Χρυσή Τομή, ακολουθία Fibonacci και τύπος του Binet

 Χρυσή τομή  

Ο αριθµός Φ (Το κεφαλαίο Φ δόθηκε προς τιµή του γλύπτη Φειδία¹) είναι γνωστός από την αρχαιότητα και δίνει την τιμή της χρυσής τομής. Έχει πλείστες εφαρµογές στην Τέχνη, την Αρχιτεκτονική (π.χ. οι διαστάσεις του Παρθενώνα έχουν λόγο χρυσής τοµής) αλλά και την ίδια την ανθρώπινη ανατομία αφού ένα ανθρώπινο σώµα µε ιδανικές αναλογίες χωρίζεται από τον οµφαλό σε λόγο χρυσής τοµής. Ο αριθμός Φ και η χρυσή τομή είναι οι δύο όψεις του ιδίου νομίσματος. Τα µικροσκοπικά άνθη στο κέντρο της µαργαρίτας σχηµατίζουν δεξιόστροφες και αριστερόστροφες ελικοειδείς γραµµές.

Οι αριθµοί των γραµµών αυτών είναι  διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci που οι λόγοι των διαδοχικών όρων της τείνουν στο Φ! Το ίδιο  παρατηρείται στις αναλογίες των οστρακοειδών και άλλων φυτών και ζώων. Επιπλέον διάσημοι ζωγράφοι ενσωματώνουν την χρυσή τομή στις αναλογίες των έργων τους. Πασίγνωστος είναι ο Μυστικός Δείπνος του Λεονάρτο Ντα Βίτσι του αναγεννησιακού πανεπιστήμονα που είχε πάθος με τη χρυσή αναλογία.

Τα μαθηματικά της χρυσής τομής: Τύπος του Μπινέ (Binet)

 Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τον 30^ο όρο της αναδρομικής ακολουθίας Fibonacci. Εξ’ ορισμού   κάθε όρος ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Πώς όμως να υπολογίσουμε τον 30^ο όρο, αφού δεν ξέρουμε τον 28^ο και τον 29^ο; Μήπως πρέπει να υπολογίσουμε διαδοχικά όλους τους όρους μέχρι τον 30^ο; Και τι θα κάναμε αν θέλαμε να υπολογίσουμε τον 300^ο όρο; Θα κάναμε τρακόσιους ξεχωριστούς υπολογισμούς; Για να αποφύγουμε αυτή την ανιαρή ταλαιπωρία, πολύτιμος είναι ο λεγόμενος τύπος του Binet με τον οποίο υπολογίζουμε τον όρο ν τάξεως της ακολουθίας Fibonacci ως εξής:

Fn =( Φⁿ -Ψⁿ)/ √5,   όπου Φ= (1+√5)/2  ο αριθμός της χρυσής τομής και Ψ= (1-√5)/2

Μέθοδος απόδειξης: Μαθηματική Επαγωγή

Α. Έλεγχος πρότασης για αρχικές τιμές n=1, n=2

Ζητείται:

F1= (Φ – Ψ)/√5

Και F2= (Φ² – Ψ²)/√5

(Φ – Ψ)/√5= (1+√5 -1+√5)/2√5 = 2√5/2√5=1 = F1   άρα ισχύει για n=1

(Φ² – Ψ²)/√5= (3+√5 -3+√5)/2√5 = 2√5/2√5=1 = F2   άρα ισχύει για n=2

Β. Διατύπωση επαγωγικής υποθέσεως

Έστω ότι η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για τυχαίες διαδοχικές τιμές  n=κ, n=κ+1    κ∊Ν, δηλαδή ισχύει:

Fκ = ( Φᴷ -Ψᴷ)/ √5

Fκ+1 = ( Φᴷ⁺¹ -Ψᴷ⁺¹)/ √5

Γ. Επαγωγικό Βήμα: Απόδειξη της πρότασης για ν=κ+2

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει:

Fκ+2 = ( Φᴷ⁺² -Ψᴷ⁺²)/ √5

Εκ του ορισμού της αναδρομικής ακολουθίας Fibonacci προκύπτει:

Fκ + Fκ+1 = Fκ+2      (1)

Εκ της επαγωγικής υποθέσεως όμως έχουμε

Fκ + Fκ+1 = [( Φᴷ -Ψᴷ)/ √5] +[( Φᴷ⁺¹ -Ψᴷ⁺¹)/ √5]

⇨ Fκ + Fκ+1 = [ Φᴷ (1+Φ) - Ψᴷ (1+Ψ)/√5 ]                                (2)

Φ²= (1+ √5)²/4 = ( 1+5+2√5)/4 =( 3+√5)/2 = 1 + (1+√5)/2 = 1+Φ             (3)

Ψ²= (1- √5)²/4 = ( 1+5-2√5)/4 =( 3-√5)/2 = 1 + (1-√5)/2 = 1+Ψ             (4)

Εκ των σχέσεων (2) , (3) και (4) προκύπτει:

Fκ + Fκ+1 = [ Φᴷ (1+Φ) - Ψᴷ (1+Ψ) ]= ( Φᴷ⁺² -Ψᴷ⁺²)/ √5                  (5)

Και εκ της (1) και την (5) προκύπτει η ζητούμενη σχέση

Fκ+2 = ( Φᴷ⁺² -Ψᴷ⁺²)/ √5   

Θέτοντας κ=1 και κ=2 είναι φανερό ότι η ζητούμενη σχέση ισχύει για κ=3. Αφού όμως ισχύει για κ=2 και κ+1 = 3 ισχύει και για κ=4 και επαγωγικά για κάθε κ∊Ν     Όπερ έδει δείξε

Σημειώσεις

1.       Ο Φειδίας είναι ίσως ο κάλλιστος των Ελλήνων γλυπτών της κλασσικής εποχής. Έζησε και εργάστηκε στην Αθήνα του 5^ου π.Χ. αιώνα την εποχή του Περικλή. Θεωρείται ότι είχε την γενική εποπτεία των γλυπτών του Παρθενώνα. Επιπλέον φιλοτέχνησε το άγαλμα της Αθηνάς προμάχου που τοποθετήθηκε εντός του Παρθενώνος. Επειδή η χρυσή τομή είναι το δόγμα του αισθητικού κάλλους και της ομορφιάς δόθηκε το αρχικό γράμμα του ονόματος του στον αριθμό της χρυσής τομής.