Λύσεις του προβλήματος της Χρυσής Τομής με χάρακα και διαβήτη

              Πως μπορούμε να διαιρέσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε 2 άνισα τμήματα , κατά τον πλέον αισθητικά άψογο τρόπο ; Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν ότι το σημείο τομής του δεδομένου τμήματος θα το εχώριζε σε 2 άνισα τμήματα . Ο χωρισμός θα έδινε το καλύτερο αισθητικό αποτέλεσματα αν ο λόγος του μήκους του μικρού τμήματος προς το μεγάλο , ήταν ίσος προς το λόγο του μήκους του μεγάλου τμήματος προς το συνολικό μήκος του ευθυγράμμου τμήματος. Ο Ευκλείδης , στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων , στο 2^ο θεώρημα , περιγράφει το πρόβλημα της χρυσής τομής ως εξής:

« Να τμηθή δοθείσα ευθεία ούτως , ώστε το ορθογώνιο το περιεχόμενο υπό της όλης ευθείας και ενός των τμημάτων της να είναι ίσον προς το τετράγωνο του λοιπού τμήματος »

Αλγεβρική λύση του προβλήματος της χρυσής τομής:

     Ας γράψουμε γεωμετρικό τμήμα ΑΒ , και ας πάρουμε σημείο Γ πάνω σ’ αυτό τέτοιο ώστε ΑΓ>ΓΒ και ΑΓ/ΓΒ = ΑΒ/ΑΓ  ή ΑΒ.ΓΒ= ΑΓ² . Αν Θέσουμε ότι ΑΓ= χ και ΓΒ=α τότε προκύπτει η δευτεροβάθμιος , ως προς το χ εξίσωση ( χ + α ). α = χ ² ή  χ ² - αχ - α² = 0 Αν λύσουμε την εξίσωση αυτή προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές :

χ = [α + √( α ²+4α²)]/2  ⇒ χ = α ( 1 + √5)/2       

χ = [α - √( α ²+4α²)]/2  ⇒ χ = α ( 1 - √5 )/2 

Προφανώς η δεύτερη δεν μπορεί να αντιπροσωπεύει την τιμή του χ γιατί είναι αρνητική και άρα η τιμή του χ αντιπροσωπεύεται από την πρώτη τιμή που είναι , μετά την εκτέλεση των σχετικών

πράξεων ίση με 1,618.... φορές το α. Ο άρρητος αριθμός 1,618... είναι λοιπόν ο αριθμός της χρυσής τομής , ο οποίος συμβολίζεται με το γράμμα Φ . Αυτός ο συμβολισμός έγινε προς τιμή του αρχαίου Έλληνα γλύπτη Φειδία , του οποίου τα έργα άγγιξαν την αισθητική τελειότητα.

       Ένα ευθύγραμμο τμήμα , θεωρείται λοιπόν ως τμηθέν κατά χρυσή τομή , αν τα 2 τμήματα του έχουν λόγο Φ/1 ή 1,618033989...../1.

Γεωμετρική λύση του προβλήματος της χρυσής τομής:

         Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες έλυσαν το πρόβλημα της χρυσής τομής με τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη . Κατωτέρω θα δώσω 4 χαρακτηριστικές λύσεις. Η πρώτη δόθηκε από τον Ευκλείδη , με τη χρήση του θεωρήματος της δύναμης σημείου ως προς κύκλο.

Η απόδειξη του Ευκλείδη:

 Στο τρίτο βιβλίο των Στοιχείων του , με την πρόταση 36 περιγράφει έτσι την λύση του προβλήματος :

Μέ κέντρο Ο και ακτίνα α/2  κατασκευάζουμε κύκλο. Ακολούθως σχηματίζουμε εφαπτομένη ευθεία , που εφάπτεται στο τυχαίο σημείο Α του κύκλου , και παίρνουμε πάνω της τμήμα ΑΒ ίσο με τη διάμετρο του κύκλου. Ύστερα σύρουμε το τμήμα ΒΔ που περνά από το κέντρο Ο του κύκλου και τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ ( Βλέπε σχήμα )
Από το θεώρημα της δύναμης σημείου ως προς κύκλο , όπως εφαρμόζεται για το σημείο Β έχουμε: ΑΒ²= ΒΓ.ΒΔ . Αν θέσουμε ΒΓ = χ , και δεδομένου ότι ΒΔ= ΒΓ+ΓΔ και ΑΒ=ΓΔ=α ⇒ α²=χ.(α+χ) ή α/χ = (α+χ)/α = Φ . Προφανώς το σημείο Γ τέμνει το τμήμα ΒΔ κατά χρυσή τομή . Αν με κέντρο το σημείο Β και ακτίνα ΒΓ = χ σχηματίσουμε το τμήμα ΒΕ= ΒΓ= χ , τότε το σημείο Ε τέμνει το ΑΒ κατά χρυσή τομή. Πράγματι  α/χ = (α+χ)/α ⇒ (α/χ) –1 = [(α+χ)/α ]- 1 ⇒ (α-χ)/χ = χ/α ⇒ χ/(α-χ) = α / χ = (α + χ)/α = Φ. 

Η απόδειξη των Πυθαγορείων:

       Η ακόλουθη γεωμετρική απόδειξη , του χωρισμού δοθέντος τμήματος κατά χρυσή τομή , αποδίδεται στον Πυθαγόρα από τους μαθητές του. Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά ΑΒ=α . Ακολούθως βρίσκουμε το μέσον της ΑΔ , το οποίο ονομάζουμε Ε. Με την βοήθεια του διαβήτη γράφουμε τμήμα ΕΖ = ΕΒ , πάνω στην προέκταση της ΔΑ. Έπειτα γράφουμε τμήμα ΑΗ = ΑΖ επί της ΑΒ. Το σημείο Η , τέμνει την πλευρά ΑΒ κατά χρυσή τομή.(Βλέπε σχήμα  ) Πράγματι αφού Ε είναι το μέσον της ΔΑ ⇒ ΕΑ=α/2 . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑΒ γνωρίζουμε επίσης ότι ΑΒ=α. Όμως ΕΑ² + ΑΒ² = ΕΒ² , λόγω του Πυθαγορείου θεωρήματος και άρα ΕΒ = α.√5 / 2 . Αφού ΕΖ= ΕΒ και ΑΖ= ΕΖ – α/2= ΑΗ ⇒ ΑΗ = α.( √5  - 1 ) / 2 και άρα ΗΒ= α (3 - √5 ) / 2 . Τελικά προκύπτει ότι ΑΗ / ΗΒ = [ α ( √5 – 1 ) / 2 ] / [ α ( 3 - √ 5 ) /2 ] . Με εκτέλεση των πράξεων προκύπτει ότι ΑΗ/ΗΒ = ( √5 – 1 ) / ( 3 - √5 ) = ( √5 + 1 ) / 2 = Φ . Όπως έχει αποδεικτεί, το σημείο Η αποτελεί τη χρυσή τομή της πλευράς ΑΒ . Προφανώς ο χωρισμός της πλευράς του τετραγώνου , κατά χρυσή τομή , έχει επιτευχθεί με χρήση μόνο χάρακα και διαβήτη.

3^η λύση:

         Γράφουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=α , του οποίου θέλουμε να βρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ/ΓΒ=Φ. Για να το πετύχουμε εργαζόμαστε ως εξής: Φέρουμε κάθετο ΒΔ στο ΑΒ μήκους α.   ( ΒΔ=ΑΒ=α )  . Ακολούθως ενώνουμε το Δ με το μέσο της ΑΒ , το οποίο ονομάζουμε Ε. Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι ΔΕ=(√5 / 2 ) α . Επεκτείνω την ΑΒ , προς την μεριά του Β κατά τμήμα ΒΖ τέτοιο ώστε ΕΖ= ΔΕ=(√5 / 2 ) α . Η επέκταση ΒΖ =[(√5-1) / 2 ] α. Αν τέλος πάρω επί του ΑΒ τμήμα ΑΓ τέτοιο ώστε ΑΓ = ΒΖ , τότε το σημείο Γ αποτελεί την χρυσή τομή του ΑΒ.

Απόδειξη:

ΑΒ=α , ΑΓ=[(√5-1) / 2 ] α ⇒ΓΒ=[(3-√5) / 2 ] α. ⇒ΑΓ/ΓΒ={[(√5-1) / 2 ] α} /{[(3-√5) / 2 ] α}=(√5+1) / 2 =Φ. Επίσης ΑΒ/ΑΓ= α /[(√5-1) / 2 ] α= 2/(√5-1)= (√5+1) / 2 =Φ και αφού ΑΓ=ΒΖ⇒ΑΒ/ΒΖ=Φ και Β η χρυσή τομή του ΑΖ. Επίσης ΑΖ/ΑΒ=Φ.

4^η λύση:

Έστω το τμήμα ΑΒ=2α . Σχηματίζουμε την μεσοκάθετο του ΑΒ που το τέμνει στο Γ. Επί της μεσοκαθέτου παίρνουμε τμήματα ΓΔ και ΓΕ , ίσα με α. Ακολούθως βρίσκουμε τα μέσα των τμημάτων ΑΓ και ΓΒ που τα ονομάζουμε αντίστοιχα Ζ και Η . Φέρουμε τα τμήματα ΔΖ και ΔΗ . Επί του ΔΖ φέρουμε τμήμα ΔΘ=ΑΖ = α/2. Επι του ΑΓ παίρνουμε τμήμα ίσο με Ζθ το οποίο τέμνει το ΑΓ στο Κ . Το Κ είναι η χρυσή τομή του ΑΓ. Φέρουμε ΚΛ= ΑΚ. Το Λ είναι η χρυσή τομή του ΑΒ.

Απόδειξη: 

Δεδομένα: ΑΓ=ΓΒ=ΓΔ=ΓΕ=α , ΑΖ=ΖΓ=ΓΗ=ΗΒ=ΔΘ=α/2 Ζητούμενα : Η χρυσή τομή του ΑΓ και του ΑΒ.

ΔΖ= (√5 / 2 ) α  γιατί είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου ΓΔΖ. ΔΖ= ΔΘ+ΘΖ , ΔΘ=α/2 ⇒ΘΖ= α[(√5-1) / 2 ] . Παίρνουμε τμήμα ΑΚ=ΘΖ επί του ΑΓ. Το Κ είναι η χρυσή τομή του ΑΓ αφού ΑΚ/ΚΓ= α[(√5-1) / 2 ] /[α(3-√5)/2]= (√5+1) / 2 =Φ . Όμοια αν πάρουμε ΚΛ=ΑΚ επί της ΑΒ ⇒ΑΛ= α(√5-1)  ⇒ΑΛ/ΛΒ= α(√5-1) / α(3-√5)= (√5+1) / 2 =Φ  ⇒ Λ η χρυσή τομή του ΑΒ.