Τρίγωνα με πλευρές διαδοχικούς περιττούς πρώτους αριθμούς

 Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Μαθηματική Εικασία που αναζητεί απόδειξη:

Αν Π ν  , Π ν+1   , Π ν+2     τρεις τυχαίοι διαδοχικοί περιττοί πρώτοι αριθμοί και  Π ν  + Π ν+1   > Π ν+2   τότε εικάζουμε ότι όταν το ν →∞  το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές Π ν  , Π ν+1   , Π ν+2  τείνει να γίνει ισόπλευρο, για όλο και μεγαλύτερα ν, όπως φαίνεται στον Πίνακα με τίτλο «Τρίγωνα Πρώτων Αριθμών» πιο κάτω:

Στοιχεία σκαληνού τριγώνου Πρώτων Αριθμών

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = α, ΑΓ=β, ΑΒ= γ , α > β > γ

και Π ν+2  = α , Π ν+1  = β , Π ν  = γ 

Προκύπτουν με βάση το τύπο του συνημίτονου ότι οι γωνίες του τριγώνου ισούνται με:

α² = β² + γ² - 2βγσυνΑ,    συν Α = (β² + γ² - α²)/2βγ                                                                               β² = α² + γ² - 2αγσυνΒ,    συν Β = (α² + γ² - β²)/2αγ                    

γ² = α² + β² - 2αβσυνΓ,    συν Γ = (α² + β² - γ²)/2αβ  

ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ( 3 ≤ Π ν ≤ 25000)

Π ν+2	Π ν+1	Π ν	συν Α	Α	Β	Γ
α	β	γ
7	5	3	-0,5	120°	38° 12΄ 48΄΄	21° 47΄ 12΄΄
11	7	5	-0,671	132° 10΄ 39΄΄	28° 08΄ 15΄΄	19° 41΄ 06΄΄
13	11	7	0,006	89° 37΄ 41	57° 47΄ 38΄΄	32° 34΄ 41΄΄
17	13	11	0,003	89° 47΄ 59΄΄	49° 52΄ 49΄΄	40° 19΄ 12΄΄
19	17	13	0,219	77° 19΄ 22΄΄	60° 48΄ 01΄΄	41° 52΄ 37΄΄
23	19	17	0,187	79° 12΄ 16΄΄	54° 14΄ 22΄΄	46° 33΄ 22΄΄
29	23	19	0.056	86° 47΄ 10΄΄	52° 21΄ 33΄΄	40° 51΄ 17΄΄
31	29	23	0.307	72° 08΄ 45΄΄	62° 55΄ 39΄΄	44° 55΄ 36΄΄
37	31	29	0.241	76° 03΄ 53΄΄	54° 24΄ 28΄΄	49° 31΄ 39΄΄
41	37	31	0,283	73° 33΄ 57΄΄	59° 56΄ 53΄΄	46° 29΄ 10΄΄
43	41	37	0,396	66° 40΄ 52΄΄	61° 07΄ 00΄΄	52° 12΄ 08΄΄
47	43	41	0,375	67° 59΄ 51΄΄	58° 01΄ 23΄΄	53° 58΄ 46΄΄
53	47	43	0,309	72° 00΄ 02΄΄	57° 30΄ 01΄΄	50° 29΄ 57΄΄
59	53	47	0,309	72° 01΄ 50΄΄	58° 42΄ 11΄΄	49° 15΄ 59΄΄
61	59	53	0,411	65° 44΄ 47΄΄	61° 51΄ 56΄΄	52° 23΄ 17΄΄
67	61	59	0,377	67° 51΄ 27΄΄	57° 29΄ 26΄΄	54° 39΄ 07΄΄
71	67	61	0,388	67° 11΄ 20΄΄	60° 26΄ 31΄΄	52° 22΄ 09΄΄
73	71	67	0,442	63° 47΄ 48΄΄	60° 46΄ 05΄΄	55° 26΄ 07΄΄
79	73	71	0,398	66° 31΄ 36΄΄	57° 56΄ 59΄΄	55° 31΄ 25΄΄
83	79	73	0,406	66° 03΄ 22΄΄	60° 26΄ 48΄΄	53° 29΄ 50΄΄
89	83	79	0,397	66° 35΄ 46΄΄	58° 51΄ 17΄΄	54° 32΄ 57΄΄
97	89	83	0,366	68° 33΄ 25΄΄	58° 39΄ 05΄΄	52° 47΄ 30΄΄
…………………...................................................................................................................................................................
199	197	193	0,479	61° 21΄ 06΄΄	60° 18΄ 53΄΄	58° 20΄ 01΄΄
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
293	283	281	0,4603	62° 35΄ 48΄΄	59° 02΄ 09΄΄	58° 22΄ 03΄΄
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
397	389	383	0,471	61° 53΄ 19΄΄	59° 47΄ 54΄΄	58° 18΄ 47΄΄
499	491	487	0,479	61° 21΄ 22΄΄	59° 43΄ 01΄΄	58° 55΄ 37΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
599	593	587	0,485	61° 00΄ 33΄΄	59° 59΄ 24΄΄	59° 00΄ 03΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
691	683	677	0,484	61° 04΄ 17΄΄	59° 53΄ 34΄΄	59° 02΄ 09΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
797	787	773	0,478	61° 26΄ 22΄΄	60° 08΄ 44΄΄	58° 24΄ 54΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
887	883	881	0,494	60° 22΄ 31΄΄	59° 55΄ 27΄΄	59° 42΄ 02΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
997	991	983	0,490	60° 40΄ 11΄΄	60° 03΄ 43΄΄	59° 16΄ 06΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1999	1997	1993	0,498	60° 07΄ 57΄΄	60° 01΄ 59΄΄	59° 50΄ 04΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2999	2971	2969	0,4902	60° 38΄ 49΄΄	59° 42΄ 34΄΄	59° 38΄ 37΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3989	3967	3947	0,4919	60° 32΄ 06΄΄	59° 58΄ 50΄΄	59° 29΄ 04΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4999	4993	4987	0,4982	60° 07΄ 10΄΄	59° 59΄ 59΄΄	59° 52΄ 51΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5987	5981	5953	0,4967	60° 13΄ 17΄΄	60° 07΄ 16΄΄	59° 39΄ 27΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
6997	6991	6983	0,4986	60° 05΄ 41΄΄	60° 00΄ 34΄΄	59° 53΄ 45΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
7993	7963	7951	0,4955	60° 17΄ 58΄΄	59° 55΄ 29΄΄	59° 46΄ 33΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
8999	8971	8969	0,4968	60° 12΄ 50΄΄	59° 54΄ 15΄΄	59° 52΄ 55΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
9973	9967	9949	0,4985	60° 05΄ 59΄΄	60° 02΄ 23΄΄	59° 51΄ 38΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
10993	10987	10979	0,4991	60° 03΄ 36΄΄	60° 00΄ 22΄΄	59° 56΄ 02΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
11987	11981	11971	0,4991	60° 03΄ 39΄΄	60° 00΄ 39΄΄	59° 55΄ 42΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
12983	12979	12973	0,49946	60° 02΄ 09΄΄	60° 00΄ 18΄΄	59° 57΄ 33΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
13999	13997	13967	0,49879	60° 04΄ 49΄΄	60° 03΄ 58΄΄	59° 51΄ 13΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
14983	14969	14957	0,49866	60° 05΄ 18΄΄	59° 59΄ 44΄΄	59° 54΄ 58΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
15991	15973	15971	0,49881	60° 04΄ 43΄΄	59° 58΄ 01΄΄	59° 57΄ 16΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
16993	16987	16981	0,49947	60° 02΄ 06΄΄	60° 00΄ 00΄΄	59° 57΄ 54΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
17989	17987	17981	0,49972	60° 01΄ 06΄΄	60° 00΄ 27΄΄	59° 58΄ 27΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
18979	18973	18959	0,49931453	60° 02΄ 43΄΄	60° 00΄ 50΄΄	59° 56΄ 27΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
19997	19993	19991	0,499749872	60° 01΄ 00΄΄	59° 59΄ 48΄΄	59° 59΄ 12΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
20983	20981	20963	0,499475629	60° 02΄ 05΄΄	60° 01΄ 31΄΄	59° 56΄ 24΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
21997	21991	21977	0,499408638	60° 02΄ 21΄΄	60° 00΄ 43΄΄	59° 56΄ 56΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
22993	22973	22963	0,498911007	60° 04΄ 19΄΄	59° 59΄ 08΄΄	59° 56΄ 33΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
23993	23981	23977	0,499415995	60° 02΄ 19΄΄	59° 59΄ 20΄΄	59° 58΄ 21΄΄
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
24989	24979	24977	0,499559517	60° 01΄ 45΄΄	59° 59΄ 22΄΄	59° 58΄ 53΄΄

 Εκ του πίνακα εικάζουμε ότι:

 limν →∞  [ ( Π²ν+1  + Π²ν   - Π²ν+2   ) / 2Πν+1  .Πν    ] ≈ 0,5

Σημειώσεις

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστότοπο.