Αρχιμήδης η μεγαλοφυία της αρχαιότητας

Μιχάλης Α. Πόλης, Εκπαιδευτικός

Οι Συρακούσες¹  του 3^ου προχριστιανικού αιώνα, είναι η γενέτειρα ενός από τους μεγαλύτερους θεωρητικούς μαθηματικούς και μηχανολόγους  όλων των εποχών². Ο  Αρχιμήδης έφερε  στο DNA του την Επιστήμη και τα Μαθηματικά, από τις οικογενειακές του καταβολές. Ο πατέρας του Φειδίας ήταν  μορφωμένος και φέρεται να ήταν  αστρονόμος. Σύμφωνα με συγκλίνουσες πηγές³ ο μεγάλος σοφός πρέπει να έζησε μεταξύ 287 – 212 π.Χ.  Η οικογένεια του  ήταν εξαιρετικά εύπορη. Είχαν  διασυνδέσεις με την κυβέρνηση της πόλης, αφού ο Φειδίας ήταν συγγενής και φίλος του βασιλιά Ιέρωνα⁴  του 2^ου. Ο Φειδίας κατάλαβε από νωρίς τη μαθηματική ιδιοφυία του γιου του και τον έστειλε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, όπου υπήρχε το σπουδαιότερο εκπαιδευτικό ίδρυμα⁵ της ελληνιστικής εποχής. Εκεί μαθήτεψε και συνεργάστηκε με μερικούς από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς⁶ της εποχής. Αν και δεν είναι σίγουρο ότι πρόφτασε ζωντανό τον Ευκλείδη, σίγουρα μελέτησε τα «Στοιχεία»  και διδάχθηκε το κορυφαίο σύγγραμμα που αποτελεί την Επιτομή των Ελληνικών Μαθηματικών. Κατά την παραμονή του στην Αλεξάνδρεια έδειξε ότι εκτός από τα Μαθηματικά είχε κλίση στη μηχανική. Κατασκεύασε τον ατέρμονα κοχλία, μια εξαιρετική μηχανή με την οποία οι γεωργοί της Αιγύπτου μπορούσαν να αντλούν νερό⁷ από τον Νείλο και να ποτίζουν με  ευκολία τα χωράφια τους. Η έλικα του Αρχιμήδη χρησιμοποιήθηκε για αιώνες σε όλες τις μεσογειακές χώρες. Στην Αίγυπτο αναφέρεται η χρησιμοποίηση της μέχρι τον 20^ο αιώνα.

Η επαγγελματική του σχέση με τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας συνεχίστηκε και μετά την επιστροφή του στις Συρακούσες. Οι μαθηματικοί αντάλλαζαν επιστολές με μαθηματικά προβλήματα και εισηγήσεις για τις λύσεις τους. Ο Αρχιμήδης, μερικές φορές έδινε στους συναδέλφους του λανθασμένα στοιχεία ή συμπεράσματα για να δοκιμάσει τις γνώσεις και την οξύνοια τους. Ο Κόνωνας, ότι μαθηματικό έργο έπαιρνε δι’ αλληλογραφίας από τον Αρχιμήδη, το αντέγραφε και το ταξινομούσε ως περιουσία της διάσημης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Επιπλέον η βιβλιοθήκη συστηματικά ταξινομούσε το Αρχιμήδειο έργο με εξαγορές αντιγράφων από άλλες βιβλιοθήκες και κατασχέσεις πρωτοτύπων από καράβια που ναυλοχούσαν στην Αλεξάνδρεια. Δυστυχώς η καταστροφή της βιβλιοθήκης μερικούς αιώνες αργότερα οδήγησε στην απώλεια πέραν του 50% των εργασιών του. Το γραπτό έργο του Συρακούσιου σοφού  περιλάμβανε πέραν των σαράντα βιβλίων από τα οποία σώθηκαν ολικά ή αποσπασματικά μόνο τα μισά⁸ 

Η σχέση του Αρχιμήδη με τα Μαθηματικά έφτανε στα όρια της υπερβολής. Ο Πλούταρχος⁹ αναφέρει ότι έμενε επί πολλές ώρες, κάποτε μέρες,  χωρίς φαγητό και νερό,  παραμελώντας την καθαριότητα του σώματος του στην προσπάθεια του να λύσει δυσεπίλυτους γρίφους ή να αποδείξει θεωρήματα που είχαν ζορίσει ικανούς μαθηματικούς. Ήταν ολότελα αφοσιωμένος και απορροφημένος στη χάραξη γραμμών, τόξων και κύκλων που δεν μπορούσε να ασχοληθεί με οτιδήποτε άλλο.

Μηχανικές κατασκευές

Ο Αρχιμήδης συνδύαζε της θεωρητική μαθηματική γνώση και την πρακτική εξυπνάδα ενός σπουδαίου μηχανικού. Οι σπουδαιότερες από τις  μηχανές που κατασκεύασε, πέραν του Ατέρμονα κοχλία που αναφέραμε πιο πάνω, ήταν:

1.      Το υδραυλικό ρολόι

Ο Πάππος¹º ο Αλεξανδρινός  διασώζει τη μαρτυρία της κατασκευής του υδραυλικού ρολογιού, η αναφορά του όμως είναι γενική και ασαφής. Περισσότερες λεπτομέρειες για την κατασκευή,  διασώθηκαν σε αραβικό χειρόγραφο με τίτλο « Περί κατασκευής υδραυλικών ωρολογίων, βιβλίο του Αρχιμήδη ¹¹». Με βάση την ελληνική  μετάφραση του κειμένου, ο Ιωάννης Σακκάς ανακατασκεύασε το ρολόι, όσο πλησιέστερα μπορούσε στο πρωτότυπο.

2.      Το ατμοτηλεβόλο

Ο πρώτος που κάνει αναφορά στο ατμοτηλεβόλο ήταν ο Λεονάρντο ντα Βίτσι, ο οποίος φέρεται από κάποιους ιστορικούς¹² να είχε  σχετικό χειρόγραφο του Αρχιμήδη. Το όπλο είχε τη δυνατότητα να εκσφενδονίζει σιδερένια σφαίρα ενός ταλάντου σε απόσταση έξι στάδια. Με τα σημερινά μέτρα και σταθμά αυτό ισοδυναμεί στην βολή ενός βλήματος είκοσι πέντε κιλών σε απόσταση πέραν του ενός χιλιομέτρου. Το όπλο αποτελείτο από μεγάλη κάννη, στο κλειστό άκρο της οποίας υπήρχε σημαντική ποσότητα κάρβουνου που καιγόταν σε μεγάλο δοχείο σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου. Με μηχανισμό έμπαινε εντός  της καιόμενης μάζας ικανή ποσότητα νερού που στιγμιαία παρήγαγε τεράστια ποσότητα ατμού. Η μόνη διέξοδος του ατμού ήταν προς την πλευρά της κάννης του όπλου την οποία έφραζε η σιδερένια σφαίρα. Το βλήμα έφευγε με δυνατό κρότο και κτυπούσε το στόχο, δηλαδή μια μάζα στρατιωτών,  ένα πλοίο ή κάποιο κτίριο. Το όπλο χρησιμοποιήθηκε ως αμυντικό όπλο κατά την πολιορκία των Συρακουσών εναντίον των Ρωμαίων το 212 π.Χ.

3.      Το οδόμετρο

Ο μεγάλος μαθηματικός και μηχανικός Ήρωνας ο Αλεξανδρινός¹³ περιγράφει τον τρόπο κατασκευής του οδομέτρου με λεπτομέρεια. Σκοπός του οργάνου είναι η μέτρηση αποστάσεων με το συνδυασμό μιας σειράς οδοντωτών τροχών. Είναι ο πρόδρομος των αντίστοιχων μηχανισμών που έχουμε στα αυτοκίνητα μας. Ο Ήρωνας αναφέρει ότι βελτίωσε σχέδια προγενεστέρων μηχανικών. Αυτό αποδεικνύεται από το γεγονός ότι ο Βιτρούβιος¹⁴ που έζησε εκατό χρόνια πριν τον Ήρωνα, περιγράφει το οδόμετρο και αναφέρει ότι κατασκευάστηκε από μηχανικούς που έζησαν παλαιότερα. Εκτός από το δρομόμετρο της ξηράς υπήρχε και το ναυτικό δρομόμετρο που μετρούσε τις αποστάσεις στη θάλασσα. Η πιθανότητα να είναι εφεύρεση του Αρχιμήδη προκύπτει από σχετική αναφορά του Ιωάννη Τζέτζη. Το οδόμετρο στηριζόταν σε συνδυασμούς οδοντωτών τροχών, οι οποίοι μετέδιδαν τη κίνηση των τροχών της άμαξας με τρόπο ώστε μια περιστροφή του πρώτου  να προκαλούσε τη μετακίνηση ενός δοντιού του δεύτερου κατά ένα διάστημα, μια πλήρης περιστροφή του δεύτερου οδοντωτού τροχού να προκαλούσε τη κίνηση του πρώτου δοντιού του τρίτου κοκ. Ο τελευταίος τροχός μετακινούσε ένα δείκτη κατά ένα διάστημα μετά από πλήρη περιστροφή. Με τον πολλαπλασιαστικό αυτό τρόπο  μπορούσαν να μετρηθούν μεγάλες αποστάσεις. Αν υποθέσουμε ότι η περιφέρεια  του τροχού της άμαξας ήταν 2,5 μέτρα, ότι υπήρχαν δύο οδοντωτοί τροχοί με δώδεκα δόντια ο καθένας, τότε η μετακίνηση του δείκτη κατά ένα διάστημα ισούται με μετακίνηση της άμαξας κατά 360 μέτρα. Με τον τρόπο αυτό μετρούσαν τις αποστάσεις με ακρίβεια, το οποίο σε συνδυασμό με το καλό οδικό δίκτυο, μπορούσε να βοηθήσει το εμπόριο και την κοστολόγηση των συγκοινωνιών της εποχής.   

4.      Το πλανητάριο

Ένα από τα πλέον περίεργα όσο και αξιόλογα λάφυρα που έφερε ο Μάρκελος στη Ρώμη μετά την άλωση των Συρακουσών, ήταν το πλανητάριο του Αρχιμήδη. Βέβαια το μεγαλύτερο λάφυρο, ο ίδιος ο Αρχιμήδης, χάθηκε εξαιτίας του θανατηφόρου τραυματισμού  του από τα δολοφονικά κτυπήματα ενός Ρωμαίου  στρατιώτη. Τη μαρτυρία για το πλανητάριο διασώζει ο Κικέρωνας¹⁵.  Ο Ρωμαίος φιλόσοφος και ρήτορας μνημονεύει ότι ο εγγονός του Μάρκελλου, ύπατος Μάρκος Μάρκελος  έδειξε, 46 χρόνια μετά το θάνατο του Αρχιμήδη, την ουράνια σφαίρα στον συνάδελφο του Γάιο Σουλπίκιο Γάλλο. Το έκθεμα παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια μιας δεξίωσης, όμως ο Γάλλος που κατείχε τη μηχανική το εξέτασε με προσοχή και ενθουσιάστηκε από τη τελειότητα της ουράνιας σφαίρας. Ήταν συμπαγής, χωρίς κενά ενδιάμεσα της. Μπορούσε να αναπαραστήσει ακριβώς τις κινήσεις του ήλιου, της σελήνης και των πέντε γνωστών τότε πλανητών. Η κατασκευή του Αρχιμήδη μπορούσε, όταν ρυθμιζόταν, να προβλέψει τις εκλείψεις του ήλιου και της σελήνης. Τα γρανάζια της, με βάση οδοντωτούς τροχούς, μπορούσαν να αναπαραστήσουν τη σχετική φαινόμενη ταχύτητα των ουρανίων σωμάτων, ούτως ώστε η χρονική στιγμή κατά την όποια η σκιά της σελήνης ή του ήλιου ήταν ορατή στη γη μπορούσε να προβλεφθεί με ακρίβεια. Η μαρτυρία του Κικέρωνα για το πλανητάριο του Αρχιμήδη ενισχύεται από ανάλογες, πλην όμως λιγότερο λεπτομερείς μαρτυρίες του Πρόκλου¹⁶, του Πάππου¹⁷  του Λακτάντιου¹⁸ και άλλων¹⁹

5.      Αρχιμήδης ο « μάγος » των μοχλών και των πολεμικών μηχανών

Η γνωστή ρήση του Αρχιμήδη « δώσε μου τόπο να σταθώ και θα κινήσω τη γη²º » φανερώνει την ακλόνητη πεποίθηση του μεγάλου επιστήμονα για τη δύναμη και τη δυνατότητα των μηχανών που λειτουργούν με μοχλούς και τροχαλίες να μετακινούν βαριά αντικείμενα. Ο Πλούταρχος διασώζει τη μαρτυρία ότι ο μεγάλος Συρακούσιος κατασκεύασε πολύσπαστο μηχανισμό (βαρούλκο )με τον οποίο μετακίνησε μόνος του ένα μεγάλο πλοίο. Το περιστατικό περιγράφει επίσης ο Πρόκλος, που αναφέρει ότι ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός κατασκεύασε παρόμοιο μηχανισμό με βάση τα σχέδια του Αρχιμήδη.

Η δύναμη των μοχλών χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη και για την κατασκευή πολεμικών μηχανών. Το βαρούλκο μετατράπηκε σε μηχανική αρπάγη που γάντζωνε  τα πλοία των Ρωμαίων και ακολούθως τα ανασήκωνε και τα βύθιζε. Τελειοποίησε παλαιότερες πολεμικές μηχανές που κατασκεύασε ο Αρχιμηχανικός του Αλεξάνδρου  Διάδης όπως ο λιθοβόλος γερανός, ο πετροβόλος καταπέλτης που έριχνε πέτρες 78 κιλών και στρεπτός καταπέλτης που έριχνε τεράστια βέλη. Παρά τον πονοκέφαλο που δημιούργησαν στον Μάρκελο οι εφευρέσεις του Αρχιμήδη, η ρωμαϊκή ισχύς ήταν αναπόφευκτο να υπερισχύσει τελικά, λόγω του ασφυκτικού κλοιού των πολιορκητών. Ο Ρωμαίος στρατηγός σχεδίαζε να εντάξει τον Αρχιμήδη στο Ρωμαϊκό στρατό, ως αρχιμηχανικό και κατασκευαστή πολιορκητικών μηχανών. Η απρόβλεπτη δολοφονία του όμως, ματαίωσε τα σχέδια του.

6.      Τα καυστικά κάτοπτρα

Ο Ιωάννης Τζέτζης²¹, στο σύγγραμμα του «Χιλιάδες», περιγράφει την πρωτοφανή για την εποχή εκείνη χρήση της συγκεντρωμένης ηλιακής ακτινοβολίας ως πολεμικού όπλου, με το οποίο οι Συρακούσιοι έκαιγαν τα ρωμαϊκά πολεμικά πλοία. Σύμφωνα με τον Τζέτζη, το όπλο αποτελείτο από ένα μεγάλο εξάγωνο κάτοπτρο, στο οποίο συνέκλιναν ηλιακές ακτίνες από μικρότερα κάτοπτρα που ήταν υπό διαφορετικές γωνίες τοποθετημένα στο γύρω χώρο. Η συνολική ακτινοβολία αντανακλάτο από το μεγάλο κάτοπτρο πάνω στο στόχο, ο οποίος έπαιρνε φωτιά εφόσον δημιουργείτο στην εστία στόχευσης θερμοκρασία αρκετών εκατοντάδων βαθμών.   

Πολλοί ερευνητές αμφισβήτησαν την μαρτυρία του Τζέτζη ως υπερβολική και πάντως πρακτικά ανέφικτη. Ο ερευνητής Ιωάννης Σακκάς έκανε το 1973  πείραμα για να καταδείξει αν τα πολεμικά κάτοπτρα ήταν μια εφικτή κατασκευή την εποχή του Αρχιμήδη. Πήρε εξήντα κοίλα κάτοπτρα, στιλβωμένα με χαλκό για να αυξηθεί η αντανακλαστική τους ικανότητα. Τοποθέτησε τα κάτοπτρα με τέτοιο τρόπο ώστε δημιουργήθηκε συγκεντρωτική ακτίνα που συνέκλινε σε απόσταση 70 μέτρων σε μια βάρκα. Η βάρκα πήρε φωτιά, αποδεικνύοντας ότι οι μαρτυρίες των αρχαίων ιστορικών είχαν έρεισμα αληθείας.

7.       Το μεγαλύτερο πλοίο της αρχαιότητας

Ο Αθήναιος²² διασώζει την ακόλουθη μαρτυρία σχετικά με την εμπλοκή του Αρχιμήδη στην κατασκευή ενός από τα μεγαλύτερα τεχνολογικά θαύματα της εποχής του: Του πλοίου Συρακούσια. Ο βασιλιάς των Συρακουσών Ιέρωνας, θέλοντας να δείξει στον Πτολεμαίο την ισχύ και την ποιότητα των μηχανικών και των επιστημόνων του βασιλείου του, δέχτηκε να φέρει σε πέρας  παραγγελία και να  ναυπηγήσει το μεγαλύτερο πλοίο που είχε μέχρι τότε κατασκευαστεί στον κόσμο. Σχεδιαστής του πλοίου ήταν ο Αρχιμήδης και ναυπηγός ο Αρχίας από την Κόρινθο. Το πλοίο ήταν το μεγαλύτερο πλεούμενο που ναυπηγήθηκε μέχρι το 1800 μ.Χ. Για την κατασκευή του χρησιμοποιήθηκε ξυλεία αρκετή για την ναυπήγηση 60 τριήρεων. Ήταν ταυτόχρονα ένα πλωτό παλάτι και φρούριο, ικανό να στεγάσει ένα βασιλιά μαζί με την αυλή του. Στα βασιλικά διαμερίσματα υπήρχε πλωτός ναός, κήπος, γυμναστήριο, χώροι ψυχαγωγίας, αίθουσες δεξιώσεων, διαμερίσματα προσωπικού και φρουράς, αρτοποιείο, δεξαμενή ικανή να μεταφέρει 78 τόνους νερό, υπερυψωμένες επάλξεις με πολεμικές συσκευές και πολλά άλλα.

Το πλοίο έκανε ένα μόνο ταξίδι. Ήταν πολύ δαπανηρό να ταξιδεύει και δεν υπήρχαν λιμάνια στη Μεσόγειο ικανά να το δεχτούν. Ο Πτολεμαίος το χρησιμοποίησε ως πλωτό παλάτι στην προβλήτα του λιμανιού της Αλεξάνδρειας.

8.       Η αρχή του Αρχιμήδη και το στέμμα του βασιλιά

Κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα στο νερό, χάνει τόσο βάρος, όσο το βάρος του νερού που εκτοπίζει.  Το ρήμα «χάνει» προσδιορίζει τη δύναμη της άνωσης που είναι αντίθετης διεύθυνσης με το βάρος. Όταν η άνωση είναι μεγαλύτερη του βάρους το σώμα επιπλέει στο σημείο εξίσωσης των δύο αντιθέτων δυνάμεων. Όταν το βάρος υπερνικά την άνωση, τότε το σώμα καταβυθίζεται. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε την πιο πάνω φυσική αρχή για να αποδείξει ότι το στέμμα του βασιλιά Ιέρωνα δεν αποτελείτο αμιγώς από χρυσάφι όπως ο κοσμηματοπώλης του βασιλιά ισχυριζόταν.

Καταρχήν πήρε ένα τεμάχιο χρυσού και το ζύγισε στον αέρα. Ακολούθως το έβαλε σε δοχείο πλήρες ύδατος και μάζεψε σε μικρότερο συγκοινωνούν δοχείο το νερό που υπερχείλισε λόγω της καταβύθισης του τεμαχίου του χρυσού. Ζύγισε το νερό  που υπερχείλισε. Βρήκε ότι ο λόγος του βάρους του χρυσού προς το βάρος του εκτοπισμένου νερού είναι 19,3 προς 1. Ακολούθως ο Αρχιμήδης επανέλαβε το πείραμα με το στέμμα του βασιλιά. Ο αντίστοιχος λόγος που βρήκε ήταν διαφορετικός, άρα το στέμμα δεν αποτελείτο μόνο από χρυσό. Η απάτη αποκαλύφθηκε χάρη στην εξυπνάδα του Αρχιμήδη και ο απατεώνας κοσμηματοπώλης τιμωρήθηκε. 

  

Ο Πρίγκιπας των Θεωρητικών Μαθηματικών της Ελληνιστικής Περιόδου

Υπήρχαν διαχρονικά αρκετοί  ευφυείς πρακτικοί μηχανικοί, που όμως υστερούσαν στη θεωρητική τους κατάρτιση. Ομοίως έζησαν ανά τους αιώνες ευάριθμοι θεωρητικοί μαθηματικοί με κοφτερό μυαλό, που όμως έμειναν στο διανοητικό παιγνίδι της διατύπωσης και απόδειξης θεωρημάτων. Ο συνδυασμός θεωρίας και πράξης είναι σπάνιο χάρισμα που ελάχιστοι κατέχουν. Ο   Αρχιμήδης ήταν ένας από αυτούς. Έγραψε αξιόλογα συγγράμματα επιπεδομετρίας και στερεομετρίας. Έδωσε λύσεις στα διάσημα στην αρχαιότητα άλυτα Γεωμετρικά Προβλήματα.  Στο βιβλίο του « Περί σφαίρας και κυλίνδρου » λύνει το Δήλιο²³ πρόβλημα με τη χρήση των κωνικών τομών. Τη σχετική μαρτυρία διασώζει ο σχολιαστής Ευτόκιος²⁴ . Επιπλέον έδωσε δύο λύσεις του προβλήματος της τριχοτόμησης της γωνίας με μεθόδους κινητικής Γεωμετρίας, που διασώζονται στα βιβλία του «Λήμματα Α΄» και «Περί Ελίκων». Με την περίφημη Έλικα του κατάφερε να λύσει και το τρίτο των μεγάλων προβλημάτων αυτό του τετραγωνισμού του κύκλου. Ως γνωστό οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί προσπαθούσαν, με χάρακα και διαβήτη, να κατασκευάσουν τετράγωνο ίσου εμβαδού με κύκλο γνωστής ακτίνας. Η φράση «τετραγωνισμός του κύκλου»  είχε γίνει συνώνυμο με το ακατόρθωτο. Πράγματι κανείς δεν μπόρεσε ποτέ να το λύσει με χάρακα και διαβήτη. Ο Αρχιμήδης όπως και κάποιοι άλλοι μεγάλοι μαθηματικοί²⁵ έλυσαν το πρόβλημα με μεθόδους κινητικής γεωμετρίας. Ευφυείς λύσεις πράγματι, αλλά ασύμβατες με τους περιορισμούς της κλασσικής Γεωμετρίας. Μόλις το 1882 ο Γερμανός μαθηματικός Lindemann απέδειξε ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου είναι αδύνατο να λυθεί γεωμετρικά.

Στην Πραγματεία του «Κύκλου Μέτρησις » ο Αρχιμήδης φτάνει στο συμπέρασμα ότι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο του δίδεται από την ανισότητα 3,1408 < π < 3,1429. Έφτασε στο συμπέρασμα αυτό προσεγγιστικά, υπολογίζοντας την περίμετρο κανονικών πολυγώνων με 6, 12, 24, 48 και 96 πλευρές που είναι εγγεγραμμένα ή περιγράφονται σε δεδομένο κύκλο. Διπλασιάζοντας κάθε φορά των αριθμό των πλευρών των πολυγώνων πετύχαινε καλύτερη προσέγγιση. Συνειδητοποιώντας όμως ότι πρόκειται για διαδικασία χωρίς τέλος και διαβλέποντας ότι πρακτικά ήταν εξαιρετικά δύσκολο να κατασκευάσει κανονικά πολύγωνα με  192, 384, … πλευρές έμεινε στην ικανοποιητική για την εποχή του προσέγγιση που παραθέσαμε. Η προσεγγιστική μέθοδος του Αρχιμήδη μπορεί, θεωρητικά τουλάχιστον, να μας δώσει όσα δεκαδικά ψηφία θέλουμε για τον αριθμό π.

Το βοεικόν πρόβλημα

Ο Αρχιμήδης, όχι μόνο έλυσε τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας αλλά δημιουργούσε τα δικά του άλυτα προβλήματα, σπαζοκεφαλιές τρομερής δυσκολίας, με τις οποίες προκαλούσε τους ανταγωνιστές του και έλεγχε τη δεινότητα της μαθηματικής τους σκέψης. Στα πλαίσια αυτά έστειλε στον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, την ακόλουθη σπαζοκεφαλιά:

Το πλήθος των βοδιών του θεού Ήλιου, που βόσκουν στις πεδιάδες της Σικελίας μέτρησε, αν μετέχεις της σοφίας, συναριθμώντας όσα θα πω πιο κάτω: Τα βόδια του ήλιου που βόσκουν στις πεδιάδες της τριγωνικής νήσου Σικελίας,  διαιρούνται σε τέσσερις αγέλες τη λευκή, τη μαύρη, τη ξανθή και την ανάμικτη και κάθε αγέλη περιέχει ταύρους και αγελάδες του ιδίου χρώματος. Σε κάθε αγέλη υπάρχουν ταύροι με βάση τις ακόλουθες αναλογίες: Οι λευκοί ταύροι ισούνται με τους ξανθούς συν το άθροισμα του ενός δευτέρου και του ενός τρίτου των μαύρων. Οι μαύροι ταύροι ισούνται με τους ξανθούς συν το άθροισμα του ενός τετάρτου και του ενός πέμπτου των ανάμικτων. Οι ανάμικτοι ταύροι ισούνται με τον αριθμό των ξανθών, επαυξημένων κατά το άθροισμα του ενός έκτου και του ενός εβδόμου των λευκών ταύρων. Οι λευκές αγελάδες ισούνται με το άθροισμα του ενός τρίτου και του ενός τετάρτου του συνόλου της μαύρης αγέλης. Οι μαύρες αγελάδες  ισούνται με το άθροισμα του ενός τετάρτου και του ενός πέμπτου του συνόλου της  αγέλης ανάμικτου χρώματος. Οι αγελάδες ανάμικτου χρώματος ισούνται με το άθροισμα του ενός πέμπτου  και του ενός έκτου του συνόλου της  ξανθής αγέλης. Οι ξανθές αγελάδες ισούνται με το άθροισμα του ενός έκτου  και του ενός εβδόμου του συνόλου της  λευκής αγέλης. Το άθροισμα των λευκών και των μαύρων ταύρων είναι τετράγωνος αριθμός, ενώ το άθροισμα των ξανθών και των ανάμικτων ταύρων τρίγωνος. Αν υπολογίσεις τον ακριβή αριθμό των αγελάδων  και των ταύρων κάθε αγέλης τότε μπορείς να συγκαταλέγεις τον εαυτό σου στην ομάδα των τέλειων σοφών.»²⁶   

Η λύση του προβλήματος είναι αδύνατη χωρίς τη χρήση δυνατών Η.Υ. Υπολογίστηκε ότι ο αριθμός των ταύρων και των αγελάδων κάθε φυλής δίνεται από αριθμούς με εκατοντάδες χιλιάδες μηδενικά, κυριολεκτικά ασύλληπτους από το ανθρώπινο μυαλό, για σκοπούς αισθητοποίησης. Η ίδια η διατύπωση του προβλήματος προδίδει την εξαιρετική οξύνοια του συγγραφέα του. Ο παραλήπτης του προβλήματος δεν ήταν τυχαίος άνθρωπος. Ο Ερατοσθένης ήταν σπουδαίος μαθηματικός, αστρονόμος και γεωγράφος. Ήταν ο πρώτος άνθρωπος που μέτρησε την περιφέρεια της γης με εκπληκτική ακρίβεια. Παρ’ όλα αυτά δεν έλυσε ποτέ αυτή την διαβολικά δύσκολη σπαζοκεφαλιά.

Σε θέση επιλόγου: Το παλίμψηστο αποκαλύπτει..

Ακόμα και στον 21^ο αιώνα οι ερευνητές ψάχνουν να βρουν τα χαμένα έργα του Αρχιμήδη σε αρχαίους κώδικες που αποκαλύπτονται κατά καιρούς. Οι αμαθείς καλόγεροι του Μεσαίωνα πολλές φορές έσβηναν αρχαίες περγαμηνές με σκοπό να τις ξαναχρησιμοποιήσουν για να γράψουν θρησκευτικούς ύμνους. Ένα τέτοιος πάπυρος ονομάζεται παλίμψηστό. Μια τέτοια περγαμηνή ανακαλύφθηκε τελευταία. Η απόξεση δεν ήταν ολοκληρωτική, με αποτέλεσμα το 2006 μια ομάδα επιστημόνων υπό την εποπτεία του φυσικού Uwe Bergma κατόρθωσε με μέθοδο ακτινογράφησης να διαβάσει το κείμενο.  Έτσι μετά από δύο χιλιάδες χρόνια ήρθαν στο φως τα χαμένα έργα του Αρχιμήδη «Περί των μηχανικών θεωρημάτων, «Περί των επιπλεόντων σωμάτων». Το κείμενο αποκαλύπτει ότι ο Αρχιμήδης υπολόγιζε εμβαδά καμπυλόγραμμων σχημάτων που σήμερα υπολογίζονται μόνο με απειροστικό λογισμό. Η ιστορία της επιστήμης θεωρεί τον Νεύτωνα ως αυτόν που ανακάλυψε τον απειροστικό λογισμό, τα ολοκληρώματα και τις παραγώγους. Το παλίμψηστο αποκαλύπτει ότι ο Νεύτωνας ανακάλυψε ξανά τα ολοκληρώματα και επαναδιατύπωσε την μέθοδο της εξαντλήσεως του Αρχιμήδη στη μορφή που την ξέρουμε σήμερα.

Σημειώσεις

1.       Συρακούσες: Αποικία της Αρχαίας Κορίνθου στην νοτιοανατολική Σικελία. Ιδρύθηκε το 734 π.Χ. από τον οικιστή Αρχεία. Κατά την ακμή της έλεγχε μεγάλο μέρος της Σικελίας. Η πόλη καταλήφθηκε από τους Ρωμαίους το 212 π.Χ.

2.       Από πολλούς Θεωρείται, ως μαθηματικός,  ισάξιος του Νεύτωνα και του Κάρλ Φρίντρικ Γκάους.

3.       Ο Ιωάννης Τζέτζης στο έργο του «Χιλιάδες» αναφέρει ότι, πέθανε σε ηλικία 75 χρόνων κατά την κατάληψη των Συρακουσών από το Μάρκελλο. Αφού αυτό έγινε το 212 π.Χ. πρέπει να γεννήθηκε το 287 π.Χ.

4.       Ο Ιέρωνας ήταν βασιλιάς των Συρακουσών για εξήντα χρόνια (275 – 215 π. Χ. )

5.       Το λεγόμενο Μουσείο μαζί με τη διάσημη Βιβλιοθήκη.

6.       Αναφέρεται ότι στην Αλεξάνδρεια γνώρισε τον Κόνωνα , τον Ερατοσθένη και το Δοσίθεο.

7.       Διόδωρος Σικελιώτης, Ιστορική Βιβλιοθήκη Ι 34

8.       Κατάλογος των σημαντικότερων βιβλίων του Αρχιμήδη στο Παράρτημα .

9.       Πλουτάρχου, Βίοι Παράλληλοι: Πελοπίδας – Μάρκελλος.

10.    Μαθηματικός του 4^ου αιώνα μ.Χ. Έργο: Μαθηματική Συναγωγή.

11.    Μεταφράστηκε στα Ελληνικά από τον Ευάγγελο Σταμάτη, που το μετάφρασε από τα γερμανικά. 

12.    Τη πληροφορία διασώζει ο Γερμανός Ιστορικός Matschoss στο βιβλίο του Ιστορία της Ατμομηχανής, σελ. 27 που εκδόθηκε στο Βερολίνο το 1909.

13.    Στο έργο του «Περί διόπτρας» που γράφτηκε τον πρώτο προχριστιανικό αιώνα.

14.    Περί Αρχιτεκτονικής, μετάφραση στα αγγλικά από τον Drachmann στο βιβλίο του The mechanical technology of Greek and Roman Antiquity.

15.    Κικέρωνας ( 106 – 43 π.Χ ) . Ρωμαίος φιλόσοφος, πολιτικός, ύπατος, συγγραφέας και ρήτορας. Έργα: Ρητορικοί Λόγοι (107), Φιλοσοφικά (13 βιβλία ), Η Επιστήμη της Ρητορικής (7 βιβλία ).

16.    Πρόκλος,  Σχόλια στο 1^ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.

17.    Scholia Vaticana in Pappum, III, 1024

18.    Laktantius, Divinarum Institutionum, Pars 1, lib. II

19.    Σέξτος Εμπειρικός, Κλαυδιανός, Φιρμίκιος, Οβίδιος, Τερτουλιανός.

20.    Δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω

21.    Ιωάννης Τζέτζης, Χιλιάδες ΙΙ 45.22.    Αθήναιος: Αρχαίος Έλληνας βιολόγος, φυτολόγος, ζωολόγος, γαστρονόμος, διαιτολόγος, ρήτορας και λόγιος.  Έζησε στην Αλεξάνδρεια και στη Ρώμη το 2^ο αιώνα π.Χ.. Οι πληροφορίες για τον Αρχιμήδη διασώζονται στο έργο του Δειπνοσοφιστές.23.    Δήλιο Πρόβλημα « Δοθέντος κύβου ακμής α, να κατασκευαστεί, με χάρακα και διαβήτη, κύβος διπλάσιου όγκου.

24.    Ευτόκιος 6^ος μ.Χ αιώνας, Σχόλια στο «Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων» του Αρχιμήδη.

25.    Ιππίας ο Ηλείος, Απολλώνιος, Πάππος.

26.    βρέθηκε σε αρχαίο χειρόγραφο στη βιβλιοθήκη της γερμανικής πόλης Wolfenbuttel από τον βιβλιοθηκάριο Gotthold Ephraim Lessing το 1773.

Παράρτημα: Κατάλογος διασωθέντων των έργων του Αρχιμήδη.

1.       Περί σφαίρας και κυλίνδρου

2.       Κύκλου μέτρησις

3.       Περί κωνοειδών και σφαιροειδών.

4.       Περί ελίκων

5.       Περί επιπέδων ισορροπιών

6.       Ψαμμίτης

7.       Ορθογωνίου κώνου τομή

8.       Περί των οχουμένων

9.       Στομάχιον

10.    Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος

11.    Βιβλίον Λημμάτων

12.    Βοεικόν πρόβλημα

13.    Τετραγωνισμός παραβολής

14.    Εγγραφή κανονικού επταγώνου εις κύκλον

15.    Περί των επιψαυόντων κύκλων

16.    Αρχαί γεωμετρίας

17.    Περί ορθογωνίων τριγώνων

18.    Περί κύκλων

19.    Εύρεσις ύψους και εμβαδού τριγώνου εκ των πλευρών αυτού.

20.    Περί του ημικανονικού δεκατετραέδρου

Βιβλιογραφία

1.       Cuomo S.: Αρχαία Μαθηματικά, εκδόσεις Ενάλιος, Αθήνα 2007.

2.       Λαζός Χρήστος: Αρχιμήδης, ο Ευφυής Μηχανικός, εκδόσεις Αίολος, Αθήνα 1995.

3.       Σπανδάγου Ευάγγελου: Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων,  εκδόσεις Αίθρα, Αθήνα 2000.

4.       Τσιμπουράκης Δημήτρης: Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις Alien, Αθήνα 1985

5.       Φράγκου Μαρία – Νικολαΐδου Ελένη: Αρχιμήδης, το θεικό μυαλό, εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα 2006.