Πλευρικοί & διαμετρικοί αριθμοί και ρητές προσεγγίσεις τετραγωνικών ριζών

Του Μιχάλη Α. Πόλη

Εκπαιδευτικού

Εισαγωγή

Είναι γνωστόν ότι δεν υπάρχει ρητός¹ αριθμός ο οποίος μπορεί να αποδώσει το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου  πλευράς 1 cm. Μπορούμε όμως να επιτύχουμε ρητές προσεγγίσεις της √2  με τους πλευρικούς και τους διαμετρικούς αριθμούς.

Ρητές προσεγγίσεις της ρίζας του δύο

Ο Θέωνας ο Σμυρναίος², δημιουργεί τους πλευρικούς και τους διαμετρικούς αριθμούς αρχίζοντας από μία άτοπη παραδοχή, η οποία στη πορεία γίνεται λιγότερο λανθασμένη καθώς πετυχαίνουμε καλύτερες προσεγγίσεις:

Έστω λοιπόν ότι υπάρχει τετράγωνο με πλευρά Α1 = 1 και διαγώνιο Δ1 = 1. Κατασκευάζουμε δεύτερο τετράγωνο με πλευρά Α2 = Α1 + Δ1 και Δ2 = 2Α1 + Δ1 . Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία ακολουθώντας τον ίδιο κανόνα δηλαδή:

Αν = Αν-1 + Δν-1

και

Δ ν = 2 Αν-1 + Δν-1

Οι διαδοχικοί λόγοι Δ ν  / Αν  δίνουν όλο και καλύτερες προσεγγίσεις της √ 2, όπως δείχνει και ο πίνακας που ακολουθεί:

Βλέπε εικόνα στο τέλος της εργασίας

Σχέση τετραγώνων πλευρικών και διαμετρικών αριθμών

Αποδεικνύεται με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής ότι:

Δ²ν = 2 Α²ν + (-1) Ù ν    [ η έκφραση (-1) Ù ν  διαβάζεται πλην ένα υψωμένο στη ν-στη δύναμη]

1. Έλεγχος της υπόθεσης για ν=1

Δ²1= 2 Α²1 + -1   ( Προφανώς ισχύει αφού Δ1=  Α1 = 1 και 1 = 2.1 - 1)

2. Διατύπωση επαγωγικής υπόθεσης

Έστω ότι η πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει για ν = κ

Þ Δ² κ = 2 Α² κ + (-1) Ù κ

3. Απόδειξη της επαγωγικής πρότασης για ν= κ+1

Α κ+1 = Α κ + Δ κ              (1)

Δ κ+1 =2 Α κ + Δ κ           (2)

Από την (1) έχουμε:

2 Α² κ+1 = 2 Α² κ + 2 Δ² κ   +  4 Α κ  Δ κ                      (3)

Όμοια υψώνοντας τη (2) στο τετράγωνο έχουμε:

Δ² κ+1 =4 Α² κ + Δ² κ  +  4 Α κ  Δ κ                      (4)

Αφαιρώντας από την (4) την (3) προκύπτει:

Δ² κ+1  -  2 Α² κ+1 = 2 Α² κ  -  Δ² κ                 (5)

Αντικαθιστούμε στην (5) το ισοδύναμο του όρου 2 Α²κ ,   όπως προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση:

Þ Δ² κ+1  -  2 Α² κ+1 = Δ²κ -  (-1) Ù κ  -  Δ² κ       

Þ Δ² κ+1  -  2 Α² κ+1 =   (-1) Ù (κ + 1) 

Þ Δ² κ+1   =   2 Α² κ+1  + (-1) Ù (κ + 1) 

Εφόσον η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για δύο τυχαίες διαδοχικές τιμές του ν σε συνδυασμό με το ότι ισχύει για την αρχική τιμή ίση με 1, είναι φανερό ότι ισχύει για κάθε ν.

Ρητές προσεγγίσεις της ρίζας του τρία.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε ζεύγη αριθμών, των οποίων οι διαδοχικοί λόγοι προσεγγίζουν τη √3.

Έστω λοιπόν ότι  Α1 = 1 και  Δ1 = 1. Κατασκευάζουμε δεύτερο ορθογώνιο με πλευρά Α2 = Α1 + Δ1 και Δ2 = 3Α1 + Δ1 . Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία ακολουθώντας τον ίδιο κανόνα δηλαδή:

Αν = Αν-1 + Δν-1

και

Δ ν = 3 Αν-1 + Δν-1

Οι διαδοχικοί λόγοι Δ ν  / Αν  δίνουν όλο και καλύτερες προσεγγίσεις της √ 3, όπως δείχνει και ο πίνακας που ακολουθεί:

Βλέπε εικόνα στο τέλος της εργασίας.

Σχέση τετραγώνων πλευρικών και διαμετρικών αριθμών  της √3

Αποδεικνύεται με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής ότι

Δ²ν = 3 Α²ν + (-2) Ù ν    [ η έκφραση (-2) Ù ν  διαβάζεται πλην δύο υψωμένο στη ν-στη δύναμη]

1. Έλεγχος της υπόθεσης για ν=1

Δ²1= 3 Α²1 + ( -2 )  ( Προφανώς ισχύει αφού 1 = 3 -2 )

2. Διατύπωση επαγωγικής υπόθεσης

Έστω ότι η πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει για ν = κ

Þ Δ²κ = 3 Α² κ + (-2) Ù κ

3. Απόδειξη της επαγωγικής πρότασης για ν= κ+1

Α κ+1 = Α κ + Δ κ              (1)

Δ κ+1 =3 Α κ + Δ κ           (2)

Από την (1) έχουμε:

3 Α² κ+1 = 3 Α² κ + 3 Δ² κ   +  6 Α κ  Δ κ                      (3)

Όμοια υψώνοντας τη (2) στο τετράγωνο έχουμε:

Δ² κ+1 =9 Α² κ + Δ² κ  +  6 Α κ  Δ κ                      (4)

Αφαιρώντας από την (4) την (3) προκύπτει:

Δ² κ+1  -  3 Α² κ+1 = 6 Α² κ  -  2 Δ² κ                 (5)

Αντικαθιστούμε στην (5) το ισοδύναμο του όρου 6 Α² κ,   όπως προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση:

Þ Δ² κ+1  -  3 Α² κ+1 = 2 Δ²κ - 2 (-2) Ù κ  -  2Δ² κ       

Þ Δ² κ+1  -  3 Α² κ+1 =   (-2) Ù (κ + 1) 

Þ Δ² κ+1   =   3 Α² κ+1  + (-2) Ù (κ + 1) 

Εφόσον η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για δύο τυχαίες διαδοχικές τιμές του ν σε συνδυασμό με το ότι ισχύει για την αρχική τιμή ίση με 1, είναι φανερό ότι ισχύει για κάθε ν.

Ρητές προσεγγίσεις της ρίζας του πέντε.

Κατασκευάζουμε ομοιοτρόπως πλευρικούς και διαμετρικούς αριθμούς, των οποίων ο λόγος προσεγγίζει τη √5.

Έστω λοιπόν ότι Α1 = 1 και Δ1 = 1. Θέτουμε Α2 = Α1 + Δ1 και Δ2 = 5Α1 + Δ1 . Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία ακολουθώντας τον ίδιο κανόνα δηλαδή:

Αν = Αν-1 + Δν-1

και

Δ ν = 5 Αν-1 + Δν-1

Οι διαδοχικοί λόγοι Δ ν  / Αν  δίνουν όλο και καλύτερες προσεγγίσεις της √5, όπως δείχνει και ο πίνακας που ακολουθεί:

Βλέπε εικόνα στο τέλος της εργασίας. 

Σχέσεις τετραγώνων πλευρικών και διαμετρικών αριθμών της √5

Αποδεικνύεται με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής ότι:

Δ² ν = 5 Α² ν + (-4) Ù ν [ η έκφραση (-4) Ù ν  διαβάζεται πλην τέσσερα υψωμένο στη ν-στη δύναμη]

1. Έλεγχος της υπόθεσης για ν=1

Δ²1= 5 Α²1 + (-4)   ( Προφανώς ισχύει αφού 1 = 5 -2 )

2. Διατύπωση επαγωγικής υπόθεσης

Έστω ότι η πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει για ν = κ,  (κ Î Ν)

Þ Δ² κ = 5 Α² κ + (-4) Ù κ

3. Απόδειξη της επαγωγικής πρότασης για ν= κ+1

Α κ+1 = Α κ + Δ κ              (1)

Δ κ+1 =5 Α κ + Δ κ           (2)

Από την (1) έχουμε:

5 Α² κ+1 = 5 Α² κ + 5 Δ² κ   +  10 Α κ  Δ κ                      (3)

Όμοια υψώνοντας τη (2) στο τετράγωνο έχουμε:

Δ² κ+1 =25 Α² κ + Δ² κ  +  10 Α κ  Δ κ                      (4)

Αφαιρώντας από την (4) την (3) προκύπτει:

Δ² κ+1  -  5 Α² κ+1 = 20 Α² κ  -  4 Δ² κ                 (5)

Αντικαθιστούμε στην (5) το ισοδύναμο του όρου Δ² κ,   όπως προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση:

Þ Δ² κ+1  -  5 Α² κ+1 =     20 Α² κ  -  4 [5 Α² κ + (-4) Ù κ ]

Þ Δ² κ+1  -  3 Α² κ+1 =   (-4) Ù (κ + 1) 

Þ Δ² κ+1   =   5 Α² κ+1  + (-4) Ù (κ + 1) 

Εφόσον η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για δύο τυχαίες διαδοχικές τιμές του ν σε συνδυασμό με το ότι ισχύει για την αρχική τιμή ίση με 1, είναι φανερό ότι ισχύει για κάθε ν.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να βρούμε  ρητές  προσεγγίσεις τετραγωνικών ριζών και για άλλους μη τετράγωνους αριθμούς. Διατυπώνω όμως την εικασία ότι όσο πιο μεγάλος είναι  ο αριθμός τόσο πιο αργή είναι η σύγκλιση των λόγων Δ ν  / Α ν  προς τη ζητούμενη ρίζα.

Σημειώσεις

1. Ρητός αριθμός είναι οποιοδήποτε κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ακέραιοι αριθμοί. Στη Μαθηματική γλώσσα το άπειρο σύνολο των ρητών συμβολίζεται με Ζ .

2.  Ο Θέωνας ο Σμυρναίος ( 2^ος μ.Χ αιώνας )  έμεινε γνωστός από το έργο του με τίτλο

« Θέωνος Σμυρναίου Πλατωνικού των κατά Μαθηματικόν Χρησίμων εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν» .

Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι μαθηματικές και αστρονομικές γνώσεις που υπάρχουν στους πλατωνικούς διάλογους.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα