Ταξίδι στο αριθμητικό σύμπαν: Από τους φυσικούς στους μιγαδικούς αριθμούς

Του Μιχάλη Α. Πόλη

Εκπαιδευτικού

Φυσικοί αριθμοί

Όταν ο πρωτόγονος άνθρωπος χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τα δάκτυλα του για να μετρήσει αντικείμενα, τότε γεννήθηκε το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο γράφουμε σε μαθηματική γλώσσα πιο κάτω:

Ν = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .......}

Το γράμμα Ν συμβολίζει τους φυσικούς αριθμούς. ( Ν= Natural) Οι τελείες μετά το 8 δηλώνουν ότι οι φυσικοί αριθμοί δεν αποτελούν ένα πεπερασμένο, αλλά άπειρο σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει τελευταίος φυσικός αριθμός και ότι οσοδήποτε μεγάλος είναι ένας αριθμός υπάρχει πάντα ο επόμενος του.

Ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου των φυσικών αριθμών ονομάζεται και υπέρ – πεπερασμένος, δηλαδή αριθμός που υπερβαίνει οποιοδήποτε πεπερασμένο, οσοδήποτε μεγάλο. Ο πληθάριθμος του Ν είναι αριθμήσιμα άπειρος. Ένα αριθμήσιμα άπειρο σύνολο είναι το σύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να τεθούν σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα στοιχεία ενός άλλου άπειρου συνόλου. Τέτοια σύνολα είναι τα σύνολα των ακεραίων, των ρητών, των πρώτων κοκ. Ο Μαθηματικός συμβολισμός αυτής της τάξης του απείρου είναι το À0 ( Άλεφ μηδέν )

Η Μαθηματική Λογική ορίζει τους φυσικούς αριθμούς με τα αξιώματα του Πεάνο¹ για τα οποία θα γίνει ξεχωριστή αναφορά στις σημειώσεις της εργασίας.

Η ιδιαίτερη περίπτωση του μηδενός

Αποτελεί το μηδέν στοιχείο του συνόλου των φυσικών αριθμών; Η απάντηση είναι αρνητική με βάση τη θεωρία Συνόλων αλλά θετική με βάση τη Μαθηματική Λογική. Ανάλογα λοιπόν με τον κλάδο μπορούμε να γράψουμε το άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών ως:

Ν = { 1, 2, 3, 4, 5....... }                   ή Ν ο = { 0, 1, 2, 3, 4, 5.......}

Ακέραιοι αριθμοί

Το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να ορίσει πλήρως την πράξη της πρόσθεσης, όμως αδυνατεί να κάνει το ίδιο με την αφαίρεση. Πράγματι μπορώ να κάνω την πράξη 5 + 7 και να βρω απάντηση στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αυτή προφανώς είναι ο  αριθμός 12. Γενικά αν ο Α και ο Β είναι φυσικοί αριθμοί, τότε και ο αριθμός Α + Β είναι φυσικός αριθμός και το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι κλειστό ως προς την πράξη της πρόσθεσης. Αυτό το γράφουμε έτσι στη γλώσσα των Μαθηματικών:

" (Α, Β)  : (Α, Β Î Ν Þ (Α+Β) Î Ν

  Όμως η απάντηση της πράξης 5 – 7 δεν υπάρχει στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Γενικά αν Α, Β είναι φυσικοί αριθμοί, τότε δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ίσος με το Α-Β, αν Β>Α. Για να ξεπεράσουν το πρόβλημα,  οι μαθηματικοί όρισαν τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Αρνητικοί και θετικοί ακέραιοι, απαρτίζουν ένα μεγαλύτερο σύνολο, το σύνολο των ακεραίων που συμβολίζεται με το γράμμα Ζ.

Το Ν είναι γνήσιο υποσύνολο του Ζ. Αυτό γιατί κάθε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, όμως οι αρνητικοί ακέραιοι δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Αυτή η σχέση στα μαθηματικά γράφεται Ν Ì Z. Παρά την προαναφερθείσα σχέση το Ν είναι ισοδύναμο με το Ζ, εφόσον μπορεί να υπάρξει μια προς μία αντιστοίχηση των στοιχείων τους. Αποτελούν και τα δύο αριθμήσιμα άπειρα σύνολα τάξεως À0. ( Άλεφ μηδέν )

Ρητοί αριθμοί

Το σύνολο των ακεραίων [ Ζ ] μπορεί να ορίσει την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών. Τι γίνεται όμως με τη διαίρεση; Αν πάρω δύο ακέραιους  και τους διαιρέσω τις περισσότερες φορές η απάντηση δεν είναι ακέραιος.

Παράδειγμα: Η πράξη 5 διά 7 δεν έχει λύση στο σύνολο των ακεραίων.

 Για το λόγο αυτό το Ζ έπρεπε να επεκταθεί για να υπάρχει απάντηση σε πράξεις όπως την προηγούμενη. Ήδη πριν από την εποχή των Πυθαγορείων είχε οριστεί το σύνολο των ρητών, ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών. Ένας ρητός αριθμός είναι ένα κλάσμα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή. Προφανώς ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν γιατί τότε θα έχουμε αοριστία και όχι ρητό αριθμό. Το σύνολο των ρητών συμβολίζεται με Q. Είναι φανερό ότι οι ακέραιοι είναι γνήσιο υποσύνολο των ρητών.[ Ζ Ì Q ]. Αυτό γιατί κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με παρονομαστή το 1 , όμως κάθε ρητός δεν μπορεί να γραφεί ως ακέραιος. Το Q αν και είναι το υπέρ- σύνολο των Ζ και Ν, εντούτοις αποτελεί ισοδύναμο σύνολο με τα προαναφερθέντα γνήσια υποσύνολα του. Αποτελούν και τα τρία αριθμήσιμα σύνολα τάξεως À0, δηλαδή βρίσκονται στην κατώτερη τάξη του απείρου.

Διαγωνιοποίηση

Ο Cantor απέδειξε ότι για κάθε ρητό αριθμό υπάρχει ένας φυσικός.

1/1	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	..........	1/ν	..........
2/1	2/2	2/3	2/4	2/5	2/6	2/7	..........	2/ν	..........
3/1	3/2	3/3	3/4	3/5	3/6	3/7	..........	3/ν	..........
4/1	4/2	4/3	4/4	4/5	4/6	4/7	..........	4/ν	..........
5/1	5/2	5/3	5/4	5/5	5/6	5/7	..........	5/ν	..........
6/1	6/2	6/3	6/4	6/5	6/6	6/7	..........	6/ν	..........
7/1	7/2	7/3	7/4	7/5	7/6	7/7	..........	5/ν	..........
...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........
ν/1	ν/2	ν/3	ν/4	ν/5	ν/6	ν/7	...........	ν/ν
...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........	...........

Για το σκοπό αυτό κατέγραψε σε σειρές τους ρητούς ως εξής: Στην πρώτη σειρά τους ρητούς με αριθμητή 1 και παρονομαστή τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Στη δεύτερη σειρά τους ρητούς με αριθμητή 2 και παρονομαστή τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς κ.ο.κ. Ακολούθως κατέγραψε διαγώνια τους ρητούς με την ακόλουθη σειρά:

1/1, ½, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3 , ¼, 2/3, 3/2, 4/1, 5/1, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5, 1/6, 2/5, ¾, 4/3, 5/2, 6/1, 7/1, 6/2, 5/3, 4/4, 3/5, 2/6, 1/7....

Με τον τρόπο αυτό απέδειξε ότι μπορούσε να γίνει αρίθμηση των ρητών με τον ίδιο τρόπο που γίνεται αρίθμηση των φυσικών ή των ακεραίων. Τα στοιχεία των δύο συνόλων μπορούν έτσι να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα και να σχηματιστούν άπειρα ζεύγη, χωρίς να υπάρχει υστέρηση στοιχείων από ένα εκ των δύο συνόλων. Γράφουμε κατωτέρω τα άπειρα ζεύγη στοιχείων των δύο συνόλων:

(1 , 1/1 ) , (2 , ½ ), (3, 3/1), (4,2/2), ( 5, 1/3) ......

Τα δύο σύνολα είναι αριθμήσιμα τάξης À0( Άλεφ μηδέν ). Της ίδιας τάξεως είναι το σύνολο Ν επί Q, τα στοιχεία του οποίου είναι τα ζεύγη που γράψαμε πιο πάνω.

Άρρητοι αριθμοί

Ας υποθέσουμε ότι τοποθετούμε όλους τους ρητούς που υπάρχουν μεταξύ του 1 και του 10 πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Θα ήταν άραγε το ευθύγραμμο τμήμα πλήρες ή θα υπήρχαν κενά; Η απάντηση είναι ότι όχι μόνο θα υπάρχουν κενά αλλά ότι το άπειρο σύνολο των αρρήτων είναι ανώτερης τάξης από το επίσης άπειρο σύνολο των ρητών! Δηλαδή σε κάθε πεπερασμένο διάστημα της αριθμητικής γραμμής υπάρχουν περισσότεροι άρρητοι παρά ρητοί! Το σύνολο των αρρήτων είναι μη αριθμήσιμα άπειρο. Την πρόταση αυτή  απέδειξε ο G Cantor². Που υπάρχουν όμως οι άρρητοι; Πότε έκαναν την εμφάνιση τους στο μαθηματικό ορίζοντα;

Οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες ανακάλυψαν με αναπάντεχο τρόπο ότι οι ρητοί αριθμοί δεν είναι το τελικό σύνορο του αριθμητικού σύμπαντος. Ο Πυθαγόρας διατύπωσε το ομώνυμο θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών. Ας πάρουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ίσες κάθετες  πλευρές, των μήκος των οποίων θεωρούμε αυθαίρετα ίσο με τη μονάδα. Ποιος ρητός αριθμός παριστάνει το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου μας; Σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα η υποτείνουσα του τριγώνου μας είναι ίση με √2 μονάδες. Μπορούμε όμως να αποδείξουμε με την εις άτοπον απαγωγή ότι δεν υπάρχει ρητός αριθμός ίσος με τη √2. (Σημείωση 4) 

Αποδίδεται στον Πυθαγόρειο Ίππασο η «φρικτή» ανακάλυψη ότι δεν υπήρχε ρητός ίσος με Ö 2. Η ανακάλυψη του εκθεμελίωνε την θεμελιώδη πυθαγόρεια παραδοχή ότι «τα πάντα είναι (ρητοί) αριθμοί». Η ανακάλυψη στοίχισε στον Ίππασο τη ζωή του.

Υπάρχουν άπειροι άρρητοι αριθμοί. Το σύμπαν των αρρήτων συμβολίζεται με ( R – Q ) . Το σύνολο των αρρήτων δεν είναι κλειστό ως προς οποιαδήποτε πράξη. Έτσι αν

 Α = 2 - √2 και Β = 2 + √2, προφανώς οι Α και Β είναι άρρητοι αλλά ο Α + Β και ο Α.Β δεν είναι άρρητοι. Το παράδειγμα αυτό είναι επαρκές για να καταδείξει ότι το ( R – Q ) είναι ανοικτό σύνολο ως προς όλες τις πράξεις.

Πραγματικοί και φανταστικοί αριθμοί

Η ένωση του συνόλου των ρητών με το σύνολο των αρρήτων δίνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών R, το οποίο μπορεί να γίνει αντιληπτό ως το σύνολο  των αριθμών που βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με το άπειρο σύνολο των σημείων μιας ευθείας. Προφανώς στο R δεν ισχύει το δεύτερο αξίωμα του Πεάνο. Δεν υπάρχει επόμενος αριθμός για κάθε ν Î R. Οσοδήποτε μικρό και αν είναι ένα διάστημα επί της ευθείας των πραγματικών αριθμών περιέχει άπειρους αριθμούς. Το R έχει τη δυναμικότητα του συνεχούς.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει μια προφανή αδυναμία. Καθώς το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι πάντα, ένας θετικός αριθμός, είναι φανερό ότι οι αρνητικοί αριθμοί δεν έχουν πραγματικές ρίζες. Το R είναι λοιπόν ανοικτό ως προς την διαδικασία εύρεσης ριζών. Ποια μπορεί να είναι λοιπόν η ρίζα ενός αρνητικού; Για να λυθεί το πρόβλημα αυτό επινοήθηκε το σύνολο των φανταστικών αριθμών.

Η φανταστική μονάδα, γράφεται  i και ορίζεται ως η ρίζα του – 1. Με τον ορισμό αυτό προκύπτει  i² = -1. και έτσι κάθε αρνητικός αριθμός αποκτά τετραγωνική ρίζα. Παραδείγματα :

√( - 4 )= 2 i   και γενικά √( - α) = i √ α

Για κάθε πραγματικό αριθμό μπορεί να γραφεί ένας φανταστικός, με ίση απόλυτη τιμή. Έτσι για τον τυχαίο πραγματικό α υπάρχει ο φανταστικός α i . Μπορούμε να πούμε τα ακόλουθα για τους φανταστικούς αριθμούς:

1. Κάθε φανταστικός αριθμός μπορεί να γραφεί με την μορφή b i , δηλαδή αποτελεί το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού με τη φανταστική μονάδα.

2. Το γινόμενο άρτιου πλήθους φανταστικών αριθμών είναι πάντα ένας πραγματικός αριθμός.

Μιγαδικοί αριθμοί

Το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού αποτελεί στοιχείο ενός νέου απείρου συνόλου, αυτού των μιγαδικών αριθμών. Ένας μιγαδικός αριθμός συμβολίζεται με το γράμμα  Ζ. Η αλγεβρική μορφή του μιγαδικού αριθμού είναι:

Ζ = α + β i 

όπου α το πραγματικό μέρος του Ζ και β   το φανταστικό  του μέρος . Οι αντίστοιχοι μαθηματικοί συμβολισμοί είναι : Re (Z) = α  και   Ιm (Z) = β

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με C= { α + β i : (α, β) Î R² }

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των μιγαδικών καθώς κάθε πραγματικός μπορεί να γραφεί ως μιγαδικός, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει. Πράγματι μπορούμε να ορίσουμε το R ως εξής:

R = {α + 0 i : α Î R } και προφανώς R Ì Z

Όμοια το σύνολο των φανταστικών αριθμών αποδεικνύεται ότι είναι υποσύνολο του R καθώς κάθε φανταστικός μπορεί να γραφεί ως 0 + β i.

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι κλειστό ως προς τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής και ως προς την εξαγωγή ρίζας. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις αυτές μέσα στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών χωρίς να χρειαστεί να το επεκτείνουμε . Ακόμα το σύνολο των μιγαδικών αποτελεί Σώμα³ Αυτό γενικά σημαίνει ότι στους μιγαδικούς ισχύουν οι  βασικές πράξεις, οι ιδιότητες τους και ότι υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία των πράξεων αυτών.

Αλγεβρικές Πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς.

Αν Ζ1 = α + β i  και  Ζ2 = γ + δ i   τότε μπορούμε να ορίσουμε πράξεις  και ιδιότητες στο σύνολο Ζ εξής:

Α. Πράξεις

1.Πρόσθεση

 Ζ1 + Ζ2= (α + β i) + (γ + δ i )

→   Ζ1 + Ζ2= (α + γ) + (β + δ) i

2.  Αφαίρεση

Ζ1 - Ζ2= (α + β i) - (γ + δ i )

→   Ζ1 - Ζ2 = (α - γ) + (β - δ ) i

3. Πολλαπλασιασμός

Ζ1. Ζ2 = (α + β i) . (γ + δ i )

→   Ζ1 .Ζ2 = (α γ – β δ ) + (β γ + α δ ) i

4. Διαίρεση

Ζ1 : Ζ2 = (α + β i) /  (γ + δ i )

→   Ζ1: Ζ2 = [ (α + β i) . (γ - δ i ) ] / [(γ + δ i ) (γ - δ i)]

→   Ζ1: Ζ2 = [ (α γ + β δ) +  ( β γ - αδ ) i  ] / (γ²+ δ ²)

→   Ζ1: Ζ2 = [ (α γ + β δ) / (γ²+ δ ²)] + i [( β γ - αδ ) / (γ²+ δ ²) ]

                                   _

Γενικά Ζ1 : Ζ2  =( Ζ1 . Ζ2  ) /│ Ζ2 │

Ιδιότητες

Αν Ζ1 = α + β i  και  Ζ2 = γ + δ i   τότε:

1. Ισότητα μιγαδικών αριθμών

 Ζ1 =  Ζ2 τότε και μόνο τότε αν α = γ και β = δ

2. Απόλυτη τιμή μιγαδικού αριθμού

│ Ζ1│ = √ ( α² + β² )  και │ Ζ2│ = √ ( γ² + δ² ) 

3. Συζυγής μιγαδικού αριθμού

                                  _

Αν  Ζ = α + β i  τότε Ζ = α - β i    

Αποδεικνύεται ότι:

     _

Ζ. Ζ = │ Ζ│²

Μιγαδικό Επίπεδο

Μπορούμε να θεωρήσουμε ένα μιγαδικό αριθμό ως σημείο ενός επιπέδου που ορίζεται από δύο κάθετα τεμνόμενες ευθείες. Ορίζουμε το σημείο τομής των ευθειών ως το σημείο (0,0) και θεωρούμε ότι η οριζόντια συμβολίζει τον πραγματικό και η κάθετη τον φανταστικό άξονα. Αν πάρουμε τον μιγαδικό αριθμό Ζ = χ + i ψ τότε Re (Z) =  χ και  Ιm (Z) = ψ.  Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού │ Ζ│  ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα σημεία (0,0) και (χ, ψ). Μπορούμε να θεωρήσουμε τον Ζ = χ + i ψ ως διάνυσμα με αρχή την τομή των αξόνων και τέρμα το σημείο (χ , ψ )

Τριγωνομετρική (πολική ) μορφή μιγαδικού

Μπορούμε να ορίσουμε το μιγαδικό χ + ψ i αν ξέρουμε την απόλυτη τιμή του και τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν ονομάσουμε την απόλυτη τιμή ρ και την γωνία φ τότε έχουμε:

ρ = √ ( χ² + ψ²) και φ = τοξ εφ ψ / χ

χ = ρ συν φ    και ψ = ρ ημ φ

Þ Ζ = ρ ( συν φ + i ημ φ )

Η προαναφερθείσα εξίσωση γράφεται συντομογραφικά και Ζ = ρ Ð φ ή Ζ = ρ cisφ

Εκθετική μορφή μιγαδικού

Αποδεικνύεται ότι Ζ = ρ e Ù ( i Θ ) . Για τη σχετική απόδειξη δες άσκηση 5 πιο κάτω :

Εφαρμογές

1. Να υπολογιστεί το γινόμενο Ζ1 .Ζ2 και να δοθεί σε αυτό γεωμετρική ερμηνεία

Έστω Ζ1 = ρ1 ( συν θ + i ημ θ ) και Ζ2 = ρ2  ( συν φ + i ημ φ )

Þ Ζ1 . Ζ2  = ρ1 ρ2   ( συν θ + i ημ θ )  ( συν φ + i ημ φ )

Þ Ζ1 . Ζ2  = ρ1 ρ2   [  ( συν θ συν φ  - ημ θ ημ φ  ) + i  ( ημ θ  συν φ +  συν θ ημ φ ) ]

Þ Ζ1 . Ζ2  = ρ1 ρ2   [  συν (θ + φ  ) +  i  ημ (θ + φ ) ]

Προφανώς το γινόμενο δύο μιγαδικών είναι μιγαδικός με απόλυτη τιμή ίση με το γινόμενο των απολύτων τιμών των δύο αριθμών ο οποίος σχηματίζει γωνία με τον άξονα των πραγματικών αριθμών ίση με το άθροισμα των  γωνιών που σχηματίζουν οι Ζ1 και Ζ2  με τον πραγματικό άξονα.

2. Να αποδειχθεί ότι ½ Ζ1 + Ζ2  ½ £½ Ζ1½+ ½ Ζ2½

Έστω Ζ1 = α + β i  και  Ζ2 = γ + δ i  

Þ ½ Ζ1 + Ζ2  ½ = Ö [ (α + γ)² + (β + δ) ² ]

Þ ½ Ζ1 + Ζ2  ½²  =   (α + γ)² + (β + δ) ²

½ Ζ1½+ ½ Ζ2½ = Ö (α² + β²)+   Ö(γ² + δ²)

Þ [ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½]² = α² + β² + γ² + δ² + 2 Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)]

[ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½]² - ½ Ζ1 + Ζ2  ½²  = α ²  + β² + γ² + δ² + 2 Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)] - α² - β² - γ² - δ² - 2 α γ – 2 β δ

Þ [ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½]² - ½ Ζ1 + Ζ2  ½²  = 2 {Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)] – αγ – βδ }

Έστω Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)] £ αγ + βδ

Εφόσον το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι θετικό τότε είναι και το δεύτερο.

Þ (α² + β²) (γ² + δ²) £  (αγ + βδ) ²

Þ α² γ² + α² δ²  + β² γ² + β² δ²£  α² γ²+ β² δ² + 2 α β γ δ

Þ  α² δ²  + β² γ² £     2 α β γ δ

Þ  α² δ²  + β² γ² - 2 α β γ δ £     0

Þ  ( α δ - β γ ) ² £    0       πράγμα άτοπο γεγονός που αποδεικνύει την αρχική μας παραδοχή λανθασμένη.

Þ Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)] ≥ αγ + βδ

Þ Ö [(α² + β²) (γ² + δ²)] - αγ - βδ ≥ 0

Þ [ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½]² - ½ Ζ1 + Ζ2  ½²  ≥ 0

Þ { [ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½] + ½ Ζ1 + Ζ2  ½ }{ [ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½] - ½ Ζ1 + Ζ2  ½ }    ≥ 0

Þ[ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½] - ½ Ζ1 + Ζ2  ½     ≥ 0

Þ[ ½ Ζ1½+ ½ Ζ2½]    ≥ ½ Ζ1 + Ζ2  ½ 

3. Να αποδειχθεί ο τύπος του De Moivre

Ζητείται να αποδειχθεί ότι:

( συν θ + i ημ θ )Ù ν = συν ν θ +  i ημ ν θ

Όπου η έκφραση ( συν θ + i ημ θ )Ù ν διαβάζεται ( συν θ + i ημ θ) και όλη η παρένθεση υψωμένη στη δύναμη ν . Ομοίως και οι άλλες παρόμοιες διατυπώσεις πιο κάτω.

Μέθοδος απόδειξης: Εις άτοπον απαγωγή

1. Έλεγχος της προς απόδειξη πρότασης για ν = 1

( συν θ + i ημ θ )¹ = συν θ + i ημ θ  . Προφανώς ισχύει.

2. Διατύπωσης επαγωγικής υπόθεσης:

Έστω ότι υπάρχει αριθμός κ,  ( κ Î Ν ) για τον οποίο ισχύει ότι:

( συν θ + i ημ θ )Ù κ = συν κ θ +  i ημ κ θ

Όπου η έκφραση ( συν θ + i ημ θ )Ù κ διαβάζεται συν θ + i ημ θ

3.  Απόδειξη της επαγωγικής υπόθεσης για ν = κ+1

( συν θ + i ημ θ )Ù (κ +1) = (συν κ θ +  i ημ κ θ) ( συν θ + i ημ θ )

Þ( συν θ + i ημ θ ) Ù (κ +1) = (συν κ θ συν θ - ημ κ θ ημ θ ) + i (συν κ θ ημ θ + ημ κθ συν θ )

Þ( συν θ + i ημ θ ) Ù (κ +1) = συν (κ +1)θ + i ημ (κ+1) θ

Έχουμε αποδείξει την επαγωγική υπόθεση για ν=κ+1 . Εφόσον όμως η προς απόδειξη πρόταση ισχύει για ν=1 , τότε ισχύει  για ν=2 και επαγωγικά για κάθε ν.

4. Να λυθεί η εξίσωση  ( συν θ + i ημ θ )³ = 1

( συν θ + i ημ θ )³ = 1

Þ συν 3θ + i ημ 3θ = συν 2κπ + i ημ 2κπ  για κ=0, 1, 2

Για κ=0 Þ θ=0  και γενικά θ = 2νπ

Για κ=1 , έχουμε 3θ = 2π

Þ θ = 2π/3  και γενικά θ = 2νπ + 2π/3 

Þ συν θ + i ημ θ= -1/2 +  i  ½ √3

Για κ=2 , έχουμε 3θ = 4π

Þ θ = 4π/3  και γενικά: θ = 2νπ + 4π/3 

Þ συν θ + i ημ θ= -1/2 -  i  ½ √3

5. Να αποδειχθεί ότι συν χ + i  ημ χ = e Ù ( i χ )

Σημείωση: Η έκφραση e Ù ( i χ ) διαβάζεται e υψωμένο στη δύναμη i χ και παρόμοιες εκφράσεις με το σύμβολο Ù ομοίως.

Για να το αποδείξουμε θα πάρουμε τα αναπτύγματα των eÙχ , ημ χ και συν χ σε άπειρες σειρές δυνάμεων με βάση τον κανόνα του Maclaurin. Έχουμε:

eÙχ = 1 + χ + χ²/2!  + χ³/3! +.............. + χÙ( ν )/ ν! + χÙ(ν+1)/ (ν +1 )! +........(1)

ημ χ = χ - χ³ /3! + χÙ( 5 )/ 5!  -.............. +(-1) Ù( ν-1 )χ Ù( 2ν-1)/ (2 ν – 1)!+.....    (2)

συν χ = 1 - χ² /2! + χÙ( 4 )/ 4!  -.............. +(-1) Ù( ν-1 )χ Ù( 2ν-2)/ (2 ν – 2)!+.....    (3)

Αν θέσουμε όπου χ = i χ στην (1) έχουμε:

eÙ( i χ) = 1 + i χ -  χ²/2! - i χ³/3! + (χÙ4)/4! + i (χÙ 5 )/ 5! – (χÙ6)/6! – i  (χÙ7)/7! + (χÙ8)/8! + i (χÙ 9 )/ 9! - (χÙ 10 )/ 10! -  i (χÙ 11 )/ 11! + (χÙ12)/12! + ......

Þ eÙ( i χ) = [ 1 -  χ²/2! + (χÙ4)/4! – (χÙ6)/6! + (χÙ8)/8! - (χÙ 10 )/ 10! + (χÙ12)/12! - ......] + i [ χ -  χ³/3! +(χÙ 5 )/ 5! –  (χÙ7)/7! + (χÙ 9 )/ 9! -  (χÙ 11 )/ 11! +........]

Þ eÙ( i χ) = συν χ + i  ημ χ

Σημειώσεις

1. Αξιώματα Πεάνο:

Α. Το 0 είναι φυσικός αριθμός . Μαθηματική διατύπωση: [   0 Î Ν ]

Β. Για κάθε φυσικό αριθμό ν, υπάρχει πάντα επόμενος αριθμός, ο (ν+1) ο οποίος επίσης είναι φυσικός αριθμός. Μαθηματική διατύπωση:  [ " ν : ν Î Ν Þ (ν+1) Î Ν ]

Γ. Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός με επόμενο αριθμό το 0. Μαθηματική διατύπωση:  [ " ν : ν Î Ν Þ (ν+1) ¹ 0 ]

Δ. Δύο διακριτοί [ δηλαδή μη διαδοχικοί ] φυσικοί αριθμοί, έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς. Μαθηματική διατύπωση:  [ Ø$ (ν , μ) : (ν+1) = (μ+1)  Þ ν = μ ]

Ε. Η αρχή της Μαθηματικής επαγωγής: Αν ένα σύνολο περιλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό, τότε αυτό το σύνολο ταυτίζεται με το σύνολο των φυσικών αριθμών.

2. Η απόδειξη του Cantor περί της απαριθμησιμότητας του Q (Συνόλου ρητών αριθμών )

Συνυπολογίζουμε τις πιο κάτω παραδοχές:

Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών (R) είναι μη απαριθμήσιμα άπειρο με δυναμικότητα ίση με αυτή του συνεχούς.

Β. Ένωση δύο άπειρων συνόλων ίδιας δυναμικότητας δίνει σύνολο ίσης δυναμικότητας με τα αρχικά. 

Γ. Ένωση δύο άπειρων συνόλων άνισης δυναμικότητας δίνει σύνολο ίσης δυναμικότητας με το άπειρο σύνολο της μεγαλύτερης δυναμικότητας.

Εφόσον το R αποτελεί την ένωση των συνόλων των ρητών και των αρρήτων και το  σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμα άπειρο τότε αναγκαστικά το σύνολο των αρρήτων έχει τη δυναμικότητα του συνεχούς [ C ], εφόσον αν ίσχυε το αντίθετο τότε το σύνολο R θα ήταν αριθμήσιμα άπειρο, πράγμα που αντιφάσκει με την παραδοχή Α.

R = Q È (R – Q)

Q αριθμήσιμα άπειρο Þ (R – Q) μη αριθμήσιμα άπειρο

3. Η έννοια του σώματος στα Μαθηματικά

Σώμα είναι ένα σύνολο  στοιχείων ή αντικειμένων, στο οποίο μπορούμε να ορίσουμε δύο δυαδικές πράξεις, τις οποίες συμβολίζουμε με Å Ä. Ας συμβολίσουμε το σύνολο με F και ας ορίσουμε ότι τα στοιχεία α, β ανήκουν στο F . Οι πράξειςÅ Ä  ανάμεσα  σε στοιχεία του F απεικονίζουν στοιχεία που επίσης ανήκουν στο  F. Σε μαθηματική γλώσσα:

 " (α, β ) : (α, β) Î F Þ [ (α Å β ) Î F  , (α Ä β ) Î F ]

Επιπλέον ισχύουν τα ακόλουθα:

1. α Å β = β  Å α       

[ " (α, β ) : (α, β) Î F  Þ  α Å β = β  Å α  ]          

2.  Υπάρχει στοιχείο 0 στο F για το οποίο ισχύει : α Å 0 = α   

[" α : α Î FÞ α Å 0 =α ]

3. Υπάρχει στοιχείο α΄ στο F για το οποίο ισχύει : α Å α΄= 0 

[ " α : α Î FÞ α Å α΄ = 0]

4. Υπάρχει στοιχείο 1 στο F για το οποίο ισχύει α Ä 1 = α    

[" α : α Î FÞ α Ä 1 = α ]

5. α Ä β = β Ä α               

  [" (α, β ) : (α, β) Î FÞ α Ä β = β Ä α   ]

6. (α Å β ) Å γ = α Å ( β  Å γ )  

[" (α, β, γ  ) : (α, β, γ) Î FÞ(α Å β ) Å γ = α Å ( β  Å γ )]

7.  α Ä ( β Å γ )= (α Ä β )  +( α Äγ )                   

  [" (α, β, γ  ) : (α, β, γ) Î F Þ.  α Ä ( β Å γ )= (α Ä β )  +( α Äγ ) ]

Με βάση τα προαναφερθέντα είναι προφανές ότι τα σύνολα των μιγαδικών, των πραγματικών και των ρητών αποτελούν σώματα.

4. Απόδειξη ότι το √2 είναι άρρητος

Μέθοδος απόδειξης: Εις άτοπον απαγωγή

Έστω ότι το √2 είναι ρητός με τη μορφή ανάγωγου κλάσματος μ / ν. Εκ της υποθέσεως έχουμε:

√2 = μ / ν, όπου μ , ν φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους.

Þ 2 ν² = μ² και άρα το μ είναι άρτιο, αφού το τετράγωνο του είναι άρτιο. Προφανώς για να είναι το κλάσμα μ / ν ανάγωγο τότε ν είναι περιττός.

Θέτουμε ότι μ = 2 α και άρα:

2 ν² = 4 α²

Þ ν² = 2 α² και άρα ν επίσης άρτιος

Έχουμε καταλήξει λοιπόν ότι τόσον ο μ όσον και ο ν είναι άρτιοι. Αυτό όμως:

1.  αντιφάσκει με την αρχική μας παραδοχή ότι το  √2 ισούται με το ανάγωγο κλάσμα μ / ν.

2. Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές γεγονός που δηλώνει ότι το μ / ν όχι μόνο δεν είναι ανάγωγο αλλά μπορεί να απλοποιείται συνεχώς και ποτέ να μην φτάνουμε σε ανάγωγη μορφή. Αυτό όμως είναι αδύνατο αν οι μ, ν είναι πεπερασμένοι φυσικοί αριθμοί.

Εκ των δύο παρατηρήσεων προκύπτει ότι η αρχική μας παραδοχή είναι λανθασμένη. Αφού όμως  το √2 δεν είναι ρητός αριθμός τότε υποχρεωτικά είναι άρρητος.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον φιλοξενεί.