Η σοφιστική σκέψη ως αντίποδας της Ελεατικής Σχολής

Η μελέτη του κόσμου δια των αισθήσεων, ο ανθρωποκεντρισμός και η σχετικοκρατία είναι χαρακτηριστικά των σοφιστών που έρχονται σε αντίθεση με τον λογικοκρατούμενο κόσμο των Ελεατών. Ο σοφιστής Γοργίας προσπάθησε να γελοιοποιήσει τη θεωρία του Παρμενίδη υποστηρίζοντας τα ακόλουθα που βρίσκονται στον αντίποδα των θέσεων του Ελεάτη στοχαστή:

1. Είτε υπάρχει το μηδέν, ή, διαζευκτικά δεν υπάρχει τίποτε. Η διάζευξη αποδεικνύει τη σχετικότητα των θέσεων, αφού δύο ενδεχόμενα αντιθετικά είναι ανοικτά.

2. Αν υπάρχει κάτι σ’ αυτό τον κόσμο δεν μπορούμε να το γνωρίσουμε, ακόμα όμως και να το γνωρίζαμε δεν μπορούμε να μεταδώσουμε τη γνώση αυτή στους άλλους, γιατί η παρεμβολή του εαυτού μας και των λέξεων  αλλοιώνει το μήνυμα.

3. Σε αντίθεση με τον ενισμό του Παρμενίδη έχουμε αγνωστικισμό, αφού ο Γοργίας αποφαίνεται ότι το Ον δεν είναι ούτε ένα αλλά ούτε και πολλά.

4. Το Ον δεν είναι ούτε γεννητό, αλλά ούτε και αγέννητο.

Ο Σέξτος ο Εμπειρικός παρουσιάζει περιληπτικά την παράδοξη αυτή φιλοσοφία ως εξής:

«Εν γαρ τωι επιγεγραμμένωι Περί του μη όντος ή περί φύσεως τρία κατά το εξής κεφάλαια κατασκευάζει, εν μεν και πρώτον ότι ουδέν έστιν, δεύτερον δε ει και έστιν ακατάληπτον ανθρώποις, τρίτον δε ει καταληπτόν, αλλά το γε ανέξοιστον και ανερμήνευτον τωι πέλας» Προς Λογικούς 65-65 Δηλαδή... Ο Γοργίας στο έργο του Περί του μη Όντος, διατυπώνει τις τρεις ακόλουθες θέσεις. Δεν υπάρχει τίποτε. Δεύτερο, ακόμα και να υπάρχει κάτι αυτό είναι ακατανόητο για τους ανθρώπους. Τρίτο, ακόμα και κατανοητό να θεωρηθεί, είναι αδύνατη η μετάδοση της γνώσης από αυτόν που το κατανόησε στους άλλους.

Η αντιφατική και αλληλοαναιρούμενη αυτή φιλοσοφία δεν οδηγεί πουθενά. Ο οπαδός της οδηγείται σε γνωσιολογικό αδιέξοδο. Η στερεή βάση της Παρμενίδειας λογικής αναιρείται, αλλά τίποτε δεν καλύπτει το κενό γνώσεως που δημιουργείται. Για τον Γοργία δεν υπάρχει αποδεδειγμένη γνώση, αλλά μόνο δοξασίες. Η γνώση μας κατ’ αυτόν δεν είναι παρά λέξεις που οι άνθρωποι έδωσαν στα πράγματα για να κρύψουν, πίσω από αυτές, την άγνοια τους. Είναι ο πατέρας του αγνωστικισμού, με ότι αυτός συνεπάγεται.

Η ρητορική δεν μπορεί να καλύψει την ανεπάρκεια της σκέψεως του πατέρα της Γοργία. Ο εντυπωσιασμός και οι λεκτικές ακροβασίες δεν μπορούν να αποδείξουν τα πάντα σωστά, αλλά και λανθασμένα ταυτόχρονα, κατά την κρίση του ρήτορα. Η γνώση πρέπει να είναι μια δυνατότητα, διαφορετικά ο πολιτισμός καταρρέει. Μπορούμε να δούμε τις σκέψεις του Γοργία ως μια άσκηση στο αδύνατο, ως μια προσπάθεια προσπέλασης του απροσπέλαστου. Η γνώση του αδύνατου είναι ωφέλιμη, γιατί ότι απομένει πέραν αυτού είναι το δυνατό.....

Σημειώσεις
Γοργίας ο Λεοντίνος, 480 π.Χ. - 385π.Χ. Ρήτορας και Σοφιστής. Άλλα έργα εκτός από το "Περί του Μή Όντος" είναι το "Ελένης Εγκώμιον" και "Υπερ Παλαμήδους Απολογία". Κατατρίχεται από άκρατο υποκειμενισμό και πίστη στην αδυναμία πρόσβασης της αλήθειας και της γνώσης αν αυτές υπάρχουν.

Η ενότητα του Όντος κατά τον Μέλισσο και τον Παρμενίδη

Ενώ οι πλείστοι μελετητές εντάσσουν τους Παρμενίδη και Μέλισσο στην ίδια σχολή, ο καθένας από τους δύο φιλοσόφους διατηρεί την αυτοτέλεια του. Αν και οι δύο μιλούν για το «εόν» στον ενικό, εντούτοις έχουν διαφορές στη θεώρηση της μίας πραγματικότητας. Το παρμενίδειο «εόν» είναι πεπερασμένο χωρικά και απεριόριστο χρονικά, ενώ ο Μέλισσος θεωρεί ότι είναι άπειρο χωροχρονικά, δηλαδή υπάρχει παντού και πάντοτε.  Αυτή η έλλειψη ορίου υποδεικνύει ένα ακραίο μονισμό πέραν του αντίστοιχου που δεικνύει ο Παρμενίδης. Γιατί το απεριόριστο χωρικά είναι πλήρως αδιαφοροποίητο και αριθμητικά ένα. Από την άλλη το Παρμενίδειο Ον διαφοροποιείται επειδή είναι ορισμένο. Ναι μεν είναι ένα, αλλά τι υπάρχει πέραν της ευκύκλου σφαίρας; Δεν υπάρχει για το Μέλισσο παρόμοιο ερώτημα. Το Ον είναι ένα όχι μόνο οντολογικά αλλά και λεκτικά, αφού  είναι παντού.

Η απεριόριστη ύπαρξη είναι μια λέγει ο Μέλισσος, γιατί αν υπήρχε δεύτερη θα έπρεπε  να ξεχώριζε με βάση όριο το οποίο τις διαφοροποιεί. Όπως διασώζει ο Σιμπλίκιος:

«Ει γαρ<άπειρον> είη, εν είη. Ει γαρ δύο είη, ουκ αν δύναιτο άπειρα είναι, αλλ’ έχοι αν πείρατα προς αλλήλα» Δηλαδή.... «Γιατί αν είναι άπειρο το Ον θα είναι και ένα αναγκαστικά. Αν ήταν δύο το ένα θα περιόριζε το άλλο» Σιμπλίκιος Περί Ουρανού 557,16

Είναι λοιπόν όχι μόνο ποιοτικά αλλά και ποσοτικά ενιστής ο Σάμιος στοχαστής. Δεν υποστηρίζει ότι υπάρχει μόνο μια ύπαρξη την οποία μοιράζονται τα όντα, άλλα μια ύπαρξη  πανταχού παρούσα και τα πάντα πληρούσα. Το άλμα από τον ποιοτικό στον ποσοτικό ενισμό αποτελεί  σύλληψη που θυμίζει το χριστιανικό θεό. Ο τελευταίος είναι εξίσου αμετάβλητος, αδιαφοροποίητος, αγέννητος και σχεδόν κατά πάντα όμοιος με την νοητική κατασκευή του Μέλισσου. ( Με εξαίρεση την ιδιότητα του προσώπου )

Όπως και ο Παρμενίδης, ο Μέλισσος αδυνατεί να εξηγήσει τον αισθητό κόσμο που βασίζεται όχι στην ακινησία και το αναλλοίωτο, αλλά στην κίνηση και τη μεταβολή.

Ο Μέλισσος επιχειρηματολογεί περί του αγέννητου του Όντος, ως εξής:

«Και Μέλισσος δε το αγέννητον του όντος έδειξε τω κοινώ τούτω χρησάμενος αξιώματι, γράφει δε ούτος: αεί ην ότι ην και αεί έσται. Ει γαρ εγένετο αναγκαίον έσται πριν γενέσθαι είναι μηδέν. Εί τυχόν νυν μηδέν ην, μηδαμά αν γένοιτο μηδέν εκ μηδενός» Σιμπλίκιος, Φυσικά 162.2 Δ 30 ΒΙ Ο Μέλισσος απέδειξε το αγέννητο του όντος με τη χρήση του πιο κάτω αξιώματος: Γράφει ο Μέλισσος: Ότι υπήρχε, ήταν από πάντα και θα υπάρχει για πάντα. Αν είχε γίνει, σημαίνει ότι πριν να γίνει ήταν ανύπαρκτο. Αν όμως κάτι ήταν μηδέν, τίποτε δεν μπορεί να υπάρξει από το μηδέν. Από το τίποτε μόνο τίποτε μπορεί να προέλθει.

Με το πιο πάνω απρόσβλητο επιχείρημα ο Μέλισσος θωρακίζει τη θέση του Παρμενίδη ότι το Ον είναι αγέννητο και αθάνατο. Ότι υπήρχε, υπάρχει και θα υπάρχει για πάντα, ενώ το μηδέν δεν μπορεί να μεταβληθεί σε είναι ως δια μαγείας. Ο κόσμος υπήρχε, υπάρχει και θα υπάρχει για πάντα. Ούτε δημιουργήθηκε, ούτε θα καταστραφεί. Είναι χρονικά άπειρος, άρα και ποσοτικά, αφού το μηδέν δεν είναι ούτε μπορεί να τραπεί σε είναι, ούτε μπορεί να λογισθεί ως κάτι άλλο πέραν της ενιαίας συμπαντικής ενότητας. Διαπιστώνουμε σύμπτωση Μέλισσου και Ζήνωνος ως προς την χωρική απειρία του Όντος και διαφωνία με το δάσκαλο τους Παρμενίδη που θέλει το σύμπαν σφαιρικό και πεπερασμένο.

Ο Μέλισσος λοιπόν βλέπει το Ον στην άπειρη προοπτική του χρόνου. Δηλώνει ότι το Ον «αρχήν ουχ έχει και τελευτήν αλλ’ άπειρον εστίν» Ο Παρμενίδης από την άλλη βλέπει την ύπαρξη έξω από το ποτάμι του χρόνου, στην προοπτική του αιώνιου παρόντος. Το παρμενίδειο Ον «ουδέ ποτ’ ην ουδ’ έσται, επεί νυν έσται» Οι διαφορές φανερώνουν την αυτόνομη σκέψη του Μέλισσου, παρά την επιρροή του δασκάλου του. Αν ο χρόνος δεν είναι ένα άπειρο παρόν δεν είναι πραγματικά άπειρος, εφόσον χωρίζεται σε μέρη. Επιπλέον το παρελθόν έχει ήδη τελειώσει άρα είναι πεπερασμένο. Το σημείο αυτό ενισχύει την πεποίθηση του Παρμενίδη ότι το χρονικό άπειρο του Όντος πρέπει να ειδωθεί ως αιώνιο παρόν. Ο Μέλισσος στο σημείο αυτό πέφτει σε αντίφαση. Εφόσον η ύπαρξη του παρελθόντος είναι τετελεσμένη, αυτό έχει τελειώσει, είναι πεπερασμένο.

Ο Μέλισσος διδάσκει ότι το Ον είναι απαθές. Δεν θυμώνει, ούτε κουράζεται, ούτε εκφράζει συναισθήματα. Επιπλέον παντού και πάντοτε αδιαφοροποίητο και ομογενές. Ακόμα είναι εσωτερικά πλήρες. Το χαρακτηριστικό αυτό είναι αναγκαίο για να μην παρεισφρήσει το μηδέν και η κίνηση στο εσωτερικό του. Πού βρίσκονται λοιπόν οι αντιθέσεις που βιώνουμε στη ζωή μας; Πού το πυκνό και το αραιό; Το πλήρες και το κενό; Υπάρχουν μόνο στα αισθητηριακά δεδομένα που είναι ψευδή και παραπλανητικά και καταπίπτουν δια της λογικής σκέψεως. Στο σημείο αυτό ο Μέλισσος ξεπερνά το δάσκαλο του Παρμενίδη, που δίνει κάποια αξία στα δεδομένα των αισθήσεων, εφόσον απαξιώνει πλήρως τις ανθρώπινες δοξασίες.

Η απειρία του Όντος οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αυτό δεν είναι φυσικό ον. Είναι μεν ένα, αλλά απερίγραπτο και αόριστο. Δεν μπορεί να θεωρηθεί ολόκληρο, γιατί το άπειρο δεν μπορεί να χωρέσει πραγματικά στη νόηση. Είναι η μοναδική αλήθεια και ύπαρξη, γιατί τίποτε δεν μπορεί να νοηθεί πέραν αυτού. Περιγράφεται αποφατικά, εφόσον ξέρουμε ότι δεν είναι πεπερασμένο, αλλά το άπειρο είναι ασύλληπτο στην ουσία του. Αν το Ον του Μέλισσου ήταν πρόσωπο, θα μας θύμιζε τον χριστιανικό θεό. Όμως ένα πρόσωπο εξ’ ορισμού είναι πεπερασμένο και ο φιλόσοφος μας δεν θα μπορούσε να περιγράψει το Ον ως τέτοιο. Ο Μέλισσος συλλαμβάνει το είναι ως έννοια μυστική και απόκρυφη.

Ο Μέλισσος, όπως και ο Παρμενίδης θεωρεί την κίνηση ως απόδειξη μη ύπαρξης, εφόσον το τρεπτό είναι ασταθές και άρα ανύπαρκτο στην προοπτική της αιωνιότητας. Η διαίρεση είναι επίσης ασύμβατη με τη θεωρία του. Δεν υπάρχει το κενό για να διαχωρίσει την ύπαρξη σε μέρη. Στο σημείο αυτό βρίσκεται σε πλήρη αντίθεση με την ατομική φιλοσοφία. 

Σημείωση

Ο Μέλισσος ο Σάμιος γιος του Ιθαγένη και αξιόλογος προσωκρατικός φιλόσοφος. Έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ. την εποχή του Περικλή. Ήταν επικεφαλής της εξέγερσης των Σαμίων κατά των Αθηναίων που κατέστειλε ο Περικλής το 440 π.Χ. μετά από εννιάμηνη πολιορκία. Έγραψε το έργο "Περί Φύσεως ή περί του Όντος ". Η κοσμοθεωρία του επηρεάστηκε εκτός από τον Ομόδοξο του Παρμενίδη και από τον Ξενοφάνη.   

Τέλειοι αριθμοί

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες, δηλαδή άλλους φυσικούς αριθμούς που αν τους διαιρέσουμε με τον αρχικό δίνουν υπόλοιπο μηδέν. Αθροίζουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού, χωρίς να συμπεριλάβουμε τον ίδιο τον αριθμό στο άθροισμα. Με βάση το αποτέλεσμα της πρόσθεσης μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε τέλειους, ατελείς και υπερτελείς.

1. Τέλειος ονομάζεται ο φυσικός αριθμός ο οποίος ισούται με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

 2. Ατελής ονομάζεται ο φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του υπολείπεται του αριθμού.

3. Υπερτελής είναι ο αριθμός με άθροισμα των διαιρετών  μεγαλύτερο του αριθμού..

Παραδείγματα:

1. Ο αριθμός 6 είναι τέλειος αφού το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ισούται με αυτόν πράγματι : 1 +2 + 3 = 6.

2. Ο αριθμός 12 είναι υπερτελής αφού 1+2+3+4+6=16 και 16 > 12

3. Ο αριθμός 8 είναι ατελής, αφού το άθροισμα των διαιρετών του είναι 1 + 2+ 4 = 7 και 7<8.

Οι τέλειοι αριθμοί είναι πολύ σπάνιοι αφού υπάρχουν μόνο 3 τέτοιοι αριθμοί μικρότεροι του 1000, ένας τέλειος μεταξύ 1001 – 10 000, ενώ μεταξύ 10 001 – 100 000 000 εντοπίζουμε μόνο ακόμα ένα τέλειο. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί μερικές δεκάδες τέλειοι με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, αφού οι μεγαλύτεροι από αυτούς έχουν εκατομμύρια ψηφία. Κανείς δεν έχει αποδείξει ως σήμερα αν ο αριθμός των τέλειων είναι άπειρος ή πεπερασμένος.

Πρώτοι και τέλειοι αριθμοί

Στο θεώρημα 36 του 8^ου βιβλίου των Στοιχείων του, ο Ευκλείδης συσχετίζει τους τέλειους  με τα μερικά αθροίσματα  γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1 και λόγο το δύο. Αν το μερικό άθροισμα

ν

å 2 ª ¯ ¹ είναι πρώτος τότε

a=1

                                                    ν

το γινόμενο ( 2 ª ¯ ¹ ) å 2 ª ¯ ¹ είναι τέλειος.

                                                   a=1

Παραδείγματα:

Το άθροισμα που ακολουθεί είναι πρώτος

2

å 2 ª ¯ ¹ = 1 + 2 = 3  = (2² - 1)      

1

Þ 2. 3 = 2¹ (2² - 1) = 6 είναι τέλειος.

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι

3

å 2 ª ¯ ¹ = 1 + 2 + 4 = 7 = (2³ - 1)    

1

Þ 4. 7 = 2² (2³ - 1) = 28 που είναι τέλειος.

Γενικά αθροίσματα του τύπου

1 + 2 + 2² + 2³ + .......+ 2 ª ¯ ¹

ισούνται με περιττό αριθμό της μορφής 2 ª – 1

Αν ο αριθμός 2 ª – 1  είναι πρώτος τότε ο αριθμός 

(2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹ είναι τέλειος.

Διατυπώνουμε ξανά με βάση τα προηγούμενα :

Ο πρώτος τέλειος ισούται με 6, αφού:

6 = 2 ¹ ( 2 ² - 1 )                               [( 2 ² - 1 ) = 3 = πρώτος αριθμός ]

Ο δεύτερος τέλειος είναι ο 28, αφού:

28 = 2²  ( 2 ³ - 1 )                            [( 2³ - 1 ) = 7 = πρώτος αριθμός ]

Ο τρίτος τέλειος ισούται με 496, αφού:

496 = 16. 31 = 2⁴ ( 2⁵  - 1 )      και  ( 2⁵  - 1 ) = 31 = πρώτος αριθμός ]

                    

Ο τέταρτος τέλειος είναι ο 8128, αφού:

8128 = 64. 127 = 2⁶  ( 2⁷ - 1 )   και ( 2⁷ - 1 )= 127 = πρώτος αριθμός

                      

Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2 ª – 1 , ονομάζονται πρώτοι του Mersenne ¹

Ιδιότητες των τέλειων αριθμών που παράγονται από τους πρώτους του Mersenne

1. Είναι άρτιοι με ψηφίο των μονάδων ίσο με 6 ή 8

Η ιδιότητα της αρτιότητας  είναι προφανής, εφόσον είναι πολλαπλάσια του 2.

2. Είναι τρίγωνοι αριθμοί, δηλαδή αποτελούν μερικά αθροίσματα των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των όρων αυτών των μερικών αθροισμάτων είναι πρώτος του Mersenne Πράγματι:

2 ª – 1

å Ν = 1 + 2 +3 + ……..+ 2 ª – 1

1

       2 ª – 1

Þå Ν =  [ (1 + 2 ª – 1 ) + (2 + 2 ª – 2 ) + (3 + 2 ª – 3 ) + ….]  + 2 ª ¯ ¹

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  [ 2 ª . (2 ª ¯ ¹ - 1)] + 2 ª ¯ ¹

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  2 ª ¯ ¹ (2 ª – 2 +1 )

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  2 ª ¯ ¹ (2 ª – 1 )

      1

Παραδείγματα:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 +15 + 16 + ....+ 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 +15 + 16 + ....+ 127

3. Με εξαίρεση το 6, οι τέλειοι που ακολουθούν είναι αθροίσματα κύβων περιττών αριθμών. Έτσι έχουμε:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

4. Για κάθε τέλειο αριθμό, το άθροισμα των αντίστροφων των διαιρετών του, συμπεριλαμβανομένου του ιδίου, ισούται με 2.

Εφαρμογές

1. Να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός 2 ª – 1 είναι πρώτος, τότε και ο a είναι πρώτος.

Μέθοδος απόδειξης: Εις άτοπον απαγωγή.

Έστω λοιπόν ότι a σύνθετος αριθμός. Εκ’ της υποθέσεως μπορούμε να πούμε ότι

a = β γ                  με β, γ Î Ν

Þ  2 ª – 1 = [(2 Ù β )Ù γ ] - 1         [ Η έκφραση 2^β σημαίνει 2 υψωμένο στη β δύναμη κ.ο.κ ]

Θέτουμε 2 Ù β = δ

Þ  2 ª – 1 = (δÙ γ ) – (1Ù γ)

Þ  2 ª – 1 = ( δ – 1 ) [ δ Ù (γ-1) + δ Ù (γ-2) + ....δ + 1 ]

Προφανώς λοιπόν αν a σύνθετος αριθμός τότε 2 ª – 1 επίσης είναι σύνθετος γεγονός άτοπο, εφόσον ο 2 ª – 1 είναι πρώτος του  Mersenne

Αφού όμως ο a δεν μπορεί να είναι σύνθετος τότε υποχρεωτικά είναι πρώτος.

2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών αριθμού της μορφής

(2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  όπου 2 ª – 1 πρώτος του  Mersenne ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.

Αν συμβολίσουμε το άθροισμα των διαιρετών του αριθμού (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  με το σύμβολο å τότε έχουμε :

å = (1 + 2 + 2² + 2³ + .....+ 2 ª ¯ ² +2 ª ¯ ¹  ) + [  (2 ª – 1 ) + 2 (2 ª – 1 )

+ 2² (2 ª – 1 ) + 2³ (2 ª – 1 ) + .... (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ² ]

Þ å = (2 ª   - 1) + (2 ª – 1 ) [ 1 + 2 + 2²  + 2³  + ....  2 ª ¯ ² ]

Þ å = (2 ª   - 1) + (2 ª – 1 )   (2 ª ¯ ¹ - 1 )

Þ å = (2 ª   - 1) ( 1 + 2 ª ¯ ¹ - 1 )

Þ å = (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹ 

3. Να αποδειχθεί ότι οι τέλειοι αριθμοί τελειώνουν πάντα σε 6 ή 8.

Έστω ο τυχαίος τέλειος αριθμός

(2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹ 

Στην άσκηση 1 έχουμε αποδείξει ότι αν ο 2 ª   - 1 είναι πρώτος τότε και ο a είναι πρώτος. Αφού ο a είναι πρώτος, τότε προφανώς είναι και περιττός. Αν υψώσουμε το 2 σε περιττή δύναμη τότε ο αριθμός των μονάδων του αριθμού που προκύπτει τελειώνει σε 2 ή 8, ενώ αν το δύο υψωθεί σε άρτια δύναμη ο αριθμός που προκύπτει τελειώνει σε 4 ή 6.

Προφανώς λοιπόν:

Ο εκθέτης  a – 1 είναι άρτιος

Þ  ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 4 ή 6            (1)

Ο εκθέτης a είναι περιττός αριθμός

Þ  ο αριθμός 2 ª   έχει ψηφίο μονάδων 2 ή 8

Þ  ο αριθμός 2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 1 ή 7           (2)

Επειδή τα ψηφία των μονάδων των διαδοχικών δυνάμεων του 2 επαναλαμβάνονται περιοδικά με βάση το μοτίβο 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8 .......προκύπτει ότι:

Αν ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 4, τότε ο αριθμός   2 ª έχει ψηφίο μονάδων 8 και προφανώς ο αριθμός  2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 7. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 8.

Αν ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 6, τότε ο αριθμός   2 ª έχει ψηφίο μονάδων 2 και προφανώς ο αριθμός  2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 1. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 6.

Στο σημείο αυτό η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

4. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των αντίστροφων των παραγόντων ενός τέλειου αριθμού ( περιλαμβανομένου και του ιδίου ) ισούται πάντα με 2.

Αν συμβολίσουμε το άθροισμα των αντίστροφων των  διαιρετών του τέλειου αριθμού

 (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  με το σύμβολο å τότε έχουμε :

å = (1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ + .....+ 1/2 ª ¯ ² + 1/2 ª ¯ ¹  ) + {  1/(2 ª – 1 ) + 1/ [2 (2 ª – 1 )] + 1/ [2² (2 ª – 1 ) ]+ 1/ [2³ (2 ª – 1 )] + .... +1/ [ (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ² +1/ [ (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  ]

Η πρώτη παρένθεση είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο τη μονάδα και λόγο ½. Όμοια η παράσταση μέσα στις αγκύλες είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο   1/(2 ª – 1 ) και λόγο το ½ . Εφαρμόζουμε τους σχετικούς τύπους

Þ å = [(2 ª   - 1)/ 2 ª ¯ ¹]  +  [1/(2 ª – 1 ) ] [  (2 ª – 1 )/ 2 ª ¯ ¹  ]

Þ å = [(2 ª   - 1)/ 2 ª ¯ ¹]  +  (1/ 2 ª ¯ ¹  )

Þ å = 2 ª   /2 ª ¯ ¹

Þ å = 2   

Σημειώσεις

1. Martin Mersenne (1588 - 1648). Ασχολήθηκε με τη Θεολογία, τη Μουσική και την Αριθμητική. Ιδιαίτερα ασχολήθηκε με τους πρώτους αριθμούς της μορφής 2 ª – 1 που φέρουν και το όνομα του.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα

Τα παράδοξα του Ζήνωνα και ο Ελεατικός Μονισμός

Ο Ζήνωνας προσπάθησε να αποδείξει τη διδασκαλία του δασκάλου του Παρμενίδη, παρουσιάζοντας μια σειρά από παραδείγματα τα οποία κατά την άποψη του αποδείκνυαν την αδυναμία της κινήσεως. Παραθέτουμε τρία από τα προβλήματα  αυτά που έχουν μείνει γνωστά ως τα παράδοξα του Ζήνωνα:

1. Το παράδοξο της άπειρης διχοτόμησης

Υποθέστε, είπε ο Ζήνωνας, ότι θέλετε να ταξιδέψετε από το σημείο Α στο σημείο Β. Για να το κάνετε πρέπει να περάσετε από τη μέση της γραμμής ΑΒ και έστω ότι ονομάζουμε τη μέση αυτή Γ. Για να διανύσουμε όμως το ΑΓ πρέπει πρώτα να περάσουμε από το μέσο του και έστω Δ το μέσο του ΑΓ. Για να καλύψω όμως το ΑΔ πρέπει να περάσω από το μέσο του και η διαδικασία διχοτόμησης των ευθυγράμμων τμημάτων  μπορεί να συνεχιστεί για πάντα, επεκτεινόμενη στον άπειρο χρόνο. Για να καλύψω λοιπόν το ΑΒ θα πρέπει να περάσω από άπειρα σημεία, το οποίο απαιτεί άπειρο χρόνο. Άρα η κίνηση είναι αδύνατη, αφού η κάλυψη πεπερασμένου διαστήματος, οσοδήποτε μικρού, χρειάζεται άπειρο χρόνο.

Το λάθος είναι προφανές. Καθώς διχοτομούνται τα χωρικά διαστήματα, διχοτομείται και ο απαιτούμενος χρόνος για κάλυψη του διαστήματος. Κάθε διάστημα λοιπόν υπερκαλύπτει το σύνολο όλων των επόμενων που θα ακολουθήσουν. Έτσι, με βάση τα αριθμητικά παραδείγματα που ακολουθούν έχουμε:

½ > ¼ + 1/8 + 1/16 +1/32......, ¼ >1/8 + 1/16+ 1/32 + 1/64....... ⅛ > 1/16 + 1/32 +1/64 + 1/128...... ........................................ 1/2^ν > 1/2^(ν+1) +1/2^(ν+2) + 1/2^(ν+3)   ( Όπου η έκφραση 2^ν σημαίνει δύο υψωμένο στη νιοστή δύναμη )

Όλα μαζί τα άπειρα σε αριθμό διαστήματα από το δεύτερο ως το απειροστό δεν αρκούν για να ισοζυγίσουν το πρώτο. Αν το αρχικό μισό διανύθηκε σε α χρονικό διάστημα όλα τα άλλα απαιτούν ακόμα α χρόνο. Προφανώς η απόσταση διανύεται σε πεπερασμένο χρόνο 2α και το παράδοξο λύεται.

2. Η αδυναμία του ταχύτατου Αχιλλέα να ξεπεράσει την αργοκίνητη χελώνα

Ο Αχιλλέας διαγωνίζεται με μια χελώνα σε αγώνα δρόμου. Οι δύο δρομείς αρχίζουν ταυτόχρονα να τρέχουν, όμως η χελώνα έχει ένα προβάδισμα, αφού η αφετηρία της βρίσκεται σε απόσταση Α μπροστά από την αφετηρία του Αχιλλέα. Ο Ζήνωνας φτάνει στο παράδοξο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα. Επιχειρηματολογεί ως εξής:

Μέχρι να διανύσει την απόσταση Α ο γοργοπόδαρος ήρωας, η χελώνα θα έχει καλύψει απόσταση Β. Μέχρι να καλύψει το προβάδισμα Β ο γιος του ανέμου, η χελώνα θα καλύψει απόσταση Γ, έστω μικρότερη από τη Β, αλλά πάντως υπαρκτή. Ο συλλογισμός αυτός μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές. Η χελώνα μας θα έχει συνεχώς προβάδισμα, έστω συνεχώς μικρότερο, αλλά όχι μηδενικό. Αφού ο ταχύτερος δεν μπορεί να φτάσει ποτέ το βραδύτερο, τότε η κίνηση είναι αδύνατη συμπεραίνει ο Ζήνωνας.

Το λάθος του Ζήνωνα είναι ότι δεν μπορεί ή δεν θέλει να εννοήσει ότι τα άπειρα σε αριθμό διαστήματα που θα διανύσει η χελώνα, αθροιζόμενα δίνουν πεπερασμένο διάστημα το οποίο είναι φανερό πως ο Αχιλλέας θα διανύσει σε πεπερασμένο χρόνο, μετά από τον οποίο θα ξεπεράσει ταχέως τη βραδυκίνητη ανταγωνίστρια του. Το συμπέρασμα είναι προφανές ακόμα και σε ένα καλό μαθητή γυμνασίου, που ξέρει να υπολογίζει το άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Το άθροισμα αυτό είναι  πεπερασμένο και όχι άπειρο. Ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του (22 233^α 21) ξεχωρίζει το κατά πρόσθεση άπειρο με το κατά διαίρεση. Η αναφορά του μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής:

Αν κάθε επόμενος όρος ακολουθίας μεγεθών μπορεί να προκύψει από τη διαίρεση του προηγούμενου με ένα σταθερό φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδας, τότε το άθροισμα των απείρων όρων της ακολουθίας είναι πεπερασμένο. Το ανωτέρω συμπέρασμα αναιρεί το παράδοξο που προαναφέραμε.

3. Η αδυναμία κίνησης του βέλους «Η οιστός φερομένη έστηκεν»

Ο Ζήνωνας επιχειρηματολογεί ως εξής: Σε κάθε χρονική στιγμή που το βέλος κινείται, αυτό καλύπτει τόσο χώρο όσο και το μέγεθος του. Προφανώς, εντός της χρονικής στιγμής το βέλος είναι ακίνητο, μέσα στο χώρο που ορίζει το περίγραμμα του. Ένα χρονικό διάστημα αποτελείται από άπειρες χρονικές στιγμές μηδενικού χρόνου έκαστη, στο παρόν. Αν το κινούμενο βέλος εξ’ ορισμού είναι ακίνητο σε κάθε μια από αυτές, τότε είναι ακίνητο συνολικά καθ’ όλη την τροχιά κίνησης του. Επιπλέον, αφού το βέλος ευρίσκεται στο παρόν, το οποίο καλύπτει μια φευγαλέα χρονική στιγμή, μπορούμε να πούμε τα ακόλουθα:

1. Το βέλος δεν κινείται στο παρελθόν και στο μέλλον, επειδή το πρώτο έχει περάσει και το δεύτερο δεν έχει έρθει ακόμα.

2. Το βέλος υπάρχει μόνο στη φευγαλέα στιγμή του παρόντος, στην οποία εξ ορισμού καλύπτει καθορισμένο χώρο και είναι ακίνητο. Δεν υπάρχει στο παρελθόν και στο μέλλον. Προφανώς λοιπόν είτε αυτό είναι ανύπαρκτο (παρελθόν, μέλλον) είτε είναι ακίνητο.(παρόν)

Με βάση τα ανωτέρω η κίνηση είναι αδύνατη και το ταχέως κινούμενο βέλος είναι μια αυταπάτη των αισθήσεων.

Η σκέψη του Ζήνωνα είναι αντιφατική. Τι νόημα έχει να πεις ότι το κινούμενο βέλος είναι ακίνητο, εφόσον η κίνηση αναιρεί την ακινησία και αντίστροφα; Ακόμα δεν έχει νόημα  να πεις ότι το βέλος υπάρχει μόνο στο παρόν, αφού αν δεν υπήρχε στο παρελθόν  είναι αδύνατο να υπάρχει στο παρόν. Από το τίποτε μόνο τίποτε μπορεί να προκύψει.

Προφανώς η κίνηση υπάρχει γιατί και ο χρόνος υπάρχει. Ο δεύτερος είναι το μέτρο της πρώτης και ακινησία υπάρχει μόνο μέσα στο  νοητικό σχήμα της αιωνιότητας.

Ο Ζήνωνας διαφωνεί με τον Παρμενίδη ως προς το πεπερασμένο του Όντος. Ένα μεν, όχι όμως εύκυκλος ορισμένη σφαίρα, αλλά άπειρο. Η άπειρη χωρικά οντότητα δεν αλλάζει αν σε αυτή προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε κάτι. Ούτε αν την πολλαπλασιάσουμε ή τη διαιρέσουμε. Στο σημείο αυτό ο συλλογισμός του Ζήνωνα συμπίπτει με τον απειροστικό λογισμό των σύγχρονων μαθηματικών. Πράγματι ένας άπειρος αριθμός δεν μεταβάλλεται αν  εφαρμόσουμε πάνω του τις τέσσερις πράξεις. Αν δηλαδή του προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε πεπερασμένο αριθμό, ή αν κάνουμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση απείρου αριθμού με πεπερασμένο, ο πρώτος εξακολουθεί να είναι άπειρος.

∞ + α =  ∞  , ∞ - α =  ∞   κοκ. Όπου ∞  = άπειρη  και α πεπερασμένη ποσότητα

Η διαφωνία του Ζήνωνα ως προς το άπειρο του Όντος προσθέτει ένα ουσιαστικό επιχείρημα ως προς την ενότητα του. Το άπειρο δεν έχει όρια, άρα τίποτε δεν μπορεί να υπάρξει εκτός αυτού, γιατί αν υπήρχε, τότε δεν θα μιλούσαμε για άπειρο, αλλά για πεπερασμένο. Εντούτοις η άπειρη ενότητα περιλαμβάνει μέσα της τον σπόρο της πολλαπλότητας. Ο κόσμος του Ζήνωνα είναι απείρως διαιρετός όπως δείχνουν τα άπειρα σημεία που πρέπει να διανύσει ο ταξιδιώτης του πρώτου παράδοξου και τα άπειρα υποδιαστήματα χώρου ή στιγμές χρόνου, που υποδεικνύει το παράδοξο του βέλους. Πολλαπλός και όμως ένας. Ο Ζήνωνας δεν το είχε ποτέ διανοηθεί, όμως έμμεσα πλησίασε την  ενότητα των αντιθέτων του Ηράκλειτου....

Εμπεδοκλής και Αναξαγόρας: Τομές με την Ελεατική Σχολή

Παρμενίδης και Προσωκρατικοί

Η κοσμοθεωρία του Παρμενίδη επηρέασε τους προσωκρατικούς και τους μετέπειτα φιλοσόφους. Κατωτέρω παρουσιάζουμε παραδείγματα για να εντοπίσουμε ομοιότητες και διαφορές. Κοινό χαρακτηριστικό όλων, είτε ενστερνίζονται τον ενισμό ή τον πλουραλισμό, η αθανασία και το άφθαρτο της ύπαρξης, δηλαδή του κόσμου. Επιπλέον η ερμηνεία της αλλαγής με την ένωση και το διαχωρισμό των αιώνιων οντοτήτων (άτομα, ριζώματα κλπ)

Εμπεδοκλής και Αναξαγόρας

Ο Αναξαγόρας και ο Εμπεδοκλής δεν αποδέχονται τη γένεση και τη φθορά των όντων. Ότι είναι υπήρχε, και θα υπάρχει για πάντα. Σ’ αυτή τη θέση, που φαίνεται στα αποσπάσματα που ακολουθούν, βλέπουμε την Παρμενίδεια έννοια της αιωνιότητας του Όντος:

«Το δε γίνεσθαι και απόλλυσθαι ουκ ορθώς νομίζουσιν οι Έλληνες. Ουδέν γαρ χρήμα γίνεται ουδέ απόλλυται, αλλ’ από εόντων χρημάτων συμμίσγεσται τε και διακρίνεται» Αναξαγόρας Β. 17 Δηλαδή.... «Οι Έλληνες δεν αντιλαμβάνονται ορθά τη γέννηση και το θάνατο. Τίποτα δεν γεννιέται και τίποτα δεν πεθαίνει πραγματικά, αλλά υπάρχει ανάμειξη και διαχωρισμός όσων υπάρχουν.(για τη δημιουργία νέων μορφών)

 Παρόμοια ο Εμπεδοκλής δηλώνει:

«νήπιοι ου γαρ σφιν δολιχόφρονες εισί μέριμναι οι δη γίγνεσθαι παρός ουκ εόν ελπίζουσιν, ή τι καταθνήσκειν τε και εξόλλυσθαι απάντη Β 11 Δηλαδή... « Είναι ανόητοι, λόγω της επιπολαιότητας της σκέψης τους, όσοι νομίζουν ότι κάτι δεν υπήρχε πριν να δημιουργηθεί, ή ότι αυτό καταστρέφεται ολοκληρωτικά»

Ενώ ο Παρμενίδης είναι ενιστής και οι άλλοι δύο πλουραλιστές, η διαφορά αυτή δεν είναι τόσο ουσιαστική όσο εκ πρώτης όψεως φαίνεται. Τα ριζώματα του Εμπεδοκλή είναι μεν διαφορετικές οντότητες ως προς τις δράσεις τους, δεν διαφέρουν όμως ως προς την ουσία της υπαρκτικής τους ιδιότητας. Είναι οντότητες αυθεντικές και αιώνιες, μη υποκείμενες σε γέννηση και φθορά Όμοια και τα χρήματα (στοιχεία ή σπέρματα) του Αναξαγόρα καλύπτονται από τον προηγούμενο συλλογισμό. Η ύπαρξη μπορεί να είναι ενιαία ως προς την ουσία της, αλλά και πολλαπλή ως προς τις ενέργειες της. Υπάρχει πολλαπλότητα «χρημάτων» τα οποία δημιουργούν τις μορφές διαμέσου της ανάμειξης και του διαχωρισμού μας λέγει ο Αναξαγόρας. Σε βαθύτερο επίπεδο όμως υπάρχει η ενότητα της ύπαρξης.

Αντανάκλαση της θεωρίας του ενισμού και των παραλλαγών του βρίσκουμε στην σύγχρονη φυσικοχημική θεωρία.

Υπάρχουν χιλιάδες χημικές ενώσεις, αλλά μόνο μερικές δεκάδες  στοιχείων, που αποτελούνται από  3 βασικά υποατομικά σωματίδια επί των οποίων ενεργούν  4 βασικές δυνάμεις, τις οποίες οι επιστήμονες προσπαθούν να εντάξουν σε μια Θεωρία των Πάντων. Η ενότητα και η πολλαπλότητα του Όντος είναι τελικά συνάρτηση του βάθους της πραγματοποιούμενης εξέτασης. Όσο πιο επιφανειακά, δηλαδή χωρικά και χρονικά περιορισμένα εξετάζουμε, τόσο περισσότερο παρατηρούμε την πολλαπλότητα των μορφών. Όταν εξετάσουμε σε βάθος, συνολικά και υπό το πρίσμα της αιωνιότητας, καταλήγουμε ότι τα πάντα είναι ένα.

Ο Αναξαγόρας θεωρεί τα πάντα, ακόμη και τα ομοιογενή αντικείμενα, ως μείγματα, στα οποία υπερτερεί ένα στοιχείο. Η ερμηνεία αυτή είναι αδιέξοδη εφόσον αν την πάρουμε στα άκρα, ακόμα και το υπερτερούν στοιχείο θα πρέπει να είναι μείγμα και ούτω καθ’ εξής. Για παράδειγμα, ένα αμιγές κομμάτι σίδερο θα πρέπει, κατά τον θεωρητικό των χρημάτων, να είναι κατ’ ουσία μείγμα με κυρίαρχο στοιχείο το σίδηρο. Όμως και το κυρίαρχο στοιχείο, με την ίδια λογική θα ήταν ένα μείγμα, αν μπορούσε να διαχωριστεί. Αυτός ο διαχωρισμός όμως του κυρίαρχου από το υποτελές δεν μπορεί να έχει τέλος και φτάνουμε σε αδιέξοδο. Εντέλει ο πλουραλισμός των όντων φαίνεται να εξηγεί την πολλαπλότητα των μορφών του κόσμου, αδυνατεί όμως να εξηγήσει την ουσία τους και να εμβαθύνει στον πυρήνα της ύπαρξης. Ο Παρμενίδης σίγουρα θα τον ενέτασσε στην δόξα των θνητών. Επιπλέον ο Αναξαγόρας σε αντίθεση με τον Εμπεδοκλή, δεν διαχωρίζει τα θεμελιώδη όντα από τα φαινομενικά. Ο Εμπεδοκλής ορίζει ως βασικά όντα τη φωτιά, τον αέρα, το νερό και τη γη. Αυτά αποτελούν τις καταστάσεις της ύλης. Την υγρή, την αέρια, τη στερεά και την κατάσταση του πλάσματος. Τα βασικά όντα αναμειγνύονται και διαχωρίζονται με τη βοήθεια των δυνάμεων της φιλότητας και του νείκους, δηλαδή της έλξης και της άπωσης, και δημιουργούν τα φαινομενικά όντα. Είναι αλήθεια ότι τα τέσσερα ριζώματα και οι δύο δυνάμεις θεωρούνται οντολογικά ισοδύναμες υπάρξεις, παρόλο που τα πρώτα είναι υλικά και οι δεύτερες είναι ενεργειακά στοιχεία. Αυτό θυμίζει τη σύγχρονη αρχή της ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας, που διατύπωσε ο Einstein.

Ο Εμπεδοκλής ανάγει τα πολλά στα λίγα, αλλά αδυνατεί να δει την βαθύτερη ενότητα των πάντων, όπως ο Παρμενίδης. Τα ριζώματα είναι μεν οι αρχικές καταστάσεις της ύλης. Σε βαθύτερο επίπεδο όμως είναι παραδεκτό ότι, ανεξαρτήτως της κατάστασης, δηλαδή της στάθμης της ενέργειας, η ύλη έχει ενιαία δομή. Ο Εμπεδοκλής βρίσκεται στο δρόμο προς τον ενισμό, όμως δεν τον φτάνει. Ο Παρμενίδης παίρνει τον ενισμό στις έσχατες του συνέπειες.

Ο διανοητής του Ακράγαντα προσπαθεί να εξηγήσει το γίγνεσθαι με την ανάμειξη των ριζωμάτων. Στη θεωρία του συνδυάζεται το αναλλοίωτο (ριζώματα) με το μεταβαλλόμενο. Το τελευταίο είναι τα μείγματα των ριζωμάτων που δημιουργούνται από τη φιλότητα και καταστρέφονται από το νείκος. Ο Παρμενίδης όμως, αδιάλλακτα απορρίπτει το γίγνεσθαι και παραμένει στο αμετάβλητο είναι. Η θεωρία του προϋποθέτει μια ευρύτερη και βαθύτερη σύλληψη του κόσμου συνολικά, ενώ ο Εμπεδοκλής εξηγεί καλύτερα τη γένεση και το θάνατο των μορφών, δηλαδή των χημικών ενώσεων, όπως θα λέγαμε χρησιμοποιώντας τους όρους της σύγχρονης Χημείας.

Το Παρμενίδειο Ον είναι αδιαίρετο και σφαιρικό. Οι ρίζες του Εμπεδοκλή πρέπει να είναι σφαιρικές, μικρά μόρια που αναμειγνύονται και χωρίζονται δημιουργώντας σύνθετα σώματα. Λέγει για το θέμα αυτό ο Γαληνός, σχολιάζοντας τον Εμπεδοκλή:

«Εκείνος (Ο Εμπεδοκλής) είπε πως από τα ίδια στοιχεία...γίναμε και εμείς  και όλα τα σώματα στη γη» Γαληνός, εις το Περί Φύσεως Ανθρώπου βιβλίο του Ιπποκράτη 27.22

Το μηδέν δεν φαίνεται να έχει υπόσταση και στους δύο, αφού αυτό θα έθιγε την μοναδικότητα των αρχικών οντοτήτων. Ότι υπάρχει δεν καταστρέφεται και από το μηδέν δεν μπορεί να δημιουργηθεί το κάτι. Είναι μια αρχή που επιζεί και στη σύγχρονη επιστήμη είτε ως « Η αρχή της αφθαρσίας της ύλης» που διατύπωσε ο Λαβουαζιέ το 18^ο αιώνα, είτε ευρύτερα ως «αρχή της διατήρησης της ενέργειας» (Κλασσική φυσική, 19^ος αιώνας) 

Ο Αναξαγόρας όμοια με τον Ελεάτη ορίζει ότι οι αισθήσεις είναι ασθενείς και δεν μπορούν να μας βοηθήσουν να γνωρίσουμε επαρκώς τον κόσμο. Η γνώση είναι έργο του νου, όμως ο Αναξαγόρας δεν φτάνει στο σημείο να ταυτίσει τη σκέψη με την ύπαρξη όπως ο Παρμενίδης.  

Η ενότητα και το αδιαίρετο του Όντος κατά Παρμενίδη, αντιπαραβάλλεται με την αέναη διαιρετότητα του Αναξαγόρα, αφού όπως μας διασώζει ο Σιμπλίκιος:

«Ούτε γαρ του σμικρού έστι το ελάχιστον, αλλ’ ελάσσον αεί.» Φυσικά 164,16 Δηλαδή: Δεν υπάρχει τέλος στη διαίρεση των σωμάτων. Το οσοδήποτε μικρό πάντα μπορεί να διαιρεθεί περαιτέρω.

Η άπειρη διαιρετότητα όμως φαίνεται να διαψεύδεται από τη σύγχρονη υποατομική φυσική. ( Όπως και τους αρχαίους ατομικούς φιλοσόφους Λεύκιππο και Δημόκριτο )