Μιχάλης Α. Πόλης
1. Η ακολουθία Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711 , 28657, 46368, 75025,
121393, 196418.....
όπου ισχύει ότι ο
ν-οστός όρος ισούται με τους δύο προηγούμενους, δηλαδή
Αν= Αν-1
+ Αν-2 .
Αν υπολογίσουμε τα
διαδοχικά πηλίκα Αν/ Αν-1 τότε βλέπουμε ότι αυτά συγκλίνουν προς
συγκεκριμένο άρρητο αριθμό. Έτσι έχουμε:
Α3/ Α2
= 2, Α4/ Α3
= 1,5. Α5/ Α4
= 1 ⅔ Α6/ Α5
= 1,6 Α7/ Α6
= 1,625
Α8/ Α7
= 1,615384615 Α9/ Α8
= 1,619047619.. Α10/ Α9 =
1,617647059..
Α11/ Α10
= 1,618181818... Α12/ Α11
= 1,617977528... Α13/ Α12
= 1,618055556
Α14/ Α13
= 1,618025751...
Α15/ Α14
= 1,618037135... Α16/ Α15
= 1,618032787...
Α17/ Α16
= 1,618034448.. Α18/ Α17
= 1,618033813.. Α19/ Α18
= 1,618034056..
Α20/ Α19
= 1,618033963 Α21/ Α20=10946/6765= 1,618033999..
Α22/ Α21
=17711/10946 = 1,618033985..
Α23/ Α22
= 28657/17711= 1,61803399.. Α24/ Α23 =46368/28657=1,618033988
Α25/ Α24
=75025/46368 =1,618033989, Α26/ Α25 = 121393/75025 = 1,618033989,
Α27/ Α26 =196418/121393=
1,618033989..
Ο αριθμός στον
οποίο συγκλίνουν τα πηλίκα των διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας μας είναι η μία
εκ των δύο πραγματικών ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού
χ² - χ –1 = 0.
Είναι ο άρρητος αριθμός (1+√5)/2 προσέγγιση
του οποίου είναι ο 1,618033989.. (Με ακρίβεια 9 δεκαδικών ψηφίων ). Ας
ονομάσουμε τον άρρητο αριθμό μας με το ελληνικό γράμμα ρ. Η τριτοβάθμιος
εξίσωση μπορεί να γραφεί και με τη μορφή
(χ-ρ)(χ-1+ρ)=0
2. Πρόταση
Αν = Αν-1
+ Αν-2 να
αποδειχθεί ότι Αν / Αν-1→ ρ όταν ν→ ∞ , όπου ρ η ρίζα της τριτοβάθμιας
εξίσωσης Χ² = + Χ +1 για την οποία
ισχύει 1 < ρ <2
Αν
= Αν-1 + Αν-2
ð Αν
/ Αν-1 = 1 + (Αν-2 / Αν-1 )
ð Αν
/ Αν-1 = 1 + [1/(Αν-1 / Αν-2) ] (1)
Όταν ν → ∞ τότε ο
λόγος Αν-1
/ Αν-2 μπορεί να θεωρηθεί
ισοδύναμος με το λόγο Αν / Αν-1 Αφού
ν/(ν-1) ≈ (ν-1)/(ν-2) και προφανώς οι αντίστοιχοι λόγοι
ταυτίζονται. Αντικαθιστούμε λοιπόν τους προαναφερθέντες λόγους με Χ στην
εξίσωση (1) και αυτή μετασχηματίζεται σε
Χ = 1 + (1/Χ) ή Χ² =
Χ +1 (3)
Η εξίσωση (3) έχει μια και μοναδική πραγματική ρίζα στο διάστημα (1,2) .
Η ρίζα αυτή είναι ο άρρητος αριθμός 1,618033989.. στον
οποίο συγκλίνουν τα διαδοχικά πηλίκα Αν / Αν-1 όταν ν → ∞
3. Ο νιοστός όρος της ακολουθίας ως συνάρτηση διαφοράς αθροισμάτων
ν
Θα δείξουμε ότι ισχύει ο τύπος Αν+2=1+ ΣΑr
1
Απόδειξη
Γνωρίζουμε ότι Αν= Αν-1 + Αν-2
. Αντικαθιστώντας τον όρο Αν-2
με Αν-3 + Αν-4 και διαδοχικά τον όρο Αν-4 με Αν-5 + Αν-6 και
ομοίως τους όρους Αν-6, Αν-8 ,Αν-10, Αν-12
....., μέχρι να φτάσω σε όρο που δεν μπορεί να αναπτυχθεί περαιτέρω φτάνω στον
τύπο
Αν= Αν-1 + Αν-3 + Αν-5
+Αν-7 + Αν-9 + Αν-11 ......+
Α3 + Α2 αν ν άρτιος
Ή
Αν= Αν-1
+ Αν-3 + Αν-5 +Αν-7 + Αν-9 + Αν-11
......+ Α2 + Α1 αν ν περιττός
Όμοια μπορούμε να πούμε ότι:
Αν+1 = Αν + Αν-2 + Αν-4 + Αν-6 + Αν-8
+ Αν-10 .....+Α2 + Α1 αν ν άρτιος
Ή
Αν+1 = Αν + Αν-2 + Αν-4 + Αν-6 + Αν-8
+ Αν-10 .....+Α3 + Α2 αν ν περιττός
Αθροίζοντας
κατά μέλη τις δύο ακολουθίες έχουμε:
(Αν + Αν+1) = Α2 + (Αν + Αν-1 + Αν-2 + Αν-3 + Αν-4
+ Αν-5 .....+ Α1 )
ν
→ Αν+2
= 1 + ∑ Αr
1
4. Άθροισμα
ν όρων χρυσής ακολουθίας σε συνάρτηση με το ½ των όρων
ν
ΣΑr = Α1 + Α2
+ Α3 + Α4 + ....+ Αν .
1
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε δυάδες όρων με
τα επιμέρους αθροίσματα τους και να συμπτύξουμε τη σειρά. Έτσι για παράδειγμα:
4 6 8
ΣΑr = Α5 + Α3, ΣΑr = Α7 +Α5
+ Α3, ΣΑr = Α9 +Α7 +Α5
+ Α3 και
γενικά
1 1
1
ν
ΣΑr = Α3 + Α5 + Α7 +.....Αν+1 ( ν = άρτιος)
1
Ανάλογες συμπτύξεις μπορούν να γίνουν και
στα αθροίσματα εκείνα των οποίων το άθροισμα των όρων δεν είναι πολλαπλάσιο του
2.
2ν+1
ΣΑr = 1+Α4 + Α6 + Α8 +.....Α 2ν+2 (θ <3)
1
5.
Το άθροισμα 6 τυχαίων διαδοχικών όρων ισούται με το τετραπλάσιο του 5ου
όρου
Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +Αν+4 +Αν+5
= (Αν +Αν+1 )+ Αν+2 +(Αν+3 +Αν+4) +Αν+5
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +Αν+4 +Αν+5
= 2 Αν+2 + 2Αν+5
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +Αν+4 +Αν+5
= 2 Αν+2 + 2Αν+3+ 2Αν+4
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +Αν+4 +Αν+5
= 2 (Αν+2 + Αν+3
) + 2Αν+4
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +Αν+4 +Αν+5
= 4 Αν+4
Πόρισμα 1: Το άθροισμα ν διαδοχικών όρων,
όπου ν = 6ξ ισούται με:
ν
ΣΑr = 4 ( Αν-1 + Αν--7 + Αν--13 + Αν-19 + ......+Α5 )
1
Πόρισμα 2: Το άθροισμα ν διαδοχικών όρων,
όπου ν = 6ξ+θ, με θ<6 ισούται με:
ν
θ
ΣΑr = 4 ( Αν-1 + Αν--7 + Αν--13 + Αν-19 + ......+ Αθ+5 ) + ∑ Αr
1 1
6. Το
άθροισμα 12 τυχαίων διαδοχικών όρων είναι πάντα πολλαπλάσιο του 8
Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 (Αν+4 + Αν+10 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 (Αν+4 + Αν+9 + Αν+7 + Αν+6 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 (Αν+4 + Αν+9 + Αν+5 + 2Αν+6 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 ( Αν+9 + 3Αν+6 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 ( Αν+8 + Αν+7 + 3Αν+6 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 4 ( 2Αν+8 + 2Αν+6 )
→ Αν + Αν+1 + Αν+2 +Αν+3 +...Αν+10 +Αν+11 = 8 ( Αν+8 + Αν+6 )
Πόρισμα 1: Το άθροισμα ν διαδοχικών όρων,
όπου ν = 12ξ ισούται με:
ν
ΣΑr = 8 [( Αν-3 + Αν—5 ) + (Αν--15 + Αν—17 ) + ......+ ( Α9 + Α7) ]
1
Πόρισμα 2: Το άθροισμα ν διαδοχικών όρων,
όπου ν = 12ξ+θ, με θ<12 ισούται με:
ν
θ
ΣΑr = 8 [( Αν+θ-3 + Αν+θ—5 )
+ (Αν+θ--15 + Αν+θ—17 )
+ ......+ ( Α9+θ + Α7+θ)
] + ∑ Αr
1
1
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου