Δίδυμοι πρώτοι και υπερτελείς αριθμοί

Το κείμενο αποτελεί μία από τις στοιχειώδεις μαθηματικές περιπλανήσεις ενός "μη μαθηματικού"

Μιχάλης Πόλης, Εκπαιδευτικός

Πρόταση προς απόδειξη:

Το άθροισμα ζεύγους διδύμων πρώτων  Π1 ,   Π2 με  Π2 > Π1   και Π2 - Π1   = 2 είναι υπερτελής αριθμός.

…………………………………………………………………………………………………………

Ορισμοί:

1.    1.  Υπερτελής καλείται ο φυσικός αριθμός του οποίου το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του είναι μεγαλύτερος του αριθμού. Παράδειγμα: 1 | 12, 2 | 12, 3 | 12, 4 | 12, 6 | 12 και 1+2+3+4+6 = 16, 16>12 και 12 υπερτελής.

2.    2.   Η έκφραση α | β διαβάζεται: α διαιρεί το β χωρίς υπόλοιπο. Εξ’ ορισμού  λοιπόν υπάρχει αριθμός γ τέτοιος ώστε β = α. γ.

3. 3.      Δίδυμοι πρώτοι είναι δύο πρώτοι αριθμοί που είναι ταυτοχρόνως διαδοχικοί περιττοί αριθμοί. Παραδείγματα ζευγών διδύμων πρώτων: (11,13) , (17,19) , (29,31)

4.   4.    Η έκφραση ν (mod a ) = b, σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το a ισούται με b. Ισχύει ότι 0 ≤ b ≤ (a – 1)

…………………………………………………………………………………………………………

Λήμμα 1

Αν  ν, ν+1, ν+2 τρεις τυχαίοι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί τότε μόνο εις εξ’ αυτών είναι πολλαπλάσιο του τρία.

Απόδειξη:

Προφανώς ισχύει μία των τριών περιπτώσεων

ν (mod 3) = 0 ή ν (mod 3) = 1 ή ν (mod 3) = 2

1^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod 3) = 0 τότε προφανώς ν+1 (mod 3) = 1 και ν+2 (mod3) = 2 άρα η πρόταση ισχύει για ν (mod 3) = 0

2^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod 3) = 1 τότε προφανώς ν+1 (mod 3) = 2 και ν+2 (mod 3) = 0 άρα η πρόταση ισχύει και για ν+2 (mod 3) = 0

3^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod 3) = 2 τότε προφανώς ν+1 (mod 3) = 0 και ν+2 (mod 3) = 1 άρα η πρόταση ισχύει και για ν+1 (mod 3) = 0 και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί

…………………………………………………………………………………………………………...

Λήμμα 2

Κάθε αριθμός Α = 6ν με ν>1 και ν φυσικός αριθμός, είναι υπερτελής.

Απόδειξη:

 Ο αριθμός Α εκ του ορισμού είναι πολλαπλάσιο του 6 δηλαδή μπορεί να πάρει  τις τιμές 12, 18, 24, 32...........

Το σύνολο των γνησίων διαιρετών του Α είναι { 1,2, 3, 6, ….., ν , 2ν, 3ν }

Αν συμβολίσουμε το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του Α με ΣΑ τότε προκύπτει ότι:

ΣΑ = 1+2+3+6+….+ν+2ν+3ν=6ν+12+…> 6ν > Α

Άρα Α υπερτελής, δηλαδή κάθε πολλαπλάσιο του 6 έχει άθροισμα γνησίων διαιρετών που υπερβαίνει τον αριθμό Α.

…………………………………………………………………………………………………………..

Απόδειξη πρότασης:

Έστω Π1 ,   Π2  δίδυμοι πρώτοι και Π2 - Π1   = 2 και Π1 , Ν, Π2  διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί.

Προφανώς  εκ του λήμματος 1 μπορούμε να πούμε ότι Ν πολλαπλάσιο του 3 [Ν = 3 α ] και επίσης Ν άρτιος, εφόσον βρίσκεται μεταξύ δύο περιττών.

Άρα : Ν = 6 α και άρα:

Π1 = 6 α – 1 και Π2 = 6 α +1

Άρα Π1 + Π2 = 12 α

Αν θέσουμε ότι Π1 + Π2 = Β τότε εκ του λήμματος 2 προκύπτει ότι Β υπερτελής.

Παραδείγματα:

1^ο

Π1 =5 , Π2 = 7

Π1  + Π2 = 12

Σ12 = 1+2+3+4+6 = 16 και άρα Σ12  > 12

2^ο

Π1 =11 , Π2 = 13

Π1  + Π2 = 24

Σ24 = 1+2+3+4+6+8+12 = 36 και άρα Σ24  > 24

3^ο

Π1 =17 , Π2 = 19

Π1  + Π2 = 36

Σ36 = 1+2+3+4+6+9+12+18 = 55 και άρα Σ36  > 36

Επιτρέπεται η αντιγραφή μέρους ή του συνόλου του άρθρου, ή η περιγραφική αναφορά σε αυτό με αναφορά στο συγγραφέα και τον ιστότοπο του.