Στερεοί Αριθμοί

Ορισμός:

Στερεοί ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί  που προκύπτουν ως γινόμενο τριών διαφορετικών περιττών πρώτων.

Έστω Π1, Π2, Π3 περιττοί πρώτοι  για τους οποίους ισχύουν οι πιο κάτω περιορισμοί:

 3 ≤ Π1 < Π2 < Π3     (1) 

 Π2 ≥ 5 και Π3 ≥ 7     (2)

Πρόταση 1:

Οι στερεοί αριθμοί είναι ατελείς:

Δηλαδή ζητείται να καταδειχθεί ότι:

 Π1. Π2 . Π3> Π1. Π2 + Π1. Π3 + Π2. Π3 + Π1 + Π2 + Π3 +1

Απόδειξη:

Έστω  Π1. Π2 . Π3 = Σ

Από τους περιορισμούς (1) και (2)  προκύπτει ότι:

Π1. Π2 ≤ Σ/7     15

Π1. Π3 ≤ Σ/5     23

Π2. Π3 ≤ Σ/3     35

Π1≤ Σ/35            3

Π2≤ Σ/21            5

Π3 ≤ Σ/15           7

1≤  Σ/ 105            1

→ Π1. Π2 + Π1. Π3 + Π2. Π3 + Π1 + Π2 + Π3 +1 ≤ 89 Σ /105       

Αν ονομάσουμε το άθροισμα των διαιρετών του στερεού αριθμού ΣΠ3 έχουμε ότι:

ΣΠ3 = Π1. Π2 + Π1. Π3 + Π2. Π3 + Π1 + Π2 + Π3 +1

και άρα:

ΣΠ3 < Σ

Επιμέρους πορίσματα

1. Κάθε στερεός αριθμός έχει 2³ - 1 γνήσιους διαιρέτες δηλαδή 7.

Ο αριθμός των γνησίων διαιρετών προκύπτει από τους συνδυασμούς των τριών πρώτων ανά 0 , άνα 1 και ανά 2 διαιρέτες δηλαδή :

Αριθμός γνησίων διαιρετών στερεού αριθμού = 3C0   + 3C1 + 3C2  = 1 + 3 + 3 = 7 γνήσιοι διαιρέτες

2. Ο Πληθικός αριθμός του συνόλου των στερεών αριθμών είναι υπέρπεπερασμένος

Η πρόταση αυτή είναι προφανής εφόσον ο αριθμός των περιττών πρώτων αριθμών είναι επίσης υπέρ- πεπερασμένος.

Πρόταση 2

Ατελώς Φίλιοι Στερεοί αριθμοί

Ορισμός:

Ατελώς Φίλιοι ονομάζονται δύο στερεοί αριθμοί που έχουν το ίδιο άθροισμα γνησίων διαιρετών

Ανίχνευση

Από την δεύτερη, αναπόδεικτη, εικασία του Γκόλμπαχ ξέρουμε ότι  κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του  5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων. Δημιουργούμε πίνακα όπου γράφουμε όλους τους συνδυασμούς τριών πρώτων που δίνουν διψήφιους περιττούς. Ακολούθως για κάθε περιττό πρώτο υπολογίζουμε το άθροισμα ΣΠ1Π2  που ορίζεται ως:

ΣΠ1 Π2 = Π1Π2 + Π1Π3 + Π2Π3

Αν το ζεύγος έχει ίδιο ΣΠ1Π2 τότε οι στερεοί αριθμοί είναι ατελώς φίλιοι

Παράδειγμα 1
 Ζεύγος ατελώς φίλιων στερεών αριθμών:

7657 και 7337

7657 = 31 Χ 19 Χ 13

Σ Π (7657) = 1 + 13 + 19 + 31 + 247 + 403 + 589 = 1303

7337 = 11Χ23Χ29

Σ Π (7337) = 1 + 11 + 23 +29 +253 + 319 + 667 = 1303

Παράδειγμα 2

Ζεύγος ατελώς φίλιων αριθμών:

7733 και 6293

7733 = 11Χ19Χ37

Σ Π (7733 )  = 1 + 11 + 19 +37 + 209 + 407 + 703 = 1387

6293 = 7Χ29Χ31

Σ Π (6293)  = 1 + 7 + 29 + 31 + 203 + 217 + 899 = 1387

Παράρτημα 1: Τριψήφιοι στερεοί αριθμοί

105=3Χ5Χ7,        231=3Χ7Χ11     429=3Χ11Χ13         663=3Χ13Χ17        969=3Χ17Χ19
165=3Χ5Χ11       273=3Χ7Χ13     561=3Χ11Χ17         741=3Χ13Χ19
195=3Χ5Χ13       357=3Χ7Χ17     627=3Χ11Χ19         897=3Χ13Χ23
255=3Χ5Χ17       399=3Χ7Χ19     759=3Χ11Χ23
285=3Χ5Χ19       483=3Χ7Χ23     957=3Χ11Χ29
345=3Χ5Χ23       609=3Χ7Χ29 
435=3Χ5Χ29       651=3Χ7Χ31
465=3Χ5Χ31       777=3Χ7Χ37
555=3Χ5Χ37       861=3Χ7Χ41
615=3Χ5Χ41       903=3Χ7Χ43
645=3Χ5Χ43       987=3Χ7Χ47
705=3Χ5Χ47
795=3Χ5Χ53
885=3Χ5Χ59
915=3Χ5Χ61

385=5Χ7Χ11      715=5Χ11Χ13
455=5Χ7Χ13      935=5Χ11Χ17
595=5Χ7Χ17
665=5Χ7Χ19
805=5Χ7Χ23

Παράρτημα 2

2ν+1	Π1	Π2	Π3	Σ Π1 Π2	Π1 Π2Π3
99	89	7	3	911
	83	13	3	1367
	83	11	5	1383
	79	17	3	1631
	79	13	7	1671
	73	23	3	1967
	73	19	7	2031
	71	23	5	2103
	71	17	11	2175
	67	29	3	2231
	67	19	13	2391
	61	31	7	2535
	59	37	3	2471
	59	29	11	2679
	59	23	17	2751
	53	43	3	2567
	53	41	5	2643
	53	29	17	2931
	47	41	11	2895
	47	29	23	3111	31349
	43	37	19	3111	30229
2ν+1	Π1	Π2	Π3	Σ Π1 Π2	Π1 Π2Π3
97	89	5	3	727
	83	11	3	1195
	79	13	5	1487
	79	11	7	1499
	73	19	5	1847
	73	17	7	1871
	73	13	11	1895
	71	23	3	1915
	71	19	7	1979
	67	23	7	2171
	67	19	11	2219
	67	17	13	2231
	61	31	5	2351
	61	29	7	2399
	61	23	13	2495
	61	19	17	2519
	59	31	7	2459
	53	41	3	2455
	53	37	7	2591
	53	31	13	2735
	47	43	7	2651
	47	37	13	2831
	47	31	19	2939
	43	41	13	2855
	43	37	17	2951
	43	31	23	3035
	41	37	19	2999
	37	31	29	3119
2ν+1	Π1	Π2	Π3	Σ Π1 Π2	Π1 Π2Π3
95	83	7	5	1031
	79	13	3	1303
	79	11	5	1319
	73	19	3	1663
	73	17	5	1691
	71	19	5	1799
	71	17	7	1823
	71	13	11	1847
	67	23	5	1991
	67	17	11	2063
	61	31	3	2167
	61	29	5	2219
	61	23	11	2327	15433
	59	31	5	2279
	59	29	7	2327	11977
	59	23	13	2423
	59	19	17	2447
	53	37	5	2411
	53	31	11	2567
	53	29	13	2603
	53	23	19	2663	23161
	47	43	5	2471
	47	41	7	2543
	47	37	11	2663	19129
	47	31	17	2783
	47	29	19	2807
	43	41	11	2687
	43	29	23	2903
	41	37	17	2843
	41	31	23	2927

Επιτρέπεται η αναφορά στο περιεχόμενο του άρθρου με αναφορά στο συγγραφέα και το ιστολόγιο. Σχόλια ευπρόσδεκτα.