Ο Πλάτωνας και το Δήλιο Πρόβλημα

Μ. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Ο Βωμός του Απόλλωνα ήταν ένας τέλειος κύβος και ο θεός της μουσικής και του φωτός για να μαλακώσει την οργή του ζήτησε να του κατασκευάσουν ένα βώμο με διπλάσιο όγκο. Πρόκειται για το λεγόμενο Δήλιο Πρόβλημα που αν και είναι απλό ως αλγεβρικό πρόβλημα, η κατασκευή του με τη γνωστή γεωμετρική μέθοδο του χάρακα και του διαβήτη τυράννησε τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά της ελληνικής αρχαιότητας. Αν και αποδείκτηκε ότι είναι αδύνατη η επίλυση  του μόλις τον 19ο αιώνα έχουμε θαυμαστές λύσεις όχι με την κλασσική γεωμετρική μέθοδο αλλά με μεθόδους κινητικής γεωμετρίας. Στα μάτια των περισσότερων ανθρώπων ο Πλάτωνας είναι ίσως η κορυφαία διάνοια της αρχαίας φιλοσοφίας. Δεν ήταν όμως μόνο αυτό. Ήταν και κορυφαίος μαθηματικός. Στα πλαίσια αυτά θα παρουσιάσουμε την προσπάθεια του στην επίλυση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου.

Η προσέγγιση του Πλάτωνα

Μπορούμε να περιγράψουμε την προσπάθεια του Αθηναίου φιλόσοφου με σύγχρονη σημειολογία ως εξής. Σχεδίασε δύο κάθετους άξονες και έστω Ο το σημείο τομής τους . Ακολούθως επί του κάθετου άξονα προσδιόρισε σημείο Α, τέτοιο ώστε ΟΑ = α και επί του οριζόντιου Β τέτοιο ώστε ΟΒ = 2 α. Έστω η ζητούμενη ακμή του διπλάσιου κύβου ίση με χ.  Αν καταφέρουμε να φέρουμε ΑΚ // ΒΛ με τέτοιο τρόπο ώστε ΑΚ ^ ΚΛ και ΚΛ ^ ΛΒ  τότε ΟΚ είναι η ζητούμενη ακμή του κύβου.

Απόδειξη 

Από την προσφώνηση του προβλήματος έχουμε ότι Ð ΑΚΟ + Ð ΟΚΛ = 90º και Ð ΚΛΟ + Ð ΟΛΒ = 90º

ÞÐ ΛΚΟ = Ð ΚΑΟ , Ð ΟΛΚ = Ð ΟΚΑ , Ð ΟΚΛ = Ð ΟΛΒ και ÐΚΛΟ =Ð ΟΒΛ

 ÞΟΑΚ ≈ ΟΚΛ ≈ ΟΛΒ.

Þ ΟΑ/ΟΚ = ΟΚ / ΟΛ =ΟΛ /ΟΒ

Þ α /χ = χ / ψ =ψ /2 α

Þχ = α∛2

Η θεωρητική σύλληψη που εισηγείται ο Πλάτωνας είναι έξυπνη και συνάμα απλή. Το θέμα όμως είναι ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστούν τα σημεία Κ και Λ με χάρακα και διαβήτη. Η κατασκευή μπορεί να γίνει με στοιχεία κινητής γεωμετρίας, αλλά αυτό ξεφεύγει της κλασσικής ελληνικής μεθόδου της γεωμετρίας..