Τέλειοι αριθμοί

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Κάθε φυσικός αριθμός έχει διαιρέτες, δηλαδή άλλους φυσικούς αριθμούς που αν τους διαιρέσουμε με τον αρχικό δίνουν υπόλοιπο μηδέν. Αθροίζουμε τους διαιρέτες ενός αριθμού, χωρίς να συμπεριλάβουμε τον ίδιο τον αριθμό στο άθροισμα. Με βάση το αποτέλεσμα της πρόσθεσης μπορούμε να χωρίσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε τέλειους, ατελείς και υπερτελείς.

1. Τέλειος ονομάζεται ο φυσικός αριθμός ο οποίος ισούται με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

 2. Ατελής ονομάζεται ο φυσικός αριθμός όταν το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του υπολείπεται του αριθμού.

3. Υπερτελής είναι ο αριθμός με άθροισμα των διαιρετών  μεγαλύτερο του αριθμού..

Παραδείγματα:

1. Ο αριθμός 6 είναι τέλειος αφού το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του ισούται με αυτόν πράγματι : 1 +2 + 3 = 6.

2. Ο αριθμός 12 είναι υπερτελής αφού 1+2+3+4+6=16 και 16 > 12

3. Ο αριθμός 8 είναι ατελής, αφού το άθροισμα των διαιρετών του είναι 1 + 2+ 4 = 7 και 7<8.

Οι τέλειοι αριθμοί είναι πολύ σπάνιοι αφού υπάρχουν μόνο 3 τέτοιοι αριθμοί μικρότεροι του 1000, ένας τέλειος μεταξύ 1001 – 10 000, ενώ μεταξύ 10 001 – 100 000 000 εντοπίζουμε μόνο ακόμα ένα τέλειο. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί μερικές δεκάδες τέλειοι με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, αφού οι μεγαλύτεροι από αυτούς έχουν εκατομμύρια ψηφία. Κανείς δεν έχει αποδείξει ως σήμερα αν ο αριθμός των τέλειων είναι άπειρος ή πεπερασμένος.

Πρώτοι και τέλειοι αριθμοί

Στο θεώρημα 36 του 8^ου βιβλίου των Στοιχείων του, ο Ευκλείδης συσχετίζει τους τέλειους  με τα μερικά αθροίσματα  γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1 και λόγο το δύο. Αν το μερικό άθροισμα

ν

å 2 ª ¯ ¹ είναι πρώτος τότε

a=1

                                                    ν

το γινόμενο ( 2 ª ¯ ¹ ) å 2 ª ¯ ¹ είναι τέλειος.

                                                   a=1

Παραδείγματα:

Το άθροισμα που ακολουθεί είναι πρώτος

2

å 2 ª ¯ ¹ = 1 + 2 = 3  = (2² - 1)      

1

Þ 2. 3 = 2¹ (2² - 1) = 6 είναι τέλειος.

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ότι

3

å 2 ª ¯ ¹ = 1 + 2 + 4 = 7 = (2³ - 1)    

1

Þ 4. 7 = 2² (2³ - 1) = 28 που είναι τέλειος.

Γενικά αθροίσματα του τύπου

1 + 2 + 2² + 2³ + .......+ 2 ª ¯ ¹

ισούνται με περιττό αριθμό της μορφής 2 ª – 1

Αν ο αριθμός 2 ª – 1  είναι πρώτος τότε ο αριθμός 

(2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹ είναι τέλειος.

Διατυπώνουμε ξανά με βάση τα προηγούμενα :

Ο πρώτος τέλειος ισούται με 6, αφού:

6 = 2 ¹ ( 2 ² - 1 )                               [( 2 ² - 1 ) = 3 = πρώτος αριθμός ]

Ο δεύτερος τέλειος είναι ο 28, αφού:

28 = 2²  ( 2 ³ - 1 )                            [( 2³ - 1 ) = 7 = πρώτος αριθμός ]

Ο τρίτος τέλειος ισούται με 496, αφού:

496 = 16. 31 = 2⁴ ( 2⁵  - 1 )      και  ( 2⁵  - 1 ) = 31 = πρώτος αριθμός ]

                    

Ο τέταρτος τέλειος είναι ο 8128, αφού:

8128 = 64. 127 = 2⁶  ( 2⁷ - 1 )   και ( 2⁷ - 1 )= 127 = πρώτος αριθμός

                      

Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2 ª – 1 , ονομάζονται πρώτοι του Mersenne ¹

Ιδιότητες των τέλειων αριθμών που παράγονται από τους πρώτους του Mersenne

1. Είναι άρτιοι με ψηφίο των μονάδων ίσο με 6 ή 8

Η ιδιότητα της αρτιότητας  είναι προφανής, εφόσον είναι πολλαπλάσια του 2.

2. Είναι τρίγωνοι αριθμοί, δηλαδή αποτελούν μερικά αθροίσματα των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των όρων αυτών των μερικών αθροισμάτων είναι πρώτος του Mersenne Πράγματι:

2 ª – 1

å Ν = 1 + 2 +3 + ……..+ 2 ª – 1

1

       2 ª – 1

Þå Ν =  [ (1 + 2 ª – 1 ) + (2 + 2 ª – 2 ) + (3 + 2 ª – 3 ) + ….]  + 2 ª ¯ ¹

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  [ 2 ª . (2 ª ¯ ¹ - 1)] + 2 ª ¯ ¹

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  2 ª ¯ ¹ (2 ª – 2 +1 )

      1

       2 ª – 1

Þå Ν =  2 ª ¯ ¹ (2 ª – 1 )

      1

Παραδείγματα:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 +15 + 16 + ....+ 31

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 +15 + 16 + ....+ 127

3. Με εξαίρεση το 6, οι τέλειοι που ακολουθούν είναι αθροίσματα κύβων περιττών αριθμών. Έτσι έχουμε:

28 = 1³ + 3³

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

4. Για κάθε τέλειο αριθμό, το άθροισμα των αντίστροφων των διαιρετών του, συμπεριλαμβανομένου του ιδίου, ισούται με 2.

Εφαρμογές

1. Να αποδειχθεί ότι αν ο αριθμός 2 ª – 1 είναι πρώτος, τότε και ο a είναι πρώτος.

Μέθοδος απόδειξης: Εις άτοπον απαγωγή.

Έστω λοιπόν ότι a σύνθετος αριθμός. Εκ’ της υποθέσεως μπορούμε να πούμε ότι

a = β γ                  με β, γ Î Ν

Þ  2 ª – 1 = [(2 Ù β )Ù γ ] - 1         [ Η έκφραση 2^β σημαίνει 2 υψωμένο στη β δύναμη κ.ο.κ ]

Θέτουμε 2 Ù β = δ

Þ  2 ª – 1 = (δÙ γ ) – (1Ù γ)

Þ  2 ª – 1 = ( δ – 1 ) [ δ Ù (γ-1) + δ Ù (γ-2) + ....δ + 1 ]

Προφανώς λοιπόν αν a σύνθετος αριθμός τότε 2 ª – 1 επίσης είναι σύνθετος γεγονός άτοπο, εφόσον ο 2 ª – 1 είναι πρώτος του  Mersenne

Αφού όμως ο a δεν μπορεί να είναι σύνθετος τότε υποχρεωτικά είναι πρώτος.

2. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των γνησίων διαιρετών αριθμού της μορφής

(2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  όπου 2 ª – 1 πρώτος του  Mersenne ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.

Αν συμβολίσουμε το άθροισμα των διαιρετών του αριθμού (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  με το σύμβολο å τότε έχουμε :

å = (1 + 2 + 2² + 2³ + .....+ 2 ª ¯ ² +2 ª ¯ ¹  ) + [  (2 ª – 1 ) + 2 (2 ª – 1 )

+ 2² (2 ª – 1 ) + 2³ (2 ª – 1 ) + .... (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ² ]

Þ å = (2 ª   - 1) + (2 ª – 1 ) [ 1 + 2 + 2²  + 2³  + ....  2 ª ¯ ² ]

Þ å = (2 ª   - 1) + (2 ª – 1 )   (2 ª ¯ ¹ - 1 )

Þ å = (2 ª   - 1) ( 1 + 2 ª ¯ ¹ - 1 )

Þ å = (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹ 

3. Να αποδειχθεί ότι οι τέλειοι αριθμοί τελειώνουν πάντα σε 6 ή 8.

Έστω ο τυχαίος τέλειος αριθμός

(2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹ 

Στην άσκηση 1 έχουμε αποδείξει ότι αν ο 2 ª   - 1 είναι πρώτος τότε και ο a είναι πρώτος. Αφού ο a είναι πρώτος, τότε προφανώς είναι και περιττός. Αν υψώσουμε το 2 σε περιττή δύναμη τότε ο αριθμός των μονάδων του αριθμού που προκύπτει τελειώνει σε 2 ή 8, ενώ αν το δύο υψωθεί σε άρτια δύναμη ο αριθμός που προκύπτει τελειώνει σε 4 ή 6.

Προφανώς λοιπόν:

Ο εκθέτης  a – 1 είναι άρτιος

Þ  ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 4 ή 6            (1)

Ο εκθέτης a είναι περιττός αριθμός

Þ  ο αριθμός 2 ª   έχει ψηφίο μονάδων 2 ή 8

Þ  ο αριθμός 2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 1 ή 7           (2)

Επειδή τα ψηφία των μονάδων των διαδοχικών δυνάμεων του 2 επαναλαμβάνονται περιοδικά με βάση το μοτίβο 2, 4, 6, 8, 2, 4, 6, 8 .......προκύπτει ότι:

Αν ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 4, τότε ο αριθμός   2 ª έχει ψηφίο μονάδων 8 και προφανώς ο αριθμός  2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 7. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 8.

Αν ο αριθμός 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 6, τότε ο αριθμός   2 ª έχει ψηφίο μονάδων 2 και προφανώς ο αριθμός  2 ª  -1  έχει ψηφίο μονάδων 1. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός (2 ª   - 1) 2 ª ¯ ¹  έχει ψηφίο μονάδων 6.

Στο σημείο αυτό η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

4. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των αντίστροφων των παραγόντων ενός τέλειου αριθμού ( περιλαμβανομένου και του ιδίου ) ισούται πάντα με 2.

Αν συμβολίσουμε το άθροισμα των αντίστροφων των  διαιρετών του τέλειου αριθμού

 (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  με το σύμβολο å τότε έχουμε :

å = (1 + 1/2 + 1/2² + 1/2³ + .....+ 1/2 ª ¯ ² + 1/2 ª ¯ ¹  ) + {  1/(2 ª – 1 ) + 1/ [2 (2 ª – 1 )] + 1/ [2² (2 ª – 1 ) ]+ 1/ [2³ (2 ª – 1 )] + .... +1/ [ (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ² +1/ [ (2 ª – 1 ) 2 ª ¯ ¹  ]

Η πρώτη παρένθεση είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο τη μονάδα και λόγο ½. Όμοια η παράσταση μέσα στις αγκύλες είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο   1/(2 ª – 1 ) και λόγο το ½ . Εφαρμόζουμε τους σχετικούς τύπους

Þ å = [(2 ª   - 1)/ 2 ª ¯ ¹]  +  [1/(2 ª – 1 ) ] [  (2 ª – 1 )/ 2 ª ¯ ¹  ]

Þ å = [(2 ª   - 1)/ 2 ª ¯ ¹]  +  (1/ 2 ª ¯ ¹  )

Þ å = 2 ª   /2 ª ¯ ¹

Þ å = 2   

Σημειώσεις

1. Martin Mersenne (1588 - 1648). Ασχολήθηκε με τη Θεολογία, τη Μουσική και την Αριθμητική. Ιδιαίτερα ασχολήθηκε με τους πρώτους αριθμούς της μορφής 2 ª – 1 που φέρουν και το όνομα του.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα