Κύβοι

Ακολουθήστε τις οδηγίες για να...φτιάξετε κύβους:

Αν θέλετε να βρείτε κύβους ακεραίων αριθμών ακολουθήστε τα πιο κάτω βήματα

1. Βρέστε το γινόμενο τριών διαδοχικών ακέραιων αριθμών.
2. Προσθέστε στο γινόμενο το μεσαίο αριθμό
3. Το άθροισμα που υπολογίσατε ισούται με τον κύβο του μεσαίου αριθμού.

Παραδείγματα:

(0Χ1Χ2) + 1 = 1

[(1Χ2Χ3) + 2 ] = 8 = 2³

 [(2Χ3Χ4) + 3 ] = 27 = 3³

[(3Χ4Χ5) + 4 ] = 64 = 4³

[(4Χ5Χ6) + 5 ] = 125 = 5³

[(5Χ6Χ7) + 6 ] = 216 = 6³

.........................................
[ (ν - 1) . ν . ( ν +1) + ν ] = ν³

Ταυτότητες με κύβους

(α + β) ³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³ = α³ + β³ + 3αβ (α+β) 

(α - β) ³ = α³ - 3α²β + 3αβ² - β³ = α³ + β³ + 3αβ (α+β) 

α³ + β³ = (α + β) (α² +β² -αβ) 

α³ - β³ = (α - β) (α² +β² + αβ)  

Κύβος τριωνύμου 

(α + β + γ) ³  = α³ + β³ + γ³ + 3 (α+ β) (α+ γ) (β + γ)     

Παρολίγο ... Φερμά

Παρόλο που έχει αποδειχθεί ότι, το άθροισμα των κύβων δύο ακεραίων αριθμών δεν μπορεί να ισούται με κύβο ενός τρίτου ακέραιου αριθμού, όμως το άθροισμα τριών ή περισσότερων κύβων μπορεί να εξισωθεί με κύβο όπως φαίνεται από τα παραδείγματα που ακολουθούν:

6³ = 5³ + 4³ +3³

9³ = 8³ + 6³ +1³

13³ = 12³ + 7³ +5³ + 1³

14³ = 13³ + 8³ +3³ + 2³

17³ = 12³ + 11³ +10³ + 9³ + 5³

19³ = 18³ + 10³ +3³

20³ = 14³ + 13³ +12³ + 11³ 
20³ = 17³ + 14³ +7³ 

21³ = 17³ + 15³ +9³ + 6³ + 3³ +1

28³ = 21³ + 19³ +18³

66³ = 31³+33³+35³+37³+39³+41³

25³ = 22³ + 17³ +4³

Η ταυτότητα του Ramanujan

(3x²+5xy-5y²)³ + (4x²-4xy+6y²)³+(5x²-5xy-3y²)³ = (6x²-4xy+4y²)³

Κύβοι και τετράγωνα

1³ = 1²

1³ +2³ = ( 1 + 2 )² = 3² = 9

1³ +2³ + 3³ = ( 1 + 2 + 3 )² = 6² = 36

1³ +2³ + 3³ + 4³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 )² = 10²  = 100

1³ +2³ + 3³ + 4³ + 5³= ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )² = 15²  = 225

……………………………………………………………………………………..

1³ +2³ + 3³ + 4³ + 5³ + …+ ν³= ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ ν )² = ¼[ ν (ν+1) ]²

Το άθροισμα των νι πρώτων κύβων ισούται με το τετράγωνο του νιοστού τριγωνικού αριθμού. 

Ανάπτυγμα κύβου

Οι κύβοι των διαδοχικών αριθμών μπορούν να αναπτυχθούν με βάση το ακόλουθο μοτίβο

2³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] } = 8

3³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] } = 27

4³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] } = 64

5³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] } = 125

6³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  } = 216

7³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ]  } = 343

8³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ]  } = 512

9³ = 1+ { [1+ (1Χ6) ] + [1+ (3Χ6) ] + [1+ (6Χ6) ] + [1+ (10Χ6) ]+ [1+ (15Χ6) ] +[1+ (21Χ6) ]+[1+ (28Χ6) ]+ [ 1+ (36Χ6) ] } = 729

10³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] } = 1000

11³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ] } = 1331

12³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ]  } = 1728

13³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ]  } = 2197

14³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] } = 2744

15³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] } = 3375

16³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ]    } = 4096

17³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ] + [ 1+ (136Χ6) ]    } = 4913

18³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ] + [ 1+ (136Χ6) ] + [ 1+ (153Χ6) ]   } = 5832

19³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ] + [ 1+ (136Χ6) ] + [ 1+ (153Χ6) ]  + [ 1+ (171Χ6) ] } = 6859

20³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ] + [ 1+ (136Χ6) ] + [ 1+ (153Χ6) ]  + [ 1+ (171Χ6) ] + [ 1+ (190Χ6) ]} = 8000

Γενικά: 

ν³ = 1 + { [ 1+ (1Χ6) ] + [ 1+ (3Χ6) ] + [ 1+ (6Χ6) ] + [ 1+ (10Χ6) ] + [ 1+ (15Χ6) ]  + [ 1+ (21Χ6) ] + [ 1+ (28Χ6) ] + [ 1+ (36Χ6) ] + [ 1+ (45Χ6) ] + [ 1+ (55Χ6) ]  + [ 1+ (66Χ6) ] + [ 1+ (78Χ6) ] + [ 1+ (91Χ6) ] + [ 1+ (105Χ6) ] + [ 1+ (120Χ6) ] + [ 1+ (136Χ6) ] + [ 1+ (153Χ6) ]  + [ 1+ (171Χ6) ] + [ 1+ (190Χ6) ]+…+ [1+½ν(ν+1)Χ6] }