Γυμνάσματα επί της ακολουθίας Fibonacci Μέρος Γ.

 Τύπος υπολογισμού n-οστου όρου ακολουθίας Fibonacci εκ του n:

Αn=1+{[2^(n-3)] – [2^(n-6)] [(n-5)!/(n-6)!] +[2^(n-9)] [n-7]!/[(n-9)!.2!] –[2^(n-12)] [n-9]! /[(n-12)!3!] +[2^(n-15)] [n-11]!/ [(n-15)!4!]   .........}

Όπου όλα τα παραγοντικά και οι δυνάμεις είναι θετικοί αριθμοί ή μηδέν

Απόδειξη με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής:

1. Έλεγχος για αρχικές τιμή n = 1,  n = 2,   n = 3

Α1 = 1 και Α2 = 1 και  Α3 = 1 + 2^(3-3)] = 1 +1 = 2   άρα ισχύει.

2. Διατύπωση επαγωγικής υπόθεσης:

Έστω ότι ο προς απόδειξη τύπος ισχύει για n = κ και  n = κ+1 και n = κ+2 όπου κ φυσικός αριθμός. Γράφουμε τους τύπους που προκύπτουν:

Ακ=1+{[2^(κ-3)] – [2^(κ-6)] [(κ-5)!/(κ-6)!] +[2^(κ-9)] [κ-7]!/[(κ-9)!.2!] –[2^(κ-12)] [κ-9]! /[(κ-12)!3!] +[2^(κ-15)] [κ-11]!/ [(κ-15)!4!]  -[2^(κ-18)] [κ-13]!/ [(κ-18)!5!]    .........

Ακ+1=1+{[2^(κ-2)] – [2^(κ-5)] [(κ-4)!/(κ-5)!] +[2^(κ-8)] [κ-6]!/[(κ-8)!.2!] –[2^(κ-11)] [κ-8]! /[(κ-11)!3!] +[2^(κ-14)] [κ-10]!/ [(κ-14)!4!]  -[2^(κ-17)] [κ-12]!/ [(κ-17)!5!]    .........

Ακ+2=1+{[2^(κ-1)] – [2^(κ-4)] [(κ-3)!/(κ-4)!] +[2^(κ-7)] [κ-5]!/[(κ-7)!.2!] –[2^(κ-10)] [κ-7]! /[(κ-10)!3!] +[2^(κ-13)] [κ-9]!/ [(κ-13)!4!]  -[2^(κ-16)] [κ-11]!/ [(κ-16)!5!]    .........

3. Απόδειξη για n = κ + 3

Ακ+3= 2 Ακ+2 +  Ακ

→ Ακ+3= 2   +{[2^(κ)] – [2^(κ-3)] [(κ-3)!/(κ-4)!] +[2^(κ-6)] [κ-5]!/[(κ-7)!.2!] –[2^(κ-9)] [κ-7]! /[(κ-10)!3!] +[2^(κ-12)] [κ-9]!/ [(κ-13)!4!]  -[2^(κ-15)] [κ-11]!/ [(κ-16)!5!]    - 1-{[2^(κ-3)] – [2^(κ-6)] [(κ-5)!/(κ-6)!] +[2^(κ-9)] [κ-7]!/[(κ-9)!.2!] –[2^(κ-12)] [κ-9]! /[(κ-12)!3!] +[2^(κ-15)] [κ-11]!/ [(κ-15)!4!]  -[2^(κ-18)] [κ-13]!/ [(κ-18)!5!]    .........}

→ Ακ+3= 1 +{ (2^κ) - [2^(κ-3)][ (κ -2 )!/ (κ-3)!] +[2^(κ-6)] [ (κ-4)!/ (κ-6)!.2!] –[2^(κ-9)] [ (κ-6)!/ (κ-9)! 3! ] +[2^(κ-12)] [κ-8]!/ [(κ-12)!4!]  -[2^(κ-15)] [κ-10]!/ [(κ-15)!5!].....}

Έχουμε αποδείξει ότι ισχύει για n = κ + 3, και άρα ισχύει για κάθε n.

Παραδείγματα:

Α10 = 1+{[2^(7)] – [2^(4)] [(5)!/(4)!] +[2^(1)] [3]!/[(1)!.2!] }

→ Α10 = 1 + [128 – 16.5 + 6 ]

→ Α10 = 1 + 54

→ Α10 =  55

Α15 = 1+{[2^(12)] – [2^(9)] [(10)!/(9)!] + [2^(6)] [8]!/[(6)!.2!] -[2^(3)] [6]!/[(3)!.3!] +[2^(0)] [4]!/[(0)!.4!]  } = 1 + 4096 – 5120 + 1792 – 160 +1 = 610

Α20 = 1+{[2^(17)] – [2^(14)] [(15)!/(14)!] +[2^(11)] [13]!/[(11)!.2!] –[2^(8)] [11]! /[(8)!3!] +[2^(5)] [9]!/ [(5)!4!] -[2^(2)] [7]!/ [(2)!5!]  }

Α20 = 1+[131072 – (16384. 15 ) + (2048.78) – ( 256. 165) + (32.126) – (4. 21)]

Α20 = 1+[131072 – 245760 + 159744 – 42240 + 4032 – 84 ]

Α20 = 1+[6764]

Α20 = 6765

 Να υπολογιστεί το άθροισμα των n όρων της ακολουθίας Fibonacci εκ του n:

 n

ΣΑr  = Αn+2    - 1

1

Από την (15) όμως προκύπτει ότι :  

Αn+2=1+{[2^(n-1)] – [2^(n-4)] [(n-3)!/(n-4)!] +[2^(n-7)] [n-5]!/[(n-7)!.2!] –[2^(n-10)] [n-7]! /[(n-10)!3!] +[2^(n-13)] [n-9]!/ [(n-13)!4!]   .........}

Συνδυάζοντας τους δύο τύπους έχουμε:

n

ΣΑr  = {[2^(n-1)] – [2^(n-4)] [(n-3)!/(n-4)!] +[2^(n-7)] [n-5]!/[(n-7)!.2!] –[2^(n-10)] [n-

1

7]! /[(n-10)!3!] +[2^(n-13)] [n-9]!/ [(n-13)!4!]   .........}

Παράδειγμα 1

Να υπολογιστεί το άθροισμα των έξι πρώτων όρων της χρυσής ακολουθίας

6

ΣΑr  ={(2^5) – (2²) [3!/2!] = 32 – 12 = 20

1

Πράγματι: 1+1+2+3+5+8 = 20

Παράδειγμα 2

Να υπολογιστεί το άθροισμα των εννιά πρώτων όρων της χρυσής ακολουθίας

9

ΣΑr  ={(2^8) – (2^5) [6!/5!] + [ 2². (4!/2!.2!)]= 256 – 192 + (96/4) = 64+24 = 88

1

Πράγματι: 1+1+2+3+5+8 +13 +21 +34  = 88