Τα παράδοξα του Ζήνωνα και ο Ελεατικός Μονισμός

Ο Ζήνωνας προσπάθησε να αποδείξει τη διδασκαλία του δασκάλου του Παρμενίδη, παρουσιάζοντας μια σειρά από παραδείγματα τα οποία κατά την άποψη του αποδείκνυαν την αδυναμία της κινήσεως. Παραθέτουμε τρία από τα προβλήματα  αυτά που έχουν μείνει γνωστά ως τα παράδοξα του Ζήνωνα:

1. Το παράδοξο της άπειρης διχοτόμησης

Υποθέστε, είπε ο Ζήνωνας, ότι θέλετε να ταξιδέψετε από το σημείο Α στο σημείο Β. Για να το κάνετε πρέπει να περάσετε από τη μέση της γραμμής ΑΒ και έστω ότι ονομάζουμε τη μέση αυτή Γ. Για να διανύσουμε όμως το ΑΓ πρέπει πρώτα να περάσουμε από το μέσο του και έστω Δ το μέσο του ΑΓ. Για να καλύψω όμως το ΑΔ πρέπει να περάσω από το μέσο του και η διαδικασία διχοτόμησης των ευθυγράμμων τμημάτων  μπορεί να συνεχιστεί για πάντα, επεκτεινόμενη στον άπειρο χρόνο. Για να καλύψω λοιπόν το ΑΒ θα πρέπει να περάσω από άπειρα σημεία, το οποίο απαιτεί άπειρο χρόνο. Άρα η κίνηση είναι αδύνατη, αφού η κάλυψη πεπερασμένου διαστήματος, οσοδήποτε μικρού, χρειάζεται άπειρο χρόνο.

Το λάθος είναι προφανές. Καθώς διχοτομούνται τα χωρικά διαστήματα, διχοτομείται και ο απαιτούμενος χρόνος για κάλυψη του διαστήματος. Κάθε διάστημα λοιπόν υπερκαλύπτει το σύνολο όλων των επόμενων που θα ακολουθήσουν. Έτσι, με βάση τα αριθμητικά παραδείγματα που ακολουθούν έχουμε:

½ > ¼ + 1/8 + 1/16 +1/32......, ¼ >1/8 + 1/16+ 1/32 + 1/64....... ⅛ > 1/16 + 1/32 +1/64 + 1/128...... ........................................ 1/2^ν > 1/2^(ν+1) +1/2^(ν+2) + 1/2^(ν+3)   ( Όπου η έκφραση 2^ν σημαίνει δύο υψωμένο στη νιοστή δύναμη )

Όλα μαζί τα άπειρα σε αριθμό διαστήματα από το δεύτερο ως το απειροστό δεν αρκούν για να ισοζυγίσουν το πρώτο. Αν το αρχικό μισό διανύθηκε σε α χρονικό διάστημα όλα τα άλλα απαιτούν ακόμα α χρόνο. Προφανώς η απόσταση διανύεται σε πεπερασμένο χρόνο 2α και το παράδοξο λύεται.

2. Η αδυναμία του ταχύτατου Αχιλλέα να ξεπεράσει την αργοκίνητη χελώνα

Ο Αχιλλέας διαγωνίζεται με μια χελώνα σε αγώνα δρόμου. Οι δύο δρομείς αρχίζουν ταυτόχρονα να τρέχουν, όμως η χελώνα έχει ένα προβάδισμα, αφού η αφετηρία της βρίσκεται σε απόσταση Α μπροστά από την αφετηρία του Αχιλλέα. Ο Ζήνωνας φτάνει στο παράδοξο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα. Επιχειρηματολογεί ως εξής:

Μέχρι να διανύσει την απόσταση Α ο γοργοπόδαρος ήρωας, η χελώνα θα έχει καλύψει απόσταση Β. Μέχρι να καλύψει το προβάδισμα Β ο γιος του ανέμου, η χελώνα θα καλύψει απόσταση Γ, έστω μικρότερη από τη Β, αλλά πάντως υπαρκτή. Ο συλλογισμός αυτός μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές. Η χελώνα μας θα έχει συνεχώς προβάδισμα, έστω συνεχώς μικρότερο, αλλά όχι μηδενικό. Αφού ο ταχύτερος δεν μπορεί να φτάσει ποτέ το βραδύτερο, τότε η κίνηση είναι αδύνατη συμπεραίνει ο Ζήνωνας.

Το λάθος του Ζήνωνα είναι ότι δεν μπορεί ή δεν θέλει να εννοήσει ότι τα άπειρα σε αριθμό διαστήματα που θα διανύσει η χελώνα, αθροιζόμενα δίνουν πεπερασμένο διάστημα το οποίο είναι φανερό πως ο Αχιλλέας θα διανύσει σε πεπερασμένο χρόνο, μετά από τον οποίο θα ξεπεράσει ταχέως τη βραδυκίνητη ανταγωνίστρια του. Το συμπέρασμα είναι προφανές ακόμα και σε ένα καλό μαθητή γυμνασίου, που ξέρει να υπολογίζει το άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Το άθροισμα αυτό είναι  πεπερασμένο και όχι άπειρο. Ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του (22 233^α 21) ξεχωρίζει το κατά πρόσθεση άπειρο με το κατά διαίρεση. Η αναφορά του μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής:

Αν κάθε επόμενος όρος ακολουθίας μεγεθών μπορεί να προκύψει από τη διαίρεση του προηγούμενου με ένα σταθερό φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδας, τότε το άθροισμα των απείρων όρων της ακολουθίας είναι πεπερασμένο. Το ανωτέρω συμπέρασμα αναιρεί το παράδοξο που προαναφέραμε.

3. Η αδυναμία κίνησης του βέλους «Η οιστός φερομένη έστηκεν»

Ο Ζήνωνας επιχειρηματολογεί ως εξής: Σε κάθε χρονική στιγμή που το βέλος κινείται, αυτό καλύπτει τόσο χώρο όσο και το μέγεθος του. Προφανώς, εντός της χρονικής στιγμής το βέλος είναι ακίνητο, μέσα στο χώρο που ορίζει το περίγραμμα του. Ένα χρονικό διάστημα αποτελείται από άπειρες χρονικές στιγμές μηδενικού χρόνου έκαστη, στο παρόν. Αν το κινούμενο βέλος εξ’ ορισμού είναι ακίνητο σε κάθε μια από αυτές, τότε είναι ακίνητο συνολικά καθ’ όλη την τροχιά κίνησης του. Επιπλέον, αφού το βέλος ευρίσκεται στο παρόν, το οποίο καλύπτει μια φευγαλέα χρονική στιγμή, μπορούμε να πούμε τα ακόλουθα:

1. Το βέλος δεν κινείται στο παρελθόν και στο μέλλον, επειδή το πρώτο έχει περάσει και το δεύτερο δεν έχει έρθει ακόμα.

2. Το βέλος υπάρχει μόνο στη φευγαλέα στιγμή του παρόντος, στην οποία εξ ορισμού καλύπτει καθορισμένο χώρο και είναι ακίνητο. Δεν υπάρχει στο παρελθόν και στο μέλλον. Προφανώς λοιπόν είτε αυτό είναι ανύπαρκτο (παρελθόν, μέλλον) είτε είναι ακίνητο.(παρόν)

Με βάση τα ανωτέρω η κίνηση είναι αδύνατη και το ταχέως κινούμενο βέλος είναι μια αυταπάτη των αισθήσεων.

Η σκέψη του Ζήνωνα είναι αντιφατική. Τι νόημα έχει να πεις ότι το κινούμενο βέλος είναι ακίνητο, εφόσον η κίνηση αναιρεί την ακινησία και αντίστροφα; Ακόμα δεν έχει νόημα  να πεις ότι το βέλος υπάρχει μόνο στο παρόν, αφού αν δεν υπήρχε στο παρελθόν  είναι αδύνατο να υπάρχει στο παρόν. Από το τίποτε μόνο τίποτε μπορεί να προκύψει.

Προφανώς η κίνηση υπάρχει γιατί και ο χρόνος υπάρχει. Ο δεύτερος είναι το μέτρο της πρώτης και ακινησία υπάρχει μόνο μέσα στο  νοητικό σχήμα της αιωνιότητας.

Ο Ζήνωνας διαφωνεί με τον Παρμενίδη ως προς το πεπερασμένο του Όντος. Ένα μεν, όχι όμως εύκυκλος ορισμένη σφαίρα, αλλά άπειρο. Η άπειρη χωρικά οντότητα δεν αλλάζει αν σε αυτή προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε κάτι. Ούτε αν την πολλαπλασιάσουμε ή τη διαιρέσουμε. Στο σημείο αυτό ο συλλογισμός του Ζήνωνα συμπίπτει με τον απειροστικό λογισμό των σύγχρονων μαθηματικών. Πράγματι ένας άπειρος αριθμός δεν μεταβάλλεται αν  εφαρμόσουμε πάνω του τις τέσσερις πράξεις. Αν δηλαδή του προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε πεπερασμένο αριθμό, ή αν κάνουμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση απείρου αριθμού με πεπερασμένο, ο πρώτος εξακολουθεί να είναι άπειρος.

∞ + α =  ∞  , ∞ - α =  ∞   κοκ. Όπου ∞  = άπειρη  και α πεπερασμένη ποσότητα

Η διαφωνία του Ζήνωνα ως προς το άπειρο του Όντος προσθέτει ένα ουσιαστικό επιχείρημα ως προς την ενότητα του. Το άπειρο δεν έχει όρια, άρα τίποτε δεν μπορεί να υπάρξει εκτός αυτού, γιατί αν υπήρχε, τότε δεν θα μιλούσαμε για άπειρο, αλλά για πεπερασμένο. Εντούτοις η άπειρη ενότητα περιλαμβάνει μέσα της τον σπόρο της πολλαπλότητας. Ο κόσμος του Ζήνωνα είναι απείρως διαιρετός όπως δείχνουν τα άπειρα σημεία που πρέπει να διανύσει ο ταξιδιώτης του πρώτου παράδοξου και τα άπειρα υποδιαστήματα χώρου ή στιγμές χρόνου, που υποδεικνύει το παράδοξο του βέλους. Πολλαπλός και όμως ένας. Ο Ζήνωνας δεν το είχε ποτέ διανοηθεί, όμως έμμεσα πλησίασε την  ενότητα των αντιθέτων του Ηράκλειτου....