Η απόκλιση της αρμονικής σειράς

Η έννοια της σειράς

Μια σειρά, είναι ένα άθροισμα άπειρων στον αριθμό προσθετέων, οι οποίοι παράγονται με μια λογική αριθμητική διαδικασία.

Η Αρμονική σειρά

Οι όροι της σειράς αυτής είναι οι αντίστροφοι των φυσικών αριθμών, δηλαδή:

∞

∑   1/ r = 1 + ½  + ⅓ + ¼ + …….1/ r   + 1/ ( r + 1)+ …………

r =1

Ο πρώτος όρος της σειράς είναι το 1, ο δεύτερος το ½, ο τρίτος το ⅓ κοκ. Είναι φανερό ότι όσο προχωρούμε οι όροι μικραίνουν και σταδιακά τείνουν προς το μηδέν.

Θα αποδείξουμε ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει, δηλαδή ότι το άθροισμα των απείρων όρων της είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε αριθμό μπορούμε να σκεφτούμε. Αυτό, μπορεί να εκφραστεί με την πρόταση:

  Για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α, οσοδήποτε μεγάλο, υπάρχει αριθμός διαδοχικών όρων της αρμονικής σειράς, έστω β όροι, που το άθροισμα τους ξεπερνάει τον α. Δηλαδή:

β

∑   1/ r = (1 + ½  + ⅓ + ¼ + …….1/ β) > α               

r =1

Θα αποδείξουμε την απόκλιση της αρμονικής σειράς με την μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. (σημ. 1)

Απόδειξη Απόκλισης αρμονικής σειράς

Διατύπωση αντίθετης υπόθεσης

Έστω ότι η αρμονική σειρά συγκλίνει και ότι ο πραγματικός αριθμός α είναι το άθροισμα των απείρων όρων της.

Εκ της υποθέσεως έχουμε

∞

∑  (1/ r )  = 1 + ½  + ⅓ + ¼ + …….1/ r   + 1/ ( r + 1)+ ………… = α

r =1

Πολλαπλασιάζουμε την αρμονική σειρά επί ½

         ∞

→ ½∑   ( 1/ r ) =  ½  + ¼ + 1/6 + 1/8 +…….1/ 2r   + ………… = α /2

         r =1

 Η νέα σειρά που προκύπτει περιλαμβάνει τους όρους της αρμονικής με άρτιο παρονομαστή, ισούται με α/2 και μπορεί να γραφτεί συμβολικά ως εξής:

    ∞

→∑   (1/ 2 r ) = α / 2

    r =1

Αφαιρούμε τις δύο σειρές

   ∞                  ∞

→∑  ( 1/ r ) - ∑   (1/ 2 r ) = 1 + ⅓ + 1/5 + 1/7 +……. 1/ (2 r – 1)….= α / 2

    r =1             r =1

και προκύπτει τρίτη σειρά που περιλαμβάνει τους όρους της αρμονικής με περιττό εκθέτη, η οποία επίσης ισούται με α/2 και γράφεται συμβολικά ως εξής:

       ∞

→ ∑ [1 / (2 r – 1) ] = α/2

      1

Αν αφαιρέσουμε από τη σειρά με τους περιττούς παρονομαστές τη σειρά με τους άρτιους τότε, με βάση την αρχική μας παραδοχή, πρέπει να έχουμε αποτέλεσμα μηδέν.

       ∞                                      ∞

→ ∑ [1 / (2 r – 1)]  - ∑ (1/2r ) = α/2 - α/2 = 0

      1                                       1

Όμως αυτό είναι άτοπο όπως καταδεικνύεται κατωτέρω.

  ∞                                ∞

 ∑[1/(2 r – 1)] - ∑ 1/2 r =  (1 - ½ ) + ( ⅓ - ¼ ) + ....[1 / (2 r – 1) -1/2 r] +... > 0

 1                                  1

Αφού όλες οι παρενθέσεις αντιπροσωπεύουν θετικούς, ρητούς αριθμούς, τότε το άθροισμα απείρων θετικών παρενθέσεων δεν μπορεί να είναι μηδέν, αλλά θετικός αριθμός.

Εφόσον έχουμε καταλήξει σε άτοπο συμπέρασμα αυτό σημαίνει ότι η αρχική μας υπόθεση ότι η αρμονική σειρά συγκλίνει είναι άτοπος. Αφού η αρμονική σειρά δεν συγκλίνει είναι προφανές ότι αποκλίνει.

Σημειώσεις

Η εις άτοπον απαγωγή είναι μέθοδος μαθηματικής απόδειξης. Στηρίζεται στην αρχή του αποκλειόμενου τρίτου που διατύπωσε ο Αριστοτέλης. Με βάση την αρχή αυτή, αν έχουμε δύο αντιφατικές προτάσεις, τότε είτε η μια, είτε η άλλη είναι αληθής. Δεν υπάρχει τρίτη αληθής περίπτωση. Στα Μαθηματικά λειτουργεί ως εξής:

1. Αποδεχόμαστε ως ορθή την αντίθετη της πρότασης την οποία θέλουμε να αποδείξουμε.

2. Με βάση την αποδοχή μας διατυπώνουμε διαδοχικές κρίσεις, μέχρι να φτάσουμε σ’ ένα συμπέρασμα εμφανώς λανθασμένο.

3. Εφόσον η αντίθετη της προς απόδειξη πρότασης οδηγεί σε εμφανές λάθος, τότε είναι λανθασμένη. Άρα υποχρεωτικά η προς απόδειξη πρόταση είναι ορθή.

Μ. Πόλης.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας ή χρήση των συμπερασμάτων της με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα