Πρωτότυπη απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί την αριθμητική σχέση που συνδέει το μήκος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ως γνωστό, η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από την ορθή του γωνία και λέγεται υποτείνουσα. Οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται κάθετες πλευρές. Η διατύπωση του θεωρήματος είναι:

Το τετράγωνο  της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου  ισούται με το άθροισμα των μηκών των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του.

 Από την εποχή του Ευκλείδη ως σήμερα έχουν καταγραφεί εκατοντάδες διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος από επαγγελματίες αλλά και ερασιτέχνες μαθηματικούς. Ο Elias Loumis (1852 - 1940) στο βιβλίο του «The Pythagorean Proposition» κατέγραψε 371 αποδείξεις, ενώ έκτοτε έχουν καταγραφεί δεκάδες άλλες. Σε άλλο άρθρο θα παραθέσω κάποιες από τις αποδείξεις αυτές.

Στο άρθρο αυτό όμως θα παραθέσω μια απόδειξη του θεωρήματος που δεν τη βρήκα σε κανένα βιβλίο, αλλά τη σκέφτηκα μόνος μου. Αυτό δεν σημαίνει ότι απαραίτητα δεν την έχει διατυπώσει κάποιος άλλος. Κατέχω λιγότερες από είκοσι αποδείξεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος ενώ σίγουρα σήμερα υπάρχουν πάνω από τετρακόσιες. Την απόδειξη που θα παραθέσω πιο κάτω δεν την έχω αντιγράψει από κανένα από τα μαθηματικά βιβλία που κατέχω

Η απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τα δεδομένα

Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο τραπέζιο με Ð ΓΔΑ = Ð ΔΑΒ = 90º. Η κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τραπεζίου ισούται με το μισό του αθροίσματος των δύο παράλληλων πλευρών, δηλαδή: ΑΔ = ½ ( ΑΒ + ΔΓ ) και ΑΒ < ΑΔ < ΔΓ.  Αν ΑΔ = α τότε μπορούμε να πούμε ότι ΑΒ = α – β και ΓΔ = α +β . ( α > β)

Γράφουμε σημείο Ε επί της ΑΔ τέτοιο ώστε ΔΕ = ΑΒ = α - β και σημείο Ζ επί της ΓΔ τέτοιο ώστε ΓΖ = ΑΔ = α

ΓΖ = α

Þ ΖΔ = β

ΕΔ = ΑΒ = α – β

Þ ΕΑ = ΖΔ = β

Απόδειξη

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ΕΑΒ και ΖΔΕ είναι ίσα αφού ΔΖ = ΑΕ, ΔΕ = ΑΒ και 

Ð ΖΔΕ = Ð ΕΑΒ = 90º.

Þ Ð ΑΒΕ = Ð ΔΕΖ και Ð ΑΕΒ =Ð ΔΖΕ

Αφού όμως Ð ΑΒΕ + Ð ΑΕΒ = 90º

Þ Ð ΑΕΒ + Ð ΔΕΖ = 90º

Þ Ð ΖΕΒ = 90º

Προφανώς λοιπόν το τρίγωνο ΖΕΒ είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ( Ð ΖΕΒ = 90º και ΕΖ = ΕΒ = γ ]

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων τριγώνων που το αποτελούν. Από τα τέσσερα τρίγωνα τα δύο έχουν ίσο εμβαδόν.

Ε ΑΒΓΔ = 2 Ε ΑΒΕ +  Ε ΒΖΕ +  Ε ΒΓΖ

Þ ½ ( ΑΒ + ΓΔ ) . ΑΔ = 2 . (½ ΑΕ. ΑΒ ) + ½ ΕΒ .ΕΖ  + ½ ΖΓ. ΑΔ

Þ ½ . ( 2 α .α  )=  β. ( α – β ) + ½ γ. γ + ½ α . α

Þ α² =  β. ( α – β ) + ½ γ² + ½ α²

Þ ½ γ² = ½ α²   + β² -  α β 

Þ γ² =  α²   + 2 β² - 2 α β 

Þ γ² =  ( α – β )²   + β ²

ÞΕΒ² = ΑΒ² + ΑΕ² 

Η τελευταία είναι η πρόταση την οποία θέλουμε να αποδείξουμε. Στο σημείο αυτό η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση της απόδειξης με αναφορά στο συγγραφέα και στο ιστολόγιο του.