Μαθηματική Θεωρία Ομάδων και Συμμετρία

Μιχάλης Α. Πόλης  Εκπαιδευτικός

Το παρόν άρθρο αποτελεί μια εισαγωγή στη Μαθηματική Θεωρία Ομάδων και τη Συμμετρία. Σε καμιά περίπτωση δεν εξαντλεί τη θεωρία του μαθηματικού αυτού κλάδου, απλά αποτελεί μια αρχική εισαγωγή.

Η έννοια της ομάδας στα Μαθηματικά

Ομάδα είναι ένα σύνολο αντικειμένων που συνδέονται μεταξύ τους με μια μαθηματική πράξη. Η μαθηματική αυτή πράξη δεν είναι απαραίτητα μια από τις γνωστές πράξεις της αριθμητικής. Για να αποτελεί το σύνολο μαζί με την  μαθηματική πράξη ομάδα, πρέπει να ισχύουν οι πιο πάνω προϋποθέσεις.

1.      Κλειστότητα

Η έννοια της κλειστότητας ορίζεται ως εξής:

Έστω  α , β τυχαία μέλη  ομάδας G και # η μαθηματική πράξη που συνδέει τα μέλη της πράξης τότε αν  α # β = γ, το γ  ανήκει επίσης στην ομάδα G ( γ Î G )

2. 

     Η προσεταιριστική ιδιότητα

Αν α, β, γ Î G τότε ( α # β ) # γ =  α # ( β  # γ )

3.       Ουδέτερο στοιχείο

Σε κάθε ομάδα υπάρχει ένα και μόνο ένα ουδέτερο στοιχείο. Αν ονομάσουμε το ουδέτερο στοιχείο id και α τυχαίο στοιχείο της ομάδας τότε ισχύει ότι:   α # id =  α.  Στη σημειολογία της θεωρίας ομάδων, το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας γράφεται 1 ή 1_G, αν η πράξη της ομάδας ορίζεται  με τη σημειολογία του πολλαπλασιασμού ή  0, αν η πράξη της ομάδας συμβολίζεται με τη σημειολογία της πρόσθεσης .Το ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης να γραφεί και ως id, δηλαδή ταυτοτικό στοιχείο, εφόσον δεν αλλάζει το αρχικό στοιχείο κατά την επίδραση του με την πράξη της ομάδας

4. 

     Αντίστροφο στοιχείο

Για κάθε τυχαίο στοιχείο α της ομάδας, υπάρχει αντίστροφο στοιχείο α­¹ για το οποίο ισχύει

 α # α­¹  = id

Αβελιανές ομάδες

Ομάδες στις οποίες ισχύει, πέραν των πιο πάνω,   η αντιμεταθετική ιδιότητα α # β = β # α ονομάζονται αβελιανές προς τιμή του μαθηματικού Niels Abel

Μοναδικότητα του ουδέτερου  στοιχείου

Σε κάθε ομάδα υπάρχει μόνο ένα ουδέτερο  στοιχείο. Για παράδειγμα στην ομάδα των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης  (Ζ, +) το ουδέτερο στοιχείο είναι μόνο το 0.

Ένα αντίστροφο στοιχείο για κάθε μέλος της ομάδας

Κάθε στοιχείο της ομάδας έχει  ένα και μοναδικό αντίστροφο στοιχείο. Αν πάρουμε για παράδειγμα την ομάδα (Ζ, +) που αναφέραμε πιο πάνω. Κάθε ακέραιος έχει μόνο ένα αντίστροφο.

 (Παράδειγμα: το αντίστροφο του 5 είναι το -5 και 5 + (-5) =0

Παραδείγματα αβελιανών μαθηματικών ομάδων

1.       Η ομάδα των ακεραίων μαζί με την πρόσθεση (Ζ, +), αποτελούν αβελιανή ομάδα γιατί:

Αν α, β,  Î Ζ και + η πράξη της πρόσθεσης τότε:

1.       Η κλειστότητα: α + β = γ  τότε γ Î Ζ 

2.       προσεταιριστική ιδιότητα:  α +( β + γ ) = ( α + β ) + γ = β + ( α + γ )

3.       Το ουδέτερο στοιχείο: Αν α Î Ζ τότε α + 0 = α

4.       Το αντίστροφο στοιχείο: Αν α Î Ζ τότε α - α = 0

5.       Η αντιμεταθετική ιδιότητα:  Αν α, β Î Ζ τότε α + β = β + α

2.      Το σύνολο όλων των μη μηδενικών ρητών αριθμών Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} είναι αβελιανή ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό και συμβολίζεται ως (Q \ {0}, ·)

Αν α, β,  Î Q {α. β ∈ Q, α ≠ 0, β ≠ 0 }  και * η πράξη του πολλαπλασιασμού τότε:

Α.       Αν α * β = γ  τότε γ Î Q {γ ∈ Q, γ ≠ 0}

Β.      α *( β * γ ) = ( α * β ) * γ   

Γ.       Το ουδέτερο στοιχείο:  α * 1 = α

Δ.      Το αντίστροφο στοιχείο: α* α­¹  = α *( 1/α) =1

Ε.      Η αντιμεταθετική ιδιότητα:  α * β = β * α

3.       Οι ρητοί αριθμοί (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός) σχηματίζουν ομάδα με την πράξη της πρόσθεσης. Η αιτιολόγηση είναι η ίδια με αυτή της προηγούμενης ομάδας

4.       Η ομάδα των πραγματικών αριθμών  μαζί με την πρόσθεση αποτελούν αβελιανή ομάδα γιατί:

Αν  α, β,  Î R και + η πράξη της πρόσθεσης τότε:

Α.       α + β = γ  τότε γ Î R

Β.      α +( β + γ ) = ( α + β ) + γ = β + ( α + γ )

Γ.       Το ουδέτερο στοιχείο: Αν α Î R τότε α + 0 = α

Δ.      Το αντίστροφο στοιχείο: Αν α Î R τότε α - α = 0

Ε.      Η αντιμεταθετική ιδιότητα:  Αν α, β  Î R τότε α + β = β + α

5.       Η ομάδα των πραγματικών αριθμών  εξαιρουμένου του μηδενός μαζί με τον πολλαπλασιασμό γιατί:

Tο σύνολο όλων των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών R \ {0} = {r ∈ R, r ≠ 0} είναι αβελιανή ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό εφόσον:

        Α.       Αν α, β μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και * η πράξη του πολλαπλασιασμού τότε α * β                   = γ  και  γ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός

      Β.      Ομοίως αν α, β , γÎ R και α, β, γ ¹ 0 τότε  α *( β * γ ) = ( α * β ) * γ = β * (α*γ) 

c.       Το ουδέτερο στοιχείο: Αν α Î R  {α ∈ R, α ≠ 0}  τότε α * 1 = α

d.      Το αντίστροφο στοιχείο: Αν α Î R{α ∈ R, α ≠ 0}   τότε α * α­¹ = 1

Θεωρία ομάδων και συμμετρία

Η ιδιότητα ενός γεωμετρικού σώματος να μένει το ίδιο αν το περιστρέψουμε γύρω από ένα σημείο, ή άξονα, ή αν το μετακινήσουμε κατά μια σταθερή κατεύθυνση, ή αν δούμε το είδωλο του στον καθρέπτη αποτελούν την ουσία της γεωμετρικής συμμετρίας. Τα κανονικά πολύγωνα σχηματίζουν συμμετρικές ομάδες, αφού παρατηρείται αριθμός περιστροφικών και αξονικών συμμετριών. Ένα κανονικό πολύγωνο με ν πλευρές παρουσιάζει ν περιστροφικές και ν αξονικές συμμετρίες. Ο συνδυασμός αξονικών και περιστροφικών συμμετριών αν και καλύπτει ν² πράξεις καλύπτεται από τις αρχικές 2ν συμμετρίες και προφανώς έχουμε την κλειστότητα της ομάδας. Επίσης έχουμε το ουδέτερο στοιχείο που είναι η μη περιστροφή και το αντίστροφο στοιχείο που είναι η επαναφορά του πολυγώνου στην αρχική του κατάσταση.

 Πιο κάτω θα παρουσιάσουμε τις ομάδες του ισοπλεύρου τριγώνου και του τετραγώνου.

1     1.  Ισόπλευρο τρίγωνο

Συμμετρίες

Περιστροφικές συμμετρίες

1.       Ταυτοτική : Παραμένει ως έχει.  Συμβολισμός : n    Πράξη:            n ( 123 ) → (123)

2.       Δεξιόστροφη στροφή 120⁰ πέριξ του κέντρου βάρους. Συμβολισμός g1  Πράξη:        g1    ( 123 ) → ( 312 )

3.       Στροφή 240⁰ πέριξ του κέντρου βάρους. Συμβολισμός g2  Πράξη:        g2    ( 123 ) → (231)

Αξονικές συμμετρίες

1.       Στροφή πέριξ του άξονα συμμετρίας εκ του a .               Πράξη: e1  ( 123 ) → (321)

2.       Στροφή πέριξ του άξονα συμμετρίας εκ του b.            Πράξη: e2  ( 123 ) → (213)

3.       Στροφή πέριξ του άξονα συμμετρίας c.             Πράξη: e3  (123  ) → (132)

Αν ονομάσουμε το σύνολο των συμμετριών του ισοπλεύρου τριγώνου D3 τότε D3 = { n,  g1,  g2, e1, e2, e3 }. Η  πράξη του συνδυασμού των συμμετριών δίνει 36 συνδυασμούς που καλύπτονται όμως από τους έξι αρχικούς. Το σύνολο D3 μαζί με την πράξη του συνδυασμού των συμμετριών ανά δύο αποτελούν μη αβελιανή ομάδα αφού:

1.       Ισχύει η αρχή της κλειστότητας (Βλέπε πίνακα πιο κάτω )

	n	g1	g2	e1	e2	e3
n	n	g1	g2	e1	e2	e3
g1	g1	g2	n	e2	e3	e1
g2	g2	n	g1	e3	e1	e2
e1	e1	e3	e2	n	g2	g1
e2	e2	e1	e3	g1	n	g2
e3	e3	e2	e1	g2	g1	n

2        Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο που ταυτίζεται με την περιστροφή κατά 0⁰ ή 360⁰.

3       Υπάρχει  αντίστροφο στοιχείο, αφού για κάθε δεξιόστροφη περιστροφή, ίση αριστερόστροφη περιστροφή επαναφέρει το τρίγωνο στην αρχική (Μηδενική) θέση

4.       Η προσεταιριστική ιδιότητα:  α +( β + γ ) = ( α + β ) + γ = β + ( α + γ )

Προφανώς η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει αφού g1 e2 ¹ e2 g1. Η ομάδα δεν είναι αβελιανή

Από τον αρχικό πίνακα D3 προκύπτουν οι ακόλουθες υποομάδες:

	n	g1	g2
n	n	g1	g2
g1	g1	g2	n
g2	g2	n	g1

	n	e1
n	n	e1
e1	e1	n

	n	e2
n	n	e2
e2	e2	n

	n	e3
n	n	e3
e3	e3	n

	n
n	n

2 Οι Συμμετρίες του τετραγώνου

Το τετράγωνο έχει τέσσερις περιστροφικές και ισάριθμες αξονικές συμμετρίες όπως φαίνεται στο σχήμα πιο πάνω. Η περιστροφική συμμετρία με κωδικό όνομα n [ περιστροφή 0⁰ ] αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας. Οι συνδυασμοί των οκτώ συμμετριών ανά δύο δίδουν τα ακόλουθα 64 αποτελέσματα.

	n	g1	g2	g3	e1	e2	e3	e4
n	n	g1	g2	g3	e1	e2	e3	e4
g1	g1	g2	g3	n	e4	e3	e1	e2
g2	g2	g3	n	g1	e2	e1	e4	e3
g3	g3	n	g1	g2	e3	e4	e2	e1
e1	e1	e3	e2	e4	n	g2	g1	g3
e2	e2	e4	e1	e3	g2	n	g3	g1
e3	e3	e2	e4	e1	g3	g1	n	g2
e4	e4	e1	e3	e2	g1	g3	g2	n

Έχουμε τις ακόλουθες υποομάδες

	n	g1	g2	g3
n	n	g1	g2	g3
g1	g1	g2	g3	n
g2	g2	g3	n	g1
g3	g3	n	g1	g2

	n	g2
n	n	g2
g2	g2	n

	n	e1
n	n	e1
e1	e1	n

	n	e2
n	n	e2
e2	e1	n

	n	e3
n	n	e3
e3	e3	n

	n	e4
n	n	e4
e4	e4	n

	n
n	n

 Ανάλογα μπορεί κάποιος να καταγράψει τις συμμετρίες και άλλων κανονικών πολυγώνων.