Ορθογώνιοι αριθμοί

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Ορισμός:

Ορθογώνιοι, ορίζονται οι φυσικοί αριθμοί που προκύπτουν ως γινόμενο δύο διαφορετικών περιττών πρώτων.

Έστω Π1, Π2 περιττοί πρώτοι  με 3 ≤ Π1 < Π2,   Π2 ≥5, Π2 - Π1≥ 2 

1.       Να αποδειχθεί ότι οι ορθογώνιοι αριθμοί είναι ατελείς¹

Ζητείται δηλαδή να αποδείξουμε ότι:

Π1. Π2 > Π1 + Π2 +1

Απόδειξη:

1 + Π1 < Π2 ,    (αφού Π2 - Π1  ≥ 2  )

Άρα:

 Π1 + Π2 +1 < 2 Π2

Όμως 2 Π2 < Π1. Π2  (αφού ισχύει ότι: 3 ≤ Π1 )

Άρα:

Π1 + Π2 +1 < Π1. Π2    Ο.Ε.Δ.

Παράρτημα 1:

Διψήφιοι Ορθογώνιοι αριθμοί

15, 21, 33, 35,39, 51, 55, 57, 65, 69, 77, 85, 87, 91, 93, 95

Β. Ορθογώνιοι ατελώς Φίλιοι² Αριθμοί

Ορισμός

Δύο ορθογώνιοι ατελώς φίλιοι αριθμοί είναι δύο ορθογώνιοι αριθμοί που έχουν το ίδιο άθροισμα γνησίων³ διαιρετών

Παράδειγμα Φίλων ορθογωνίων αριθμών: 65, 77

Απόδειξη:

Άθροισμα γνησίων διαιρετών 65: 1+5+13=19,

Άθροισμα γνησίων διαιρετών 77: 1+7+11=19,

Παράρτημα 2:

Άθροισμα γνησίων Διαιρετών Διψήφιων Ορθογωνίων Αριθμών – Ανίχνευση ζευγών φίλων ορθογωνίων

Ο.Α.	15	21	33	35	39	51	55	57	65	69	77	85	87	91	93	95
Α.Γ.Δ.	9	11	15	13	17	21	17	23	19	27	19	23	33	21	35	25

Ζεύγη Ατελώς Φίλων Ορθογωνίων:

{ ( 39,55) , ( 51,91 ), (57,85), (65,77), …}

Παράρτημα 3:

Ατελώς Φίλοι ορθογώνιοι και εικασία του Goldbach⁴

Για κάθε άρτιο αριθμό βρίσκουμε τα ζεύγη πρώτων που ισούνται με αυτόν με βάση την εικασία. Πολλαπλασιάζουμε τα ζεύγη και βρίσκουμε τους φίλιους ορθογώνιους:

Παράδειγμα:

100

47+53 =100  άρα έχουμε τον ορθογώνιο 2491   (47 Χ 53 )

41+59=100    άρα έχουμε τον ορθογώνιο 2419   (41 Χ 59 )

29+71 = 100 άρα έχουμε τον ορθογώνιο 2059   (29 Χ 71 )

17+83 = 100 άρα έχουμε τον ορθογώνιο 1411   (17 Χ 83 )

89+11= 100 άρα έχουμε τον ορθογώνιο 979   (89 Χ 11 )

97+3 =100   άρα έχουμε τον ορθογώνιο 291   (97 Χ 3 )

Οι αριθμοί 291, 979 1411, 2059, 2419, 2491 είναι ατελώς φίλιοι ορθογώνιοι, αφού όλοι έχουν άθροισμα γνησίων διαιρετών 101.

Σημειώσεις

1.    1.   Ατελής ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που υπερβαίνει το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του.

2.    2.    Γνήσιος διαιρέτης φυσικού αριθμού είναι κάθε διαιρέτης του αριθμού εκτός από τον εαυτό του.

3.   3.     Φίλιοι είναι ζεύγος αριθμών που το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του πρώτου ισούται με το δεύτερο αριθμό και αντίστροφα. Παράδειγμα ζεύγους φίλιων αριθμών είναι οι 220 και 284.

Απόδειξη:

 Γνήσιοι διαιρέτες 220 = { 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 } . Το άθροισμα τους είναι: 1 + 2 +4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Γνήσιοι διαιρέτες 284 = { 1, 2, 4, 71, 142 } . Το άθροισμα τους είναι: 1 + 2 +4  +71 + 142  = 220

4. 4.       Η εικασία του Goldbach λέει ότι κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του δύο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Αν και μέχρι σήμερα δεν έχει βρεθεί αντιπαράδειγμα, κανένας δεν μπόρεσε να αποδείξει το θεώρημα.