Άθροισμα τετραγώνων αριθμών Fibonacci¹

 Ζητείται να αποδείξουμε ότι:

1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fν)² = Fν. Fν+1

Μέθοδος απόδειξης: Μαθηματική ή Τελεία Επαγωγή²

Α. Έλεγχος πρότασης για αρχική τιμή ν=1

Ζητείται: (F1)²= F1 .F2

Προφανώς ισχύει αφού F1 = F2=1

→(F1)²= 1 και F1 = F2=1

→(F1)²= F1 .F2

Β. Διατύπωση επαγωγικής υποθέσεως

Έστω ότι η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για τυχαία τιμή ν=κ    κ∊Ν, δηλαδή ισχύει ότι:

1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fκ)² = Fκ. Fκ+1

Γ. Επαγωγικό Βήμα: Απόδειξη της πρότασης για ν=κ+1

Θα αποδείξουμε ότι ισχύει:

1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fκ)² + (Fκ+1)² = Fκ. Fκ+1

[1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fκ)²] + (Fκ+1)² = Fκ. Fκ+1 +(Fκ+1)²

⇨[1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fκ)²] + (Fκ+1)² = Fκ+1 .( Fκ + Fκ+1)

Όμως εξ’ ορισμού Fκ + Fκ+1 = Fκ+2

⇨[1² + 1²+2²+3² + 5²+8²+13² + 21²+34²+…+ (Fκ)²] + (Fκ+1)² = Fκ+1 .Fκ+2

Θέτοντας κ = 1 είναι φανερό ότι η πρόταση μας ισχύει για κ=2 . Συνακόλουθα για κ=2 ισχύει για κ=3 και επαγωγικά για κάθε κ φυσικό αριθμό. Η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Σημειώσεις

1. Η αναδρομική ακολουθία Fibonacci προκύπτει από τη σχέση  Fν = Fν-1 + Fν-2    με F1 = F2 =1. Οι όροι της είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

2. Σε  μαθηματική γλώσσα η μέθοδος απόδειξης της τελείας επαγωγής ορίζεται από τα παρακάτω τρία στάδια:

Α. Έλεγχος ισχύος της προς απόδειξη πρότασης για την αρχική τιμή της: Εν προκειμένω δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ (ν)  ισχύει για ν = 1,

Β. Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι η πρόταση P(ν) είναι αληθής για κάποιο τυχαίο φυσικό αριθμό ν = κ, δηλαδή ότι ισχύει η P(κ).

Γ. Επαγωγικό βήμα: Απόδειξη πρότασης για ν=κ+1: Χρησιμοποιώντας ως εφαλτήριο την επαγωγική υπόθεση P(κ) προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για  ν = κ + 1 δηλαδή  ότι ισχύει η P(κ + 1).

Αν αποδείξουμε την ισχύ της P(κ + 1)  τότε έχουμε καταφέρει να αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάθε  φυσικό αριθμό, υπό την προϋπόθεση  της επαλήθευσης της για την αρχική τιμή της ακολουθίας, η οποία θα «πυροδοτήσει την πτώση των διαδοχικών στηλών του ντόμινο». Στην περίπτωση μας όμως το ντόμινο έχει άπειρες στήλες, κάθε μια από τις οποίες παράγεται από τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Θέτοντας κ=1 προκύπτει επαγωγικά ότι ισχύει για κ=2, άρα για κ=3,4,5….και γενικά  ∀ν∊Ν

3. Η γεωμετρική απόδειξη της πρότασης φαίνεται στο σχήμα που παραθέτουμε.