A.Μερικά αθροίσματα
όρων της ακολουθίας της περιττής χρυσής τομής.
Το άθροισμα 8 διαδοχικών όρων ισούται με 4
φορές τον έβδομο όρο.
κ+7
Εξ’ ορισμού: ΣΑ r = Ακ+7 + Ακ+6
+ Ακ+5 + Ακ+4 + Ακ+3 + Ακ+2 + Ακ+1 + Ακ (1)
κ
Αντικαθιστώντας
στην (1) το Ακ+2 + Ακ+1 + Ακ
= Ακ+3 και Ακ+7 = Ακ+6 + Ακ+5 + Ακ+4
Προκύπτει η σχέση:
κ+7
ΣΑ r = 2
(Ακ+6 + Ακ+5 + Ακ+4 + Ακ+3 ) (2)
κ
Αντικαθιστώντας
στην (2) το άθροισμα Ακ+5 + Ακ+4 + Ακ+3 = Ακ+6
Προκύπτει η
ζητούμενη σχέση
κ+7
ΣΑ r = 4 Ακ+6
κ
B.
Από τη σχέση που
αποδείξαμε στην προηγούμενη παράγραφο έχουμε:
8
ΣΑ r = 4 Α7 (1) και
1
9
ΣΑ r = 4 Α8 (2)
2
Συνδυάζοντας τις
σχέσεις (1) και (2) έχουμε (Α9 – Α1)
/ (Α8 – Α7) = 4 Με παρόμοιους
συλλογισμούς μπορούμε να αποδείξουμε ότι:
(Α10 – Α2) / (Α9 – Α8) = 4
(Α11 – Α3) / (Α10 – Α9) = 4
.......................................
(Αν – Αν-8) / (Αν-1 – Αν-2) = 4
→ (Α9 – Α1) / (Α8 – Α7) =(Α10 – Α2) / (Α9 – Α8) =.....
Γενικά: (Αν – Αν-8) / (Αν-1 – Αν-2) = 4
Γ. Αθροίσματα όρων της ακολουθίας της περιττής χρυσής τομής
Γράφουμε αναλυτικά
τα αθροίσματα οκτάδων όρων και αθροίζουμε κατά στήλες:
Α1 + Α2 + ... + Α8 = 4 Α7
Α2 + Α3 + ... + Α9 = 4 Α8
Α3 + Α4 + ... + Α10 = 4 Α9
.........................................
Αν + Αν+1 + ... + Αν+7 = 4 Αν+6
→
ν ν+1 ν+2 ν+3 ν+4 ν+5 ν+6 ν+7 ν+6
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r = 4 ΣΑ r
1 2 3 4 5 6 7 8 7
→
ν ν+1 ν+2 ν+3 ν+4 ν+5 ν+7 ν+6
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r = 3
ΣΑ r
1 2 3 4 5 6 8 7
Θέτοντας ν+6 = κ ο
τύπος γράφεται ως εξής:
κ κ-6 κ-5 κ-4 κ-3 κ-2 κ-1 κ+1
ΣΑ r = ⅓ (ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r )
7 1 2 3 4 5 6 8
6
Προσθέτοντας κατά
μέλη το άθροισμα ΣΑ r = 20 προκύπτει η σχέση:
1
κ κ-6 κ-5 κ-4 κ-3 κ-2 κ-1 κ+1
ΣΑ r = ⅓ (ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ r )
1 1 1 1 1 1 1 1
Δ. Να αποδειχθεί ο
τύπος:
1.
20 16
ΣΑ r + ΣΑ r = 8 ( Α10 +Α18 )
1 5
8 12 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = 4 Α7 + 4 Α11+4 Α15 +4 Α19
1 5 9 13
8 12 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = 4 (Α7 + Α11) +4 (Α15 +Α19
)
1 5 9 13
8 12 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = 4 [(Α7 + Α8 + Α9 )+Α10 ]+4 [(Α15 +Α16
+Α17) +Α18 ]
1 5 9 13
8 12 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = 4 (2Α10
) +4 (2Α18 )
1 5 9 13
8 12 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = 8Α10 +8Α18
1 5 9 13
όμως
8 12
16 20 16 20
ΣΑ r + ΣΑ r + ΣΑ
r + ΣΑ r = ΣΑ r + ΣΑ r = 8Α10 +8Α18
1 5 9 13 5 1
Και άρα ο τύπος έχει αποδειχθεί
2. Να
αποδειχθεί ο τύπος:
8ν
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8ν+2 ) – Α8ν+4
ν=1
Απόδειξη δια της
μαθηματικής επαγωγής.
1. Έλεγχος για ν= 1
8
∑ Α r = 1+1+1+3+5+9+17+31 = 68
ν=1
3 + (4 .105) - 355 = 68
Ισχύει για ν=1
2. Έστω ότι η προς
απόδειξη πρόταση ισχύει για τυχαία τιμή ν=κ.
Έχουμε:
8κ
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8κ+2 ) – Α8κ+4
ν=1
Αρκεί να
αποδείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν=κ+1
8κ+8
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8κ+2 ) – Α8κ+4 + (Α8κ+1 + Α8κ+2 +.... Α8κ+7 + Α8κ+8
ν=1
8κ+8
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8κ+2 ) + (Α8κ+1 + Α8κ+2
+ Α8κ+3 + Α8κ+5 +...Α8κ+7 + Α8κ+8)
ν=1
(1)
Αρκεί να
αποδείξουμε ότι:
4 Α8κ+10 - Α8κ+12 = (Α8κ+1 + Α8κ+2 + Α8κ+3 + Α8κ+5 +...Α8κ+7 + Α8κ+8)
4 Α8κ+10 - Α8κ+12 = 3 Α8κ+10 - Α8κ+11 - Α8κ+9
→4 Α8κ+10
- Α8κ+12 = 2 Α8κ+10 - 2Α8κ+9 - Α8κ+8
→4 Α8κ+10
- Α8κ+12 = Α8κ+8 +2Α8κ+7
→4 Α8κ+10
- Α8κ+12 = Α8κ+1 + Α8κ+2
+ Α8κ+3 + Α8κ+5 +Α8κ+6 +Α8κ+7 + Α8κ+8 (2)
Συνδυάζοντας τις
σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η προς απόδειξη σχέση.
Έχουμε:
8κ+8
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8κ+2 ) + (4 Α8κ+10 - Α8κ+12 )
ν=1
και άρα
8κ+8
∑ Α r = 3 + 4 (Α10 +Α18 ....+
Α8κ+2 + Α8κ+10 ) - Α8κ+12
ν=1
Εφόσον έχει
αποδειχθεί η σχέση για ν=κ+1 είναι προφανές ότι ισχύει για κάθε ν.
Δ. Άθροισμα 16 διαδοχικών όρων
1. Από την
παράγραφο Α προκύπτει ότι:
16
ΣΑ r = 4( Α7 + Α15 ) = 4( Α7 + Α14 + Α13 + Α12 ) = 4( Α7 + 2Α13 + 2Α12 + Α11 )
1
→
16
ΣΑ r = 4( Α7 + Α10 + Α9 +
Α8 + 2Α13 + 2Α12) = 4( 2Α10 + 2Α13 + 2Α12)
1
→
16
ΣΑ r = 8( Α10 + Α13 + Α12)
= 8( Α10 + Α11 + Α12 +Α13 -Α11) =8( 2Α13 – Α11 )
1
Και γενικά
ν+15
ΣΑ r =8( 2Αν+12 – Αν+10 )
ν
2. Να αποδειχθεί ο
τύπος
ν+15
ΣΑ r =8( Αν+12 + Αν+11 + Αν+9)
ν
ν+15
ΣΑ r =8( 2Αν+12 – Αν+10 )
ν
ν+15
ΣΑ r =8( Αν+12 + Αν+11 +Αν+10 + Αν+9– Αν+10 )
ν
ν+15
ΣΑ r =8( Αν+12 + Αν+11 + Αν+9 )
ν
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου