τρίτου και την αρχή του αποχρώντος λόγου, η ανάλυση των οποίων ξεφεύγει των σκοπών του μελετήματος αυτού.  Ακόμα κατέγραψε και συστηματοποίησε τους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, δηλαδή την εις άτοπον απαγωγή, την τελεία επαγωγή, την αναλυτική και τη συνθετική μέθοδο απόδειξης. Μελέτησε το άπειρο και το απειροστόν κατ’ αντιδιαστολή. Θεώρησε ότι το πρώτο υπάρχει ως νοητική σύλληψη, αλλά στην πράξη είναι απρόσιτο και άρα ανύπαρκτο μέσα σε ένα πεπερασμένο κόσμο. Το απειροστό συνέλαβεν ως το πεπερασμένο άθροισμα απείρων, συνεχώς ελαττούμενων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Γενικά ο πανεπιστήμονας σταγειρίτης υπήρξε μέγιστος μαθηματικός, αν και η ιδιότητα του αυτή επισκιάσθηκε από το ευρύτερο φιλοσοφικό έργο του.

     Η Ελληνιστική περίοδος των μαθηματικών (300-31π.Χ.)φέρνει στο προσκήνιο τον Ευκλείδη, το έργο του οποίου «Στοιχεία Γεωμετρίας» αποτελεί την βίβλο των Μαθηματικών για 2300 χρόνια, και μέχρι τον 19^ο αιώνα την μοναδική, μαθηματικά τεκμηριωμένη θεωρία της Γεωμετρίας. Τα στοιχεία δομούνται πάνω σε 5 αξιώματα, με βάση τα οποία αποδεικνύει όλα τα θεωρήματα που επακολουθούν. Μόλις τον 19^ο αιώνα οι Riemann και Lobatchevsky δημιούργησαν εναλλακτικές γεωμετρικές θεωρίες, τις οποίες ονόμασαν αντίστοιχα «ελλειπτική» και «υπερβολική» στηριζόμενοι στο μη αποδείξιμο του 5^ου αξιώματος του Ευκλείδη. Συγκεκριμμένα το αξίωμα του Ευκλείδη δηλώνει ότι από σημείο εκτός ευθείας μόνο μια παράλληλος προς την ευθεία μπορεί να γραφεί, ενώ ο Lobatchevsky δέχεται ότι μπορούμε να γράψουμε περισσότερες παράλληλες, ενώ ο Riemann δέχεται ότι καμμιά παράλληλος προς ευθεία δεν γράφεται από σημείο εκτός ευθείας.  Η Ευκλείδιος Γεωμετρία, δεν ανήκει βέβαια , ως ανακάλυψη μόνο στον Ευκλείδη, ο οποίος όμως συστηματοποίησε το έργο των προηγούμενων Ελλήνων Μαθηματικών σε μια κομψή, λογικώς άρτια και θεμελιωμένη θεωρία.Αποτελεί ένα από τα μεγαλύτερα μνημεία, ως θεωρητική σύλληψη, του ανθρώπινου πολιτισμού. Όμως ο Ευκλείδης δεν ήταν ο μόνος αστέρας πρώτου μεγέθους του μαθηματικού στερεώματος της περιόδου αυτής.

       Ο μέγας Αρχιμήδης, έγραψε πέραν των 41 συγγραμμάτων από τα οποία λιγότερα των 20 διασώθηκαν. Σε αυτά φαίνεται όχι μόνο το θεωρητικό μαθηματικό του έργο, αλλά και οι σημαντικές πρακτικές εφαρμογές που ο σοφός συρακούσιος επέτυχε. Στα καθαρά θεωρητικά του έργα περιλαμβάνονται τα συγγράμματα «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», «Κύκλου Μέτρησις» «Περί του επταγώνου» «Βοεικόν Πρόβλημα» Περί των επιψαυόντων κύκλων» «αρχαί της γεωμετρίας» και άλλα που δεν σώθηκαν. Ο Αρχιμήδης προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, υπολόγισε προσεγγιστικά το π με βάση τις περιμέτρους των εγγεγραμμένων και των περιγεγραμμένων κανονικών σχημάτων, υπολόγισε το εμβαδόν στερεών που παράγονται από την περιστροφή κωνικών τομών, χρησιμοποίησε δευτεροβάθμιες και τριτοβάθμιες εξισώσεις για υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνιας και του όγκου στερεών όπως της σφαίρας, του κυλίνδρου και του κώνου. Ο Συρακούσιος σοφός χρησιμοποιούσε μεθόδους που πλησιάζουν τον σύγχρονο απειροστικό λογισμό. Δεν ήταν βέβαια ο πρώτος αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που έκανε αυτό το άλμα. Έχουμε ήδη αναφέρει τον Εύδοξο όμως ο συρακούσιος βελτίωσε περισσότερο τις σχετικές μεθόδους του Κνίδιου σοφού.

     Την ίδια περίοδο (3^ος – 1^ος αιώνας π.Χ. ) παρουσιάζονται και άλλες μαθηματικές ιδιοφυίες στον ελληνιστικό κόσμο. Η Σάμος γεννά τον Αρίσταρχο, ο οποίος πρώτος χρησιμοποίησε την τριγωνομετρία για να μετρήσει την απόσταση γης ήλιου. Η θεωρητική σύλληψη ήταν σωστή, όμως δεν μπορούσε να ξέρει τις γωνίες και έτσι η πρόβλεψη του δεν ήταν σωστή, αν συγκριθεί με όσα γνωρίζουμε σήμερα. Ο Σάμιος σοφός όμως πρώτος αυτός δημιούργησε την ηλιοκεντρική θεωρία. Όταν όλοι οι άλλοι έθεταν τη γη ως κέντρο του σύμπαντος, αυτός διείδε ότι ο πλανήτης μας περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο. 18 αιώνες πριν τον Κοπέρνικο, το ελληνικό πνεύμα είχε αυτή την τεράστια επιτυχία, η οποία ελάχιστα είναι γνωστή ακόμα και σήμερα. Ο Ερατοσθένης από την Κυρήνη της Βορείου Αφρικής, μελέτησε τους πρώτους αριθμούς τους οποίους προσδιόρισε με το περίφημο κόσκινο του. Ακόμα μέτρησε με σημαντική ακρίβεια το μήκος της περιφέρειας της γης στηριζόμενος στην μαθηματική θεωρία των ομοίων τριγώνων. Ο Απολλώνιος από την Παμφυλία έγραψε δεκάδες γεωμετρικά συγγράμματα, υποδιαιρούμενα σε επιμέρους βιβλία, από οποία σώθηκαν 4, και αποσπάσματα των υπολοίπων. Μελέτησε τους επίπεδους γεωμετρικούς τόπους και καθόρισε τον κύκλο που φέρει το όνομα του ( Απολλώνιος κύκλος ) .Η περιφέρεια αυτή αποτελεί τον γεωμετρικό τόπο των (μεταβλητών) σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από 2 άλλα σταθερά σημεία, έχουν σταθερό αμετάβλητο λόγο, διάφορο της μονάδας. Στο βιβλίο του «Περί νεύσεων» ο μέγας γεωμέτρης διαπραγματεύεται το εξής πρόβλημα:

«Δοθείσων γραμμών θέσει, θείναι μεταξύ τούτων ευθείαν τω μεγέθει δεδομένην νεύουσα επί δοθέν σημείων »

Στο σύγγραμμα του «Ωκυτόκιο» μελέτησε αλγόριθμους ταχύας εκτέλεσης πράξεων και έδωσε προσεγγίσεις του π. Στο έργο του σύγκριση (κανονικών) εικοσαέδρου και δωδεκαέδρου, απόδειξε ότι ο λόγος των όγκων των δύο στερεών, εγγεγραμμένων στην ίδια σφαίρα, ισούται με τον λόγο των επιφανειών τους. Ο σοφός γεωμέτρης έλυσε το δήλιο πρόβλημα αλλά και το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αν και η δεύτερη λύση δεν διασώθηκε. Μνημονεύεται όμως από τον Ιάμβλιχο. Στο έργο του «Κωνικά», μνημείο της μαθηματικής επιστήμης καί ίσως η μεγαλύτερη πνευματική κληρονομιά που μας άφησε, αποτελούμενο από 8 βιβλία μελέτησε τις κωνικές τομές και τους έδωσε τα ονόματα με τα οποία είναι γνωστές μέχρι σήμερα δηλαδή έλλειψη, παραβολή και υπερβολή. Διατύπωσε πέραν των 200 θεωρημάτων, διατυπώνοντας ότι είχε να διατυπωθεί στον τομέα αυτό σχετικά με τις εξισώσεις κανονικές και παραμετρικές των κωνικών τομών. Έχει λεχθεί ότι οι αρχές της αναλυτικής γεωμετρίας διατυπώθηκαν τον 17^ο αιώνα από τον Καρτέσιο. Η αλήθεια είναι ότι ο Καρτέσιος στηρίχθηκε, μεταξύ άλλων στις εργασίες του Απολλώνιου για να διατυπώσει τις αρχές αυτές.

     Ο Απολλώνιος ασχολήθηκε επίσης με την αστρονομία, την μηχανική και την κατασκευή μουσικών οργάνων. Η παρουσίαση όμως αυτών των πτυχών του έργου του ξεφεύγει των σκοπών αυτής της μελέτης.

         Ο Ίππαρχος (190- 120 π.Χ) είναι ένας των μεγαλύτερων αστρονόμων της αρχαιότητας, χαρτογραφώντας τον ουρανό, γράφοντας καταλόγους των άστρων, μετρώντας τη διάρκεια του έτους και υπολογίζοντας το κοσμικό έτος των 25800 ετών που χρειάζεται ο άξονας της γης για να συμπληρώση την κίνηση του γύρω από το κέντρο της γης, κίνηση που είναι γνωστή ως «μετάπτωση των ισημεριών» Τα θαυμαστά αυτά κατορθώματα, που αποτελούν θεμελιώδεις γεωμετρικές γνώσεις ως σήμερα, ο Ίππαρχος στήριξε στις μεγάλες μαθηματικές ανακαλύψεις του. Αυτές είναι η χρήση των σφαιρικών συντεταγμένων, η επέκταση της τριγωνομετρίας στα καμπυλόγραμμα τρίγωνα της νοητής ουράνιας σφαίρας, η μέτρηση των γωνιών και των αποστάσεων στον ουρανό με τη διόπτρα και τον αστρολάβο κ.α. Όμως και την επίπεδο γεωμετρία εμελέτησε, υπολογίζοντας την πλευρά των κανονικών 9 γώνων και 12 γωνων συναρτήσει της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Δυστυχώς από τα δεκάδες συγγράμματα που έγραψε μόνο 2 έχουν σωθεί.

      Τελευταίος, αλλά όχι υποδεέστερος των άλλων μαθηματικών της αλεξανδρινής περιόδου ο Μενέλαος. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι η επέκταση της επίπεδης γεωμετρίας, στα καμπυλόγραμμα τρίγωνα. Το έργο του «σφαιρικά» ασχολείται με παρόμοια θέματα όπως τον Ίππαρχο. Πρώτος απέδειξε ότι το άθροισμα των γωνιών καμπυλόγραμμου τριγώνου που σχηματίζεται πάνω σε σφαιρική επιφάνια είναι μεγαλύτερο της πεπλατυσμένης γωνίας.

Η Ρωμαϊκή περίοδος των ελληνικών μαθηματικών έχει να παρουσιάσει εξαίρετους μαθηματικούς, που παρουσίασαν πρωτότυπο έργο, αλλά και σχολιαστές, που μελέτησαν κατέγραψαν και συστηματοποίησαν το έργο των συναδέλφων τους. Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός σίγουρα ανήκει στο πρώτο είδος. Είναι ένας από τους πλέον γνωστούς μηχανικούς της αρχαιότητας, ο εφευρέτης της ατμομηχανής, διαφόρων αυτομάτων αγαλμάτων και άλλων ποικίλων αξιοθαύμαστων μηχανών. Όμως ο Ήρωνας δεν ήταν μόνο μηχανικός αλλά και μεγάλος θεωρητικός των μαθηματικών. Στο έργο του διόπτρα παραθέτει τις αρχές της τοπογραφίας και αναδεικνύει, μέσω των προβλημάτων που παραθέτει τρόπους μέτρησης αποστάσεων στις 3 διαστάσεις και ουσιαστικά θεμελιώνει την χαρτογραφία.

         Στο έργο του «Μετρικά», αποτελούμενο από 3 βιβλία ασχολείται με τη γεωμετρία και τη στερεόμετρία. Υπολογίζει τα στοιχεία κανονικών εγγεγραμμένων σχημάτων και εμβαδά διαφόρων ευθυγράμμων σχημάτων. Διατυπώνει τύπους για εύρεση του όγκου κανονικών και μη κανονικών στερέων. Υπολογίζει το εμβαδόν τριγώνου με βάση την ημιπερίμετρο και τις πλευρές του με βάση τον τύπο Ετρ= √τ (τ-α) (τ-β) τ-γ) που φέρει το όνομα του. Στον τύπο αυτό τ είναι  το μήκος της  ημιπεριμέτρου, α, β, γ το μήκος των τριών πλευρών του τριγώνου.  Την δόξα για την ανακάλυψη του τύπου αυτού μοιράζεται ο Ήρωνας με τον Αρχιμήδη. Ο Ήρωνας ανέπτυξε μαθηματικούς τύπους που δίνουν, κατά προσέγγιση, τετραγωνικές και κυβικές ρίζες μη τετραγώνων ή κυβικών αντίστοιχα αριθμών.Έστω Α μη τετράγωνος αριθμός και α² ο πλησιέστερος τετράγωνος αριθμός ούτως ώστε Α= α² +β ( α, β θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Ο Ήρωνας διατύπωσε τον εξής τύπο, με βάση το σύγχρονο συμβολισμό των μαθηματικών, που δίνει την √Α

√Α= ¼ { (α²+Α) ² + 4α²Α } / {α (α² + Α ) }

Ο τύπος αυτός δίνει μια ικανοποιητική προσέγγιση της √Α όμως ο Ήρωνας μπορούσε να επεκτείνει τον τύπο αυτό, με δοσμένη μεθοδολογία, για να βρει όσο καλύτερες προσεγγίσεις ήθελε. Ανάλογο τύπο διατύπωσε και για τον υπολογισμό των κυβικών ριζών, τον οποίο όμως δεν θα παραθέσω για να μην επεκταθεί υπέρ το δέον το εισαγωγικό μας κεφάλαιο. Γεγονός πάντος παραμένει ότι ο Αλεξανδρινός σοφός συνδύαζε τη θεωρητική γνώση των μαθηματικών με τις πρακτικές εφαρμογές τους, αυτό δε ήταν το μέγιστο πλεονέκτημα του μεγάλου διανοητή.

        Τον 2^ο αιώνα μ.Χ. στο στερέωμα των ελληνικών μαθηματικών λάμπει το περίλαμπρο άστρο του Κλαύδιου Πτολεμαίου, ο οποίος έμεινε γνωστός ως αστρονόμος κυρίως και δευτερευόντος ως μαθηματικός. Το σύγγραμμα του «Μαθηματική Σύνταξη» αποτελούμενο από 13 βιβλία απετέλεσε την «Αγία Γραφή» της αστρονομίας μέχρι την αναγέννηση. Σε αυτό εξηγεί με μαθηματικό τρόπο, τη διάρκεια του έτους, τις φάσεις της σελήνης, το φαινόμενο της έκλειψης ήλιου και σελήνης , την τροχιά των γνωστών πλανητών. Το λάθος του Πτολεμαίου ήταν ότι, σε αντίθεση με τον Αρίσταρχο, δημιούργησε ένα γεωκεντρικό και όχι ηλιοκεντρικό σύστημα, μαθηματικά άψογο που όμως δεν αναπαραστούσε την πραγματικότητα. Στο κέντρο του σύμπαντος έθεσε την γη. Δημιούργησε κατόπιν ομόκεντρους κύκλους γύρω από αυτήν. Στις περιφέρειες των κύκλων έθεσε το κέντρο της τροχιάς του ήλιου και των πλανητών, τοποθετώντας κάθε ουράνιο σώμα σε διαφορετική περιφέρεια.Το κέντρο των τροχιών των ουρανίων σωμάτων κινείται επί της αντίστοιχης περιφέρειας, τα ίδια δε τα σώματα αυτά κινούνται επί κυκλικών τροχιών γύρω από τις περιφέρειες. Τις τροχιές αυτές ονόμασε επίκυκλους.

       Ο Πτολεμαίος ήταν γνώστης της τριγωνομετρίας, είχε δε δημιουργήσει πίνακες με τριγωνομετρικούς αριθμούς τους οποίους χρησιμοποιούσε στην αστρονομία. Γνώριζε την έννοια των ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων, παρόλο που χρησιμοποιούσε διαφορετικά ονόματα. Οι ακόλουθοι τύποι, με τη σημερινή τους μορφή, του ήταν επίσης γνωστοί:

Ημ2χ = 2 ημχσυνχ ,    ημ(χ±ψ)= ημχσυνψ±ημψσυνχ,

συν(χ±ψ)= συνχσυνψ±ημχημψ     συν 2χ = 1 – 2ημ²Χ .

 Με αυτούς ήξερε να βρίσκει τριγωνομετρικούς αριθμούς, πολλαπλασίων και υποδιαιρέσεων γωνιών, από τις 0 μέχρι τις 180 μοίρες για αστρονομικές εφαρμογές. Μελέτησε και τα κανονικά εγγεγραμμένα σχήματα, ιδίως το πεντάγωνο και το δεκάγωνο και υπολόγισε με ακρίβεια το μέγεθος των πλευρών και των γωνιών τους. Έγραψε και πρωτότυπα γεωγραφικά έργα, το περιεχόμενο των οποίων ξεφεύγει των σκοπών της μελέτης αυτής.

      Πριν τα σκοτάδια του μεσαίωνα κατακτήσουν το πνευματικό στερέωμα, ακόμα δύο ήλιοι πρώτου μεγέθους έλαμψαν στον ελληνικό μαθηματικό ουρανό. Ο Πάππος από την Αλεξάντρεια, συνόψισε και συμπλήρωσε το έργο των παλαιότερων μαθηματικών, στο οκτάτομο σύγγραμμα του «Μαθηματική Συναγωγή. Ασχολήθηκε με τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, παρουσιάζοντας τις λύσεις που δόθηκαν στο παρελθόν καθώς και τις δικές του προσεγγίσεις, ιδίως στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας. Μελέτησε τις ιδιότητες των ισοπεριμετρικών σχημάτων και απέδειξε ότι ανάμεσα στα ισομετρικά επίπεδα σχήματα, το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει ο κύκλος. Διατύπωσε και απέδειξε ότι αν περιστρέψουμε επιφάνια γύρω από άξονα παράγεται όγκος ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της επιφάνιας επί την απόσταση που διανύει το κέντρο βάρους της επιφάνιας κατά την περιστροφή του. Το θεώρημα αυτό επαναδιατύπωσε με βάση τον σύγχρονο μαθηματικό συμβολισμό ο μαθηματικός Gulding. Ο Πάππος έγραψε και άλλα έργα, αποσπάσματα των οποίων διασώθηκαν μέσω των αραβικών μεταφράσεων τους. Με βάση αυτά, συμπεραίνουμε ότι ο Αλεξανδρινός μαθηματικός δεν ασχολήθηκε μόνο με την γεωμετρία αλλά και με την αριθμητική. Συγκεκριμμένα μελέτησε τις ιδιότητες των άρρητων αριθμών συμπληρώνοντας σε κάποια σημεία ανάλογες προτάσεις των Στοιχείων του Ευκλείδη.

      Αν ο Ηρόδοτος μπορεί να ονομαστεί πατέρας της Ιστορίας, ο Διόφαντος άνετα θα μπορούσε να λάβει τον τίτλο του πατέρα της θεωρητικής αριθμητικής (άλγεβρας) Στο σύγγραμμα του «Αριθμητικά» αποτελούμενο από 13 βιβλία, παρουσιάζει και λύνει προβλήματα με εξισώσεις και συστήματα. Πρώτος διερεύνησε τη λύση εξισώσεων 1^ου βαθμού της μορφής αχ+βψ=γ , προσδιόρισε τις ακέραιες και όχι μόνο λύσεις της, έλυσε συστήματα με τη χρήση παραμέτρων. Ακόμη και σήμερα η επίλυση εξίσωσης με περισσότερους του ενός αγνώστου και ο προσδιορισμός των ακεραίων λύσεων της καλείται «διοφαντική ανάλυση. Η εύρεση των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης β΄ βαθμού  χ² + ψ² = ζ² πραγματοποιήθηκε από το Διόφαντο με τη χρήση της ταυτότητας

(2αβ) ²+ (α² - β²)² = ( α² + β² ) ²

Με αυτήν ο μέγας αλεξανδρινός μαθηματικός προσδιόρισε, με την χρήση των παραμέτρων α, β πίνακες ακεραίων λύσεων του πυθαγόρειου θεωρήματος. Ο Διόφαντος ήξερε τους κανόνες πολλαπλασιασμού των θετικών και των αρνητικών αριθμών. Εκφράζει το θετικό γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών με την εξής φράση που διασώθηκε στα αριθμητικά του:

« Λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξιν»

Πέραν των εξισώσεων ο Διόφαντος διερεύνησε ανισώσεις 1^ου και 2^ου βαθμού. Σήμερα, διασώζονται λιγότερα των μισών από τα βιβλία των «Αριθμητικών». Είχε άραγε ασχοληθεί ο μέγας μαθηματικός με πολυωνυμικές εκφράσεις βαθμού ανωτέρου του δευτέρου; Ίσως το μάθουμε κάποτε με την ανακάλυψη κάποιου ξεχασμένου παπύρου. Μετά την επικράτηση του χριστιανισμού το έργο του Διόφαντου πήραν οι Άραβες, το μετέφρασαν στην γλώσσα τους και αλλάζοντας μόνο το συμβολισμό, διαμόρφωσαν την άλγεβρα με τη σημερινή της μορφή. Όμως η θεωρητική αριθμητική, γιατί αυτό είναι το ελληνικό όνομα της άλγεβρας δεν γεννήθηκε στην Αραβία. Είναι δημιούργημα των ελλήνων μαθηματικών της Αιγύπτου, από την Αλεξανδρινή περίοδο, μέχρι περίπου το 300 μ.Χ.

      Μετά τον Διόφαντο και τον Πάππο, δεν έχουμε άλλους Έλληνες Μαθηματικούς με πρωτότυπο μαθηματικό έργο. Έχουμε όμως ικανούς μελετητές και γνώστες, που στα συγγράμματα τους αναδεικνύουν ότι ήδη έχει επιτευχθεί.Έτσι ο Σερήνος τον 4^ο αιώνα μ.Χ. σχολιάζει στα συγγράμματα του τον Απολλώνιο και τις κωνικές τομές, ο Θέωνας από την Αλεξάνδρεια και η κόρη του η Υπατία, η οποία σφαγιάστηκε από τους οπαδούς του Κύριλλου Αλεξαντρείας επειδή ήταν εθνική, παρουσιάζουν στα κείμενα τους το έργο των Ευκλείδη, Πτολεμαίου, Απολλώνιου και Διόφαντου.Τον 5^ο αιώνα τέλος ο Πρόκλος, ένας από τους τελευταίους σχολάρχες της Πλατωνικής Ακαδημίας γράφει σχόλια και επεκτάσεις στα στοιχεία του Ευκλείδη.Από τα αποσπάσματα που σώθηκαν διαφαίνεται η ουσιαστική του γνώση της επιστήμης των αριθμών.Παρόμοιο έργο καθώς και τη βιογραφία του προκατόχου του στην Ακαδημία, έγραψε και ο διάδοχος του στον οίκο του Πλάτωνα Μαρίνος.Αλίμονο όμως! Οι μέρες της Ακαδήμιας και των αρχαίων μαθηματικών ήταν μετρημένες. Ο κυρίαρχος από δύο αιώνες χριστιανισμός δεν συμπαθεί τα μαθηματικά και αυτή είναι η επιεικέστερη έκφραση που θα μπορούσα να βρώ. Ο Μεσαίωνας βυθίζει την επιστήμη των αριθμών σε ένα χιλιόχρονο λήθαργο, μέχρι την αναγέννηση που σηματοδοτεί την ανάσταση τους.