Η μέθοδος Αρχύτα για τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών ακεραίων

Του Μιχάλη Α. Πόλη

Εκπαιδευτικού

Ο Αρχύτας¹ υπολόγιζε τετραγωνικές ρίζες μη τετραγώνων ακεραίων φυσικών αριθμών με την ακόλουθη προσεγγιστική μέθοδο.

Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας  του φυσικού αριθμού α [ α Î Ν ]

1. Υπολογίζουμε το φυσικό αριθμό β ο οποίος εκφράζει το ακέραιο μέρος της τετραγωνικής ρίζας δηλαδή:

α = β² + γ         [ γ < (2 β +1) ]

και (β+1)² > α

2. Βρίσκουμε τον αριθμητικό² και τον αρμονικό³ μέσο του  β και του κλάσματος α / β  . Ονομάζουμε τον αριθμητικό μέσο Μ 1  και τον αρμονικό μέσο Α 1

Μ 1 =  ( β + α / β  )/2

Þ Μ 1 = ( β² + α   )/2β

 Α 1 = 2 α β  / ( β² + α )

3. Διατυπώνουμε την πρώτη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας που είναι:

Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ [2 α β  / ( β² + α )] < √ α < [( β² + α   )/2β]

4. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των Α 1  και  Μ 1 , και τους ονομάζουμε αντίστοιχα Μ 2 και  Α 2 . Έχουμε:

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = ½{ [( β² + α   )/2β ] + [ 2 α β  / ( β² + α ) ] }

Þ Μ 2   = [α² + 6 α β² + β⁴ ] / [ 4 β³ + 4 α β ]

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2 = [ 4 β³ + 4 α β ]  / [α² + 6 α β² + β⁴ ]

Þ  { [ 4 β³ + 4 α β ]  / [α² + 6 α β² + β⁴ ]} < √ α < [α² + 6 α β² + β⁴ ] / [ 4 β³ + 4 α β ]

5. Με κάθε επόμενη επανάληψη , η προσέγγιση γίνεται καλύτερη.

Παραδείγματα

1. Να βρεθεί προσέγγιση της √13 με τη μέθοδο του Αρχύτα.

13 = β² + γ= 3² + 4 και α=13 , β=3

Ακολούθως πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των αριθμών 13 και 13/3

Μ 1 = ( β + α / β  )/2 = (3 + 13/3 )/2 = 22/6=11/3

Α 1 = 2 α .β/ ( α + β² ) = [ (2 . 13. 3 )/22 ]

ÞΑ 1 = 78/ 22

Þ Α 1 = 39 /11

Η προσέγγιση της √13 ισούται λοιπόν με:

Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ    39 / 11 < √13 < 11/3           

   δηλαδή: 3,545454545 < √13 < 3,666666

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των  11 / 3 και 39/11

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = [ (11 /3) + (39/11) ] /2= 238/66

Þ Μ 2   = 119/33

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2= [2 . (11/3) ( 39/11) ]/ [(11/3) + (39/11)]

Þ Α 2= 858/238=429/119

Α 2 < √ α < Μ 2 

Þ  (429/119) < √13 < (119/33)                    

Σε δεκαδική μορφή:  3,605042017..< √13  < 3,606060606...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 2 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √13 με ταχύτατη σύγκλιση.

Μ 3   = ( Μ 2 + Α 2 )/2

Þ Μ 3   = [ (119 /33) + (429/119) ] /2= 28318/7854

Þ Μ 3   = 14159/3927

Α 3= 2 Μ 2 . Α 2   / ( Μ 2 + Α 2 )

Þ Α 3= [2 . (119/33) ( 429/119) ]/ [(119/33) + (429/119)]

Þ Α 3= 51051/14159

Α 3< √ α < Μ 3 

Þ  (51051/14159) < √13 < (14159/3927)                    

Σε δεκαδική μορφή:  3,605551239...< √13  < 3,605551311...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 5 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √13

2. Να βρεθεί προσέγγιση της √ 29 με τη μέθοδο του Αρχύτα.

29 = 5² + 4

α=29,  β=5

Προφανώς πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των αριθμών 5 και 29/5

Μ 1 =  (5 + 29/5 )/2 = 27/5

Α 1 = 2 α .β/ ( α + β² ) =   (2 . 5. 29)  / (29 + 25)

ÞΑ 1 =   290/ 54

Þ Α 1 = 145 / 27

Η προσέγγιση της √29 ισούται λοιπόν με: Α 1 < √ α < Μ 1 

Þ    145 / 27 < √ 29 < 27/5           

   δηλαδή: 5,37037037 < √ 29 < 5,4

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία και βρίσκουμε τον αριθμητικό και τον αρμονικό μέσο των  145/27 και 27/5

Μ 2   = ( Μ 1 + Α 1 )/2

Þ Μ 2   = (145/27 + 27/5 )/2

Þ Μ 2   = 727/135

Α 2= 2 Μ 1 . Α 1   / ( Μ 1 + Α 1 )

Þ Α 2= [2 . (27/5) ( 145/27) ]/ ( 27/5 + 145/27)

Þ Α 2= 3915/727

Þ  (3915/727) < √ 29 < (727/135)                    

Σε δεκαδική μορφή:  5,38514 4429..< √ 29 < 5,385185185...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 4 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √ 29 με ταχύτατη σύγκλιση.

Μ 3   = ( Μ 2 + Α 2 )/2

Þ Μ 3   = [ (727 /135) + (3915/727) ] /2= 28318/7854

Þ Μ 3   = 1057054/196290

Α 3= 2 Μ 2 . Α 2   / ( Μ 2 + Α 2 )

Þ Α 3= [2 . (727/135) ( 3915/727) ]/ [(727/135) + (3915/727)]

Þ Α 3= 5692410/1057054

Α 3< √ α < Μ 3 

Þ  (5692410/1057054) < √29 < (1057054/196290)                    

Σε δεκαδική μορφή:  5,385164807095947...< √29  < 5,385164807173060...

Η προσέγγιση είναι ορθή στα πρώτα 9 δεκαδικά ψηφία. Αν συνεχίσουμε βρίσκουμε ακόμα καλύτερες ρητές προσεγγίσεις της √29

Σημειώσεις

1. Ο Αρχύτας (428 – 347 π Χ) ήταν Πυθαγόρειος Φιλόσοφος  και Μαθηματικός . Καταγόταν από τον Τάραντα της Μεγάλης Ελλάδας. Ήταν μαθητής του Φιλόλαου του Κροτωνιάτη. Κατασκεύασε την πρώτη ιπτάμενη μηχανή στην Ιστορία της ανθρωπότητας. Ανακάλυψε την τροχαλία και τον κοχλία. Κατάφερε να δώσει μια πρωτότυπη λύση του προβλήματος της Δήλου, δηλαδή του διπλασιασμού του κύβου. Αναφέρονται οι τίτλοι δύο βιβλίων που έγραψε, με τίτλο «Αρμονικός» και «Διατριβαί» Υπήρξε δάσκαλος σπουδαίων ανδρών όπως του Πλάτωνα και του Ευδόξου.

Πέραν της φιλοσοφικής και μαθηματικής του κατάρτισης, ο Αρχύτας ήταν και επιφανής στρατηγός. Οι συμπολίτες του τον αγαπούσαν και τον θαύμαζαν, γι’ αυτό τον εξέλεξαν εφτά φορές κυβερνήτη του Τάραντα. 

2. Ο αριθμητικός μέσος δύο αριθμών ισούται με το μισό του αθροίσματος τους. Ο αριθμητικός μέσος του α και β προφανώς ισούται:

Μ =  ( β + α  )/2

3. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τον αρμονικό μέσο των αριθμών α, και β. Αν ονομάσουμε το ζητούμενο αριθμό γ, τότε οι αριθμοί 1/α, 1/γ και 1/β αποτελούν αριθμητική πρόοδο. Έχουμε:

2/ γ = 1/α + 1/β

Þ 2/ γ = (α + β ) / α .β

Þ  γ = 2 α .β/ ( α + β )

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στο συγγραφέα.