Πρώτοι αριθμοί της μορφής 6ν+1 ή 6ν-1

ΜΙΧΑΛΗΣ Α. ΠΟΛΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ

Πρόταση προς απόδειξη:

Κάθε τυχαίος πρώτος αριθμός Π ν ≥ 5  μπορεί να γραφεί με την μορφή Πν = 6ν ±1, δηλαδή

είτε Πν = 6ν + 1,

είτε Πν = 6ν - 1.

…………………………………………………………………………………………………………

Ορισμοί:

.

1.      Η έκφραση α | β διαβάζεται: α διαιρεί το β χωρίς υπόλοιπο. Εξ’ ορισμού  λοιπόν υπάρχει αριθμός γ τέτοιος ώστε β = α. γ.

2.      Δίδυμοι πρώτοι είναι δύο πρώτοι αριθμοί που είναι ταυτοχρόνως διαδοχικοί περιττοί αριθμοί. Παραδείγματα ζευγών διδύμων πρώτων: (11,13) , (17,19) , (29,31)

3.      Η έκφραση ν (mod a ) = b, σημαίνει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το a ισούται με b. Ισχύει ότι 0 ≤ b ≤ (a – 1)

…………………………………………………………………………………………………………

Λήμμα

Αν  ν, ν+1, ν+2 τρεις τυχαίοι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί τότε μόνο εις εξ’ αυτών είναι πολλαπλάσιο του τρία.

Απόδειξη:

Προφανώς ισχύει μία των τριών περιπτώσεων

ν (mod3) = 0 ή ν (mod3) = 1 ή ν (mod3) = 2

1^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod3) = 0 τότε προφανώς ν+1 (mod3) = 1 και ν+2 (mod3) = 2 άρα η πρόταση ισχύει για ν (mod3) = 0

2^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod3) = 1 τότε προφανώς ν+1 (mod3) = 2 και ν+2 (mod3) = 0 άρα η πρόταση ισχύει  για ν+2 (mod3) = 0

3^η περίπτωση:

Αν ισχύει ότι ν (mod3) = 2 τότε προφανώς ν+1 (mod3) = 0 και ν+2 (mod3) = 1 άρα η πρόταση ισχύει  για ν+1 (mod3) = 0 και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί, αφού σε κάθε περίπτωση έχουμε αποδείξει ότι μεταξύ τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών μόνο ο ένας είναι πολλαπλάσιο του 3

…………………………………………………………………………………………………………

Απόδειξη:

Έστω Α, Β φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Α = Π ν  - 1 και Β = Π ν  + 1, και Π ν  τυχαίος πρώτος αριθμός και Π ν > 3

Από την εκφώνηση της πρότασης προκύπτει ότι οι φυσικοί αριθμοί Α, Β είναι άρτιοι.

Εκ του λήμματος προκύπτει ότι είτε ο Α είναι πολλαπλάσιο του τρία είτε ο Β.

Εξετάζουμε λοιπόν τις δύο εναλλακτικές περιπτώσεις και καταγράφουμε τα συμπεράσματα μας:

(1)    Α = 6 α   →  Π ν = 6 α + 1

(2)    Β = 6 α   →  Π ν = 6 α – 1

Άρα Π ν = 6 α ± 1

Πόρισμα 1

Η διαφορά δύο τυχαίων πρώτων αριθμών της αυτής μορφής είναι πολλαπλάσιο του έξι

1)      Έστω Π ν = 6 α + 1 και Π λ = 6 β + 1 και α > β , α, β ∊ Ν

⇒ Π ν -  Π λ = 6 ( α – β )

2)      Έστω Π ν = 6 α - 1 και Π λ = 6 β - 1 και α > β , α, β ∊ Ν

⇒ Π ν -  Π λ = 6 ( α – β )

Επιτρέπεται η αντιγραφή μέρους ή του συνόλου του άρθρου, ή η περιγραφική αναφορά σε αυτό με αναφορά στο συγγραφέα και τον ιστότοπο του.

…………………………………………………………………………………………………..............

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΩΣ ΤΟ 1000 [5 ≤ Π ν  < 1000, Π ν = 6 α ± 1]

Αρίθμηση ζευγών διδύμων πρώτων	ΟΜΑΔΑ Α Π ν = 6ν-1 ν>0	Πν  - Πν-1	ΟΜΑΔΑ Β Π ν = 6ν+1 ν>1	Πν  - Πν-1	Ψηφία μονάδων διδύμων πρώτων
1	5	-	7	-	5-7
2	11	6	13	6	1-3
3	17	6	19	6	7-9
	23	6
4	29	6	31	12	9-1
			37	6
5	41	12	43	6	1-3
	47	6
	53	6
6	59	6	61	18	9-1
			67	6
7	71	12	73	6	1-3
	83	12	79	6
	89	6	97	18
8	101	12	103	6	1-3
9	107	6	109	6	7-9
	113	6	127	18
	131	18
10	137	6	139	12	7-9
11	149	12	151	12	9-1
			157	6
			163	6
	167	18
	173	6
12	179	6	181	18	9-1
13	191	12	193	12	1-3
14	197	6	199	6	7-9
			211	12
			223	12
15	227	30	229	6	7-9
	233	6
16	239	6	241	12	9-1
	251	12
	257	6
	263	6
17	269	6	271	30	9-1
			277	6
18	281	12	283	6	1-3
	293	12	307	24
19	311	12	313	6	1-3
	317	6	331	18
			337	6
20	347	30	349	12	7-9
	353	6
	359	6	367	18
			373	6
			379	6
	383	24
	389	6	397	18
	401	12	409	12
21	419	18	421	12	9-1
22	431	12	433	12	1-3
			439	6
	443	12
	449	6	457	18
23	461	12	463	3	1-3
	467	6
	479	12	487	24
	491	12	499	12
	503	12
	509	6
24	521	12	523	24	1-3
			541	18
			547	6
	557	36
	563	6
25	569	6	571	24	9-1
			577	6
	587	18
	593	6
26	599	6	601	24	9-1
			607	6
			613	6
27	617	18	619	6	7-9
			631	12
28	641	24	643	12	1-3
	647	6
	653	6
29	659	6	661	18	9-1
			673	12
	677	18
	683	6	691	18
	701	18	709	18
	719	18	727	18
			733	6
			739	6
	743	24	751	12
			757	6
	761	18	769	12
	773	12	787	18
	797	24
30	809	12	811	24	9-1
31	821	12	823	12	1-3
32	827	6	829	6	7-9
	839	12	853	24
33	857	18	859	6	7-9
	863	6	877	18
34	881	18	883	6	1-3
	887	6	907	24
	911	24	919	12
	929	18	937	18
	941	12
	947	6
	953	6	967	30
	971	18
	977	6
	983	6	991	24
			997	6